2.3.3 点到直线的距离公式（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕“点到直线的距离公式”分A/B/C组及高考拓展，分层覆盖从基础公式应用到综合问题解决，梯度衔接紧密，适配新授课分层巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（公式直接应用、参数求解等）|基础选择填空，强化运算能力与概念理解| |B组|综合应用（对称、面积问题）|中档解答题，培养几何直观与推理意识| |C组|复杂情境（角分线、最值）|多知识点综合题，发展空间观念与创新意识| |拓展|高考真题|高考题型对接，提升模型观念与应用能力|

分层作业 2.3.3 点到直线的距离公式 参考答案 求点到直线的距离知识点01 1. B； 2．A； 3．C； 已知点到直线的距离求参数知识点02 4.D； 5.D； 6.C； 7.C； 8.A ； 9.D； 求到两点距离相等的直线方程知识点03 10. D； 11．C； 12．D； 直线围成图形的面积问题知识点04 13．B； 14.B； 15. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 16.【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 点关于直线的对称点知识点05 17.B； 18．； 19．； 20.； 21.【答案】(1) 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2） 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 求两点的对称轴知识点06 22.C； 23.D； 24.； 25.2； 光线反射问题知识点07 26．B； 27.A； 28.A； 29.B； 30.； 与角分线有关的直线方程知识点08 31． , ； 32.； 33.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，的中点坐标为，，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理得； （2）由题意，所在的直线方程：，所在的直线方程：， 所在的直线方程：， 设所求交点坐标为，， 则有，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以交点坐标为. 34【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）， ， ； （2）点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； （3）设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：.      将军饮马的最值问题知识点09 35．D； 36.A； 37.D； 38.D； 39.； 点到直线的距离的应用知识点09 40． C； 41.5； 42.； 43.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 1． A； 2．D； 3．D； 4．D； 5．C； 6．D； 7.6； 8.（答案不唯一）； 9．； 10．； 11.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设顶点，因为，所以， 所以，解得， 所以顶点； （2）边所在直线方程为，即， 所以到边的距离， 又因为， 所以△的面积． 12．【答案】(1)，；(2)和；(3)24 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【详解】（1）联立，解得即得， 因点是的中点，则. （2）由直线的斜率，且，则直线的方程为. 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是和. （3）由，得   ，即 ，所以. 又到的距离. 所以的面积. 13．【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 14.【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 15.【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 1.C； 2．D； 3.C； 4．C； 5.A； 6．（或）（答案不唯一）； 7.； 8. 1． B； 2．C； 3.D； 4．B； 5．C； 6.； 7．； 8.【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 9. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意可得直线方程为，由，列方程组可求出点的坐标； （2）设，，直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出的值； （3）设线段上任意一点坐标为，则，构造函数，然后分，，讨论可求得结果，或过、两点分别作线段的垂线，交轴于，，然后分点在线段上，点在点的左边，点在点的右边三种情况利用距离公式求解 【详解】解：（1）直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为. （2）由得，设，，则，得. （3）（解法一）设线段上任意一点坐标为，， 记. 当时，即时，， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，. 综上所述，. （解法二）过、两点分别作线段的垂线，交轴于，， 当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：； 当点在点的左边，时，； 当点在点的右边，时，. 综上所述，.    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.3 点到直线的距离公式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求点的直线的距离 知识点02 已知点到直线的距离求参数 知识点03 求到两点距离相等的直线方程 知识点04 直线围成的图形的面积问题 知识点05 点关于直线的对称点（重点） 知识点06 求两点的对称轴 知识点07 光线反射问题（重点） 知识点08 与与角分线有关的直线方程（难点） 知识点09 将军饮马的最值问题（重点） 知识点10 点到直线的距离公式的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求点到直线的距离知识点01 知识点速记： 点到直线的距离 （1）平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． （2）点到直线：的距离． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 3．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 已知点到直线的距离求参数知识点02 知识点速记： 已知点到直线的距离求参数关键是利用点到直线的距离公式列方程，解方程得到参数值。 题型巩固练： 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 5．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 求到两点距离相等的直线方程知识点03 知识点速记： 求到两点间距离相等的直线方程的方法： 设， ⑴代数法：根据已知条件设出直线方程（含参），利用两点到直线的距离相等列出方程，解方程解出参数，从而得到所求直线方程，一般有两个结果。 ⑵几何法：所求直线有两种情况：①直线经过中点，此时可用两点式或点斜式写出直线方程；②与线段平行，这种情况先求出，利用斜率设出直线方程，根据已知条件求出参数，得到所求直线方程。 题型巩固练： 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 11．直线过原点，若、两点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 12．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 直线围成图形的面积问题知识点04 知识点速记： 直线围成图形的面积解题步骤： 1.求交点坐标： 首先需要联立每两条直线的方程，求出它们的交点坐标，这些交点即为围成图形的顶点； 2.求面积：若图形为三角形，则可求出一边长，再求另一顶点到该边的距离（即为三角形的高），利用“底×高÷2”计算；若为不规则多边形，可将其分割为几个简单的三角形或梯形分别求和。 题型巩固练： 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（23-24高二上·天津河西·阶段检测）直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 16．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 点关于直线的对称点知识点05 知识点速记： 点关于直线的对称点的求法： 设对称点满足方程组 ①两点连线与已知直线垂直斜率乘积为 ②两点中点在已知直线上 特别地，点关于直线的对称点坐标为； 题型巩固练： 17．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 19．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 20．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 21．