2.2.2 直线的两点式方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖直线方程核心知识点，通过梯度题型培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|两点式、截距式方程，待定系数法，面积问题|知识点速记+基础选择填空，强化概念理解与运算能力| |B组|综合应用与易错辨析|含多选、易错点分析，提升推理意识与问题解决能力| |C组|知识融合与开放探究|跨知识综合题（如面积与内切圆）、开放题，发展创新意识| |拓展|高考真题衔接|选用经典高考题，培养数学语言表达与应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.2 直线的两点式方程 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 直线的两点式方程 1.D; 2.A: 3.【详解】因为直线AB过点A(-1,0),B(3,-), y-(-1)x-3 所以1B所在直线的方程为0-（仁列-1-3，即x+4y+1=0 AB 因为直线BC过点B(3,-),C(1,3), y-3_x-1 所以直线BC方程为-1-33-1，即2x+y-5=0 因为直线AC过点A(1,0),C(1,3), y-3_x-1 所以4C所在直线的方程为0-3=-1-1，即3x-2y+3=0 另解： 因为直线AB过点A(-1,0),B(3,-1), 所以直线B的斜车为k-0上.-1 -1-34 对边6所在直线的方程为y=+),整理得x+4y+1=0: 因为直线BC过点B(3,-),C(1,3), 所以直线BC的斜率为k 3-（0=-2 1-3 则边BC所在直线的方程为y+1=-2(x-3),整理得2x+y-5=0: 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为直线AC过点A(-1,0),C(1,3), 3-0_3 所以直线4C的斜率为-)2 3 则边4C所在直线的方程为y=2(x+),整理得3x-2y+3=0 知识点02 直线的截距式方程 4.A: 5.BD: 6.A: 7.C; 知识点03 待定系数法求直线方程 8.D: 9.C; 10.C: 11.21 12x+2y=0或x+3y-3=0: 45 13.5x-12y+60=0: 14.- 3 15.【答案】(1x+4y+13=0:(23x-4y±12=0：(3)x-2y=0或x+2y-4=0 【详解】(1)所求直线过点 A(-1,-3):且斜率为4 直线方程为y+3= 4(x+1), 即x+4y+13=0 3 (2)设直线方程为y=4x+b, 令x=0,得y=b, 令y=0,得x=- 3 3 直线方程为y=x士3， 即3x-4y±12=0 (3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y= 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又直线过点(2,1)， 7 1=2k,解得k= 2 直线方程为y=2,即x-2y=0: 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为。+6， 2,1 =1, 由题意可得ab”解得a=4, a=2b, b=2, 直线方程为普+号=1，即x+2y-4=0 综上，所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0 16.【答案】y=3+2 【详解】由题意知直线4B的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y-1=k(x-3),即y=c+1-3k, 在直线AB的方程中，令x=0,可得y=1-3k: 3k-1 令y=0,可得x= k 3k-1 所以点A ,0B(0,1-3) 3k-1>0 由已知条件可得 k,得 1-3k>0 k<0 所以106的面积为0-3)-6-- 6+3-6 当且仅当9k=-左k<0),即k=3时，等号成立， 所以直线4B的方程为y=~3x+2. 17.【答案】(19x-y=0或x+y-10=0,(2)最小值为16,3x+y-12=0 【详解】(1)当1过坐标原点时，方程为y=9x,即9x-y=0,满足题意； 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当不过坐标原点时，可设其方程为：x+y=0, ∴.a=1+9=10, ∴.1：x+y-10=0 “直线1方程为：9x-y=0或x+y-10=0: (2)由题意可知：直线I斜率k存在，且k<0,可设：y-9=k(x-), 令x=0,解得：y=9-k,B(0,9-k), o4o=-+9-=10-((利210+2-)-16，当a仅当2水即k=3等号度立 直线1的方程为：y-9=-3(x-),即3x+y-12=0, :OA+OB的最小值为16，此时直线方程为：3x+y-12=0. 知识点04 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题 9 18.A: 19.B: 20.B: 21.B: 22.2； 23.2x-y=0或x+y-3=0,4: B组 能力进阶 1.B: 2.C; 3.A: 4.B; 5.BC;6.ACD;7.ABC; 9.39 10.4: 11.5x-2y-5=0:123: 13. 【答案】(1)3x-4y+14=0:(210 【详解】(1)由A(0,),C(-4,3)得线段4C的中点E(-2,2), y-2=x+2 则根据两点式可得直线BE方程为5-22+2， 所求直线为3x-4y+14=0 (2)因为A(0,1),B(2,5),C(-4,3) 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以c=3-1.1 5-1 4-05-2ka-2-0 =2, 因为k4c·kB=-1 所以AB⊥AC, 4C=V-4-02+3-1)2=25,AB=V2-02+(5-1y=25, 所以5.x=44G=x25x25=10, 14.【答案】(1)x+5y-3=0:2)y=8x或x+y-9=0, 【详解】(1)因为B(4,3),C(3,-2), 所以子-5， 因为AD是BC边上的高， 1 所以KADKBC=-1→kD=- 5 所以高4D所在直线的方程为y-1=(x+2)→x+5-3=0: (2)因为点M(3,)为边AC的中点， 3=-2+C 2 所以 1+C, →C(8,1). 1= 2 设在两坐标销上裁距相等的直线方程为，=：政。+片1 或8+=1，所以k= 因为直线过点C,所以1=8k或a+a 8或a=9 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=8x或x+y-9=0 15.