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 求两点的对称轴知识点06 知识点速记： 两点的对称轴即为两点的垂直平分线，需满足①过两点的中点；②斜率相乘得。 题型巩固练： 22．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 24．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 25．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 光线反射问题知识点07 知识点速记： 光线反射问题的解题步骤： 设入射点为，反射面为直线， 1. 求关于镜面直线的对称点； 2. 连接对称点与反射后的接收点，直线即为反射光线所在直线； 3. 两点式写出反射光线方程（或即为光线从到走过的路程）。 题型巩固练： 26．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 27．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 与角分线有关的直线方程知识点08 知识点速记： 与角分线有关的直线方程的解决方法有两种： 方法一：角平分线上任意一点到角两边直线距离相等，去掉绝对值分两种符号得到内角、外角两条角平分线； 方法二：角一边上的点关于角分线的对称点在角的另一边上. 题型巩固练： 31．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知△的顶点，边AC上的高所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，则顶点C的坐标为_________；直线BC的方程为___________ 32．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 33．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知顶点，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的角平分线与边的交点坐标． 34．（25-26高二上·湖北十堰·期中）平面直角坐标系内，点，， (1)求直线的方程和线段长度； (2)求三角形的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程. 将军饮马的最值问题知识点09 知识点速记： 将军饮马问题是几何最短路径问题，解题方法为： 1.找对称点：如果两个定点在直线同侧，先作其中一个点（比如点）关于直线的对称点； 2.连接线段：连接和，这条线段与直线的交点就是要找的饮马点，此时最小且等于. 题型巩固练： 35．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 36．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 38．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 点到直线的距离的应用知识点09 题型巩固练： 40．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 41．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 42．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 43．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 5．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 6．（25-26高二上·山西忻州·阶段检测）已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程___________. 9．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 10．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 11．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知的顶点，，其垂心为（提示：三角形垂心为其三条高的交点）． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. (1)求顶点的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形ABCD的面积. 13．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 14．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 15．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 1．【数学运算】（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．【新定义问题】（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 3．【数学文化】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．【逻辑推理】（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．【逻辑推理】（25-26高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 6．【开放题】已知直线与相交于点，过点的直线与分别交于两点，写出一个使“”成立的直线的方程：______． 7．【数学抽象】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______． 8．【动点轨迹问题】（26-27高二上·重庆·期末）设直线系，且，则在矩形区域内，直线系的包络线外部的面积为___________ 1．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ） A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0 C．+4y=0 D．+4y+5=0 2．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 7．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 8．（2003·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 9．（2004·湖南·高考真题）已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，. （1）求点的坐标； （2）若直线与双曲线：相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值； （3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离，已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.3 点到直线的距离公式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求点的直线的距离 知识点02 已知点到直线的距离求参数 知识点03 求到两点距离相等的直线方程 知识点04 直线围成的图形的面积问题 知识点05 点关于直线的对称点（重点） 知识点06 求两点的对称轴 知识点07 光线反射问题（重点） 知识点08 与与角分线有关的直线方程（难点） 知识点09 将军饮马的最值问题（重点） 知识点10 点到直线的距离公式的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求点到直线的距离知识点01 知识点速记： 点到直线的距离 （1）平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． （2）点到直线：的距离． 【注】求点到直线的距离时需将直线方程化为一般式。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 已知点到直线的距离求参数知识点02 知识点速记： 已知点到直线的距离求参数关键是利用点到直线的距离公式列方程，解方程得到参数值。 题型巩固练： 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 5．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 6．（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【答案】D 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 求到两点距离相等的直线方程知识点03 知识点速记： 求到两点间距离相等的直线方程的方法： 设， ⑴代数法：根据已知条件设出直线方程（含参），利用两点到直线的距离相等列出方程，解方程解出参数，从而得到所求直线方程，一般有两个结果。 ⑵几何法：所求直线有两种情况：①直线经过中点，此时可用两点式或点斜式写出直线方程；②与线段平行，这种情况先求出，利用斜率设出直线方程，根据已知条件求出参数，得到所求直线方程。 题型巩固练： 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】（法一：代数法）若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. （法二：几何法）的中点坐标为， 所求直线过点和点，则直线方程为； ，因为直线过点，则所求直线方程为，即， 故的方程为或. 