【答案】(1)4x-y=0或2x+y-6=0:(2)6x+y-10=0 【详解】(1)当m=0时，直线I过原点，设直线I的方程为y=c, 将点A的坐标代入直线的方程得k=4,此时直线1的方程为4，x-y=0: x+义=1， 当m≠0时，直线1的截距式方程为m2m 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4 将点A的坐标代入直线，的方程得m十2m =1,解得m=3’ +=1,即2x+y-6=0 此时直线的方程为3+ 综上所述，直线l的方程为4x-y=0或2x+y-6=0 +义=1， (2)由题意可知M(m,0)N(0,m):且m>0'm>0,则直线1的截距式方程为m+n= M 将点4的坐标代入直线，的方程可得而十行山，可得m=”4 14 n-4 n>0 由 >0可得 n-4 n>4 5anm-a+5)m-a+》-a+5a-36+36_1n 2(n-4) 2(n-4) 一2 9+36 n-4 5 m=- 当且仅当m-4=3 6(m>4)时，即当3时，等号成立， n- n=10 x y =1 故当 的面积最小时，直线的方程为50，即 PMW 3 x+y-10=0 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【答案】(1)x+2y-4=0:(2)x+y-3=0,(3)x+V2y-2-√2=0 【详解】(1)方法一：因为直线1分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点， 所以1的斜率存在且不为0，可设直线I的方程为y-1=k(x-2), 2k-1 >0 由思意可得420°80,1-29'1-2k>0 ，且了k 解得 k k<0 1/ 2 k 当且仅当。，即k=时，64OB的面积取得最小值，且爱小值为4 此时，直线1的方程为y-1=2-2),即x+2y-4=0 方注三：设直找的方程为后片-1o>0b>0:则后+方1 21 2,1、 2 2 211 又因为后+方226,1≥2 得ab≥4，当且仅当。b=2即 'a=4’b=2 时等号成立 a b 于是。4OB的面积S=b有最小值，且最小值为4 北时，直线的方程是+名-山，即+2y-4=0: 2方法：由少方达-知420，B01-29k<0 所以MA·MB= 是14t=2+=-t+4. (-) 当且仅当k=一，即k=-1时取等号，此时直线的方程为x+y-3=0 21 2+=1， 方法二：由(1)方法二知A(a,0),B(0,b),a>0’b>0'ab MA.MB=MAMB=-MA.MB=-(a-2,-1).(-2.b-1)=2a+b-5. 即M:MB=2a+b-5=2a+bx后+3-5=22+9≥4 a b a b' 当且仅当a=b=3时取等号，此时直线1的方程为x+y-3=0, )设直健的方把为后名-山，则后。， 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+b=a+b2+=3 a b 2b+423+2ab a b b×8=3+25,即a+b≥3+22' 2b=a a b 当且仅当21 即a=2+V2时取“=”，此时直线l的方程为 b=√2+1 x+√2y-2-V2=0 C组 思维拔高 4 1.A: 2.6(答案不唯一)； 3.-3;20: 4.0<m<4 拓展 链接高考 1.B: 2.C: 3.4: 8/8 分层作业 2.2.2 直线的两点式方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的两点式方程 知识点02 直线的截距式方程 知识点03 待定系数法求直线的方程（重点） 知识点04 直线与坐标轴围成的三角形的面积问题（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的两点式方程知识点01 知识点速记： 直线的两点式方程 已知直线上两个不同点，（），那么直线的方程为，称为直线的两点式方程． 【注】两个坐标对称形式的两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程．我们把直线的两点式方程改写为，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 2．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 3．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 直线的截距式方程知识点02 知识点速记： 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，那么直线的方程为，称为直线的截距式方程. 【注】直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线、也不能表示过原点的直线。 题型巩固练： 4．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 5．（多选）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 6．（25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】由题可设的方程为，化简得， 故的斜率为1，倾斜角为. 故选：A. 7．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 待定系数法求直线方程知识点03 知识点速记： 利用待定系数法求直线方程的核心思路是：先根据已知条件假设直线方程的形式，再代入条件求解未知系数。 ⑴已知直线所过定点，可设点斜式，注意是否有斜率不存在的情况； ⑵已知直线的斜率，可设斜截式，注意是否有斜率不存在的情况； ⑶题目涉及到横截距和纵截距时，可设截距式，注意是否有过原点的情况. 题型巩固练： 8. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意. 设直线方程为， 则时，，时，， 由题意知， 解得或，即直线方程为或. 故选： 9．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 11．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 12．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 13. 已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30，求直线l的方程． 【答案】. 【详解】依题意，设直线l与y轴交于点，则直线交x轴于点， 即有，则有，解得， 所以直线l的方程为，即. 14．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 15．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 16. 过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程． 【答案】. 【详解】由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，可得； 令，可得. 所以点， 由已知条件可得，得， 所以的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的方程为. 17．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或；(2)最小值为16， 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意； 当不过坐标原点时，可设其方程为：， ， ， ∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，， 令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立， 直线的方程为：，即， ∴的最小值为，此时直线方程为：. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题知识点04 知识点速记： 直线与轴的交点，与轴的交点坐标为，则此直线与坐标轴围成的三角形的面积。若求面积的最值，则往往利用基本不等式或二次函数求最值. 题型巩固练： 18．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 20．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 21．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成的封闭图形面积的最小值为6. 故选：B. 22．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 23．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】或． 4 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 1．（易错）（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 2．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 3．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 5．（多选）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 6．（多选）（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】ABC 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 8．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 9．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 10．（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】4 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 11．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 【答案】3 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 13．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. （2）因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 14．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1)；(2)或， 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 15．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 16．（25-26高二下·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为， 由题意可得，，且解得. 于是 当且仅当，即时，的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为，即. 方法二：设直线l的方程为，则. 又因为，即，得，当且仅当，即，时等号成立， 于是的面积有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是，即； （2）方法一：由（1）方法一知，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为. 方法二：由（1）方法二知，，，，， 所以， 即 当且仅当时取等号，此时直线l的方程为. （3）设直线l的方程为，则， 所以，即， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为. 1．【知识融合】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 令，得，则，则； 令，得，则，则， 根据距离公式可得， 设 内切圆半径为，则， 又，，即， 又，，即， 令，，当且仅当时等号成立， 又，，则， 将代入中，得， 又在上单调递增，当时，. 故选：A. 2．【开放题】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的一个可能的值是________． 【答案】6（答案不唯一） 【详解】由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0，可设l的方程为（a，b>0）， 由直线l过点，可得， 因，当且仅当，即时，等号成立， 即，此时. 故答案为：6(答案不唯一) 3．【知识融合】（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 【答案】；20 【分析】方法一：，分别用三角函数表示出三角形的三条边长，化简可得，,结合基本不等式即可求解； 方法二：，，，结合基本不等式求解即可. 【详解】方法一： ， ， , ， 方法二： ， 当且仅当时，等号成立.解得, 4．【知识融合】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 1．（2004·全国·高考真题）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：. 故选：B 2．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 3．（2006·上海·高考真题）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为_________． 【答案】 【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.2 直线的两点式方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的两点式方程 知识点02 直线的截距式方程 知识点03 待定系数法求直线的方程（重点） 知识点04 直线与坐标轴围成的三角形的面积问题（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的两点式方程知识点01 知识点速记： 直线的两点式方程 已知