11．直线过原点，若、两点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】（法一：代数法）依题意，直线过原点，、两点到直线的距离相等，易见斜率存在， 故直线可设为，则，解得， 即直线的方程为或. 故选：C. （法二：几何法）、的中点坐标为， 所求直线过点和原点，则直线方程为； ，因为直线过原点，则所求直线方程为，即， 即直线的方程为或. 故选：C. 12．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】（法一：代数法）设所求直线的方程为，即， 由已知及点到直线的距离公式可得， 解得或， 即所求直线方程为或. 故选:D. （法二：几何法），的中点坐标为， 所求直线过点和点，则直线方程为，即； ，因为直线过点，则所求直线方程为，即， 即所求直线方程为或. 故选:D. 直线围成图形的面积问题知识点04 知识点速记： 直线围成图形的面积解题步骤： 1.求交点坐标： 首先需要联立每两条直线的方程，求出它们的交点坐标，这些交点即为围成图形的顶点； 2.求面积：若图形为三角形，则可求出一边长，再求另一顶点到该边的距离（即为三角形的高），利用“底×高÷2”计算；若为不规则多边形，可将其分割为几个简单的三角形或梯形分别求和。 题型巩固练： 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 14．（23-24高二上·天津河西·阶段检测）直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为， 则． 如图所示： 则由两点式可得直线MN的方程为，即， 由解得， 此为两直线的交点， 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 ， 故 ． 故选：B 15．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 16．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 点关于直线的对称点知识点05 知识点速记： 点关于直线的对称点的求法： 设对称点满足方程组 ①两点连线与已知直线垂直斜率乘积为 ②两点中点在已知直线上 特别地，点关于直线的对称点坐标为； 点关于直线的对称点坐标为； 点关于直线的对称点坐标为； 点关于直线的对称点坐标为. 题型巩固练： 17．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 18．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 19．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 20．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 21．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】(1) 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2） 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 求两点的对称轴知识点06 知识点速记： 两点的对称轴即为两点的垂直平分线，需满足①过两点的中点；②斜率相乘得。 题型巩固练： 22．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 23．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 24．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 25．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以。 光线反射问题知识点07 知识点速记： 光线反射问题的解题步骤： 设入射点为，反射面为直线， 1. 求关于镜面直线的对称点； 2. 连接对称点与反射后的接收点，直线即为反射光线所在直线； 3. 两点式写出反射光线方程（或即为光线从到走过的路程）。 题型巩固练： 26．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 27．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 29．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 30．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 与角分线有关的直线方程知识点08 知识点速记： 与角分线有关的直线方程的解决方法有两种： 方法一：角平分线上任意一点到角两边直线距离相等，去掉绝对值分两种符号得到内角、外角两条角平分线； 方法二：角一边上的点关于角分线的对称点在角的另一边上. 题型巩固练： 31．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知△的顶点，边AC上的高所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，则顶点C的坐标为_________；直线BC的方程为___________ 【答案】 【详解】设边AC上的高为BH，它所在直线方程为， ∴ ，且， ∴， ∵的顶点，∴直线AC方程：，即. 与联立， ，解得： 所以顶点C的坐标为； 设的角平分线为CM，它所在直线方程为， 设点关于CM的对称点为， 设点的坐标为，则， 因为在直线BC上， 所以直线BC的方程为，即. 故答案为：， 32．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 【答案】 【详解】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 33．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知顶点，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的角平分线与边的交点坐标． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，的中点坐标为，，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理得； （2）由题意，所在的直线方程：，所在的直线方程：， 所在的直线方程：， 设所求交点坐标为，， 则有，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以交点坐标为. 34．（25-26高二上·湖北十堰·期中）平面直角坐标系内，点，， (1)求直线的方程和线段长度； (2)求三角形的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）， ， ； （2）点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； （3）设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：.      将军饮马的最值问题知识点09 知识点速记： 将军饮马问题是几何最短路径问题，解题方法为： 1.找对称点：如果两个定点在直线同侧，先作其中一个点（比如点）关于直线的对称点； 2.连接线段：连接和，这条线段与直线的交点就是要找的饮马点，此时最小且等于. 题型巩固练： 35．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 36．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 37．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    38．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 39．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 点到直线的距离的应用知识点09 题型巩固练： 40．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 41．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 42．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    43．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 【答案】D 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点. 对于A，直线的方程为，A正确； 对于B，因，则，B正确； 对于C，原点到直线的距离为，C正确； 对于D，线段的中点不在直线上，D错误. 故选：D 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由，即为和，两点间的距离， 所以的最小值为即为到直线的距离， 即， 所以的最小值为1， 故选：D 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 5．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·山西忻州·阶段检测）已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令得，令得，所以， 如图，点在直线的同侧， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以，若最小，即最小， 当三点共线时最小，即最小， 此时，，直线的方程为， 由得，即. 故选：D.    7．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 【答案】6 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程___________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】当直线与平行时，因为，可得， 所以直线的方程，即； 当直线过线段的中点时，因为，则的中点为， 可得，所以直线的方程，即， 综上可得，直线的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 10．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】设点，记点、， 则，如下图所示： 点关于直线的对称点为，由对称性可知， 所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 11．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知的顶点，，其垂心为（提示：三角形垂心为其三条高的交点）． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设顶点，因为，所以， 所以，解得， 所以顶点； （2）边所在直线方程为，即， 所以到边的距离， 又因为， 所以△的面积． 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. (1)求顶点的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1)，；(2)和；(3)24 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【详解】（1）联立，解得即得， 因点是的中点，则. （2）由直线的斜率，且，则直线的方程为. 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是和. （3）由，得   ，即 ，所以. 又到的距离. 所以的面积. 13．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 14．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 15．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 1．【数学运算】（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 2．【新定义问题】（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使，此时直线为点的“相关直线”， 对于A，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故A不符合； 对于B，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故B不符合； 对于C，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故C不符合； 对于D，到直线的距离，则该直线不是点的“相关直线”，故D符合. 故选：D. 3．【数学文化】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 4．【逻辑推理】（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简得，转化为点到点和到直线的距离之和的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 则， 因为表示点到定点的距离， 表示点到直线的距离， 所以表示点到点和到直线的距离之和的倍， 如图所示，过点作，垂足为， 当点在线段上时，可得， 所以的最小值为. 故选：C. 5．【逻辑推理】（25-26高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 6．【开放题】已知直线与相交于点，过点的直线与分别交于两点，写出一个使“”成立的直线的方程：______． 【答案】（或）（答案不唯一） 【详解】解方程组得点的坐标为，则， 则直线的方程为，即． 设点到直线的距离分别为． 当直线的斜率不存在时，方程为，则， 则，所以，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为． 解得点的坐标为，则； 解得点的坐标为，则． 所以．解得， 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为（或）． 故答案为：（或）（答案不唯一） 7．【数学抽象】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】由对称性转化为求图案在上方的点到直线的距离的最大值的2倍，利用点到直线的距离，转化为二次函数求最值. 【详解】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍， 由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与， 得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为， 设图案在上方的点，， 则点到直线的距离为，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 8．【动点轨迹问题】（26-27高二上·重庆·期末）设直线系，且，则在矩形区域内，直线系的包络线外部的面积为___________ 【答案】4 【分析】先分析直线系的性质，确定其围成的图形，再结合给定的的取值范围，计算出阴影部分面积. 【详解】到直线的距离为， 又，， 故直线系所围成的图象是以为圆心，为半径的圆， 又，故所围成的阴影部分面积为. 1．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ） A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0 C．+4y=0 D．+4y+5=0 【答案】B 【详解】直线的斜率是，与轴交点为， 因此它关于轴对称的直线方程是，即． 故选：B． 2．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得． 解得或．，． 故选：C. 3．（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点到直线距离可知所求距离. 故选：D 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 4．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b， 即kx－y＋b＝0， 所以，， 解之得k＝0或， 所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B. 5．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 由题意可知点，取点、， 则、、三点共线，、、三点共线， 且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 因为点在直线上，所以，，解得. 故选：C. 6．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 7．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 【答案】 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 8．（2003·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 9．（2004·湖南·高考真题）已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，. （1）求点的坐标； （2）若直线与双曲线：相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值； （3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离，已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意可得直线方程为，由，列方程组可求出点的坐标； （2）设，，直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出的值； （3）设线段上任意一点坐标为，则，构造函数，然后分，，讨论可求得结果，或过、两点分别作线段的垂线，交轴于，，然后分点在线段上，点在点的左边，点在点的右边三种情况利用距离公式求解 【详解】解：（1）直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为. （2）由得，设，，则，得. （3）（解法一）设线段上任意一点坐标为，， 记. 当时，即时，， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，. 综上所述，. （解法二）过、两点分别作线段的垂线，交轴于，， 当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：； 当点在点的左边，时，； 当点在点的右边，时，. 综上所述，.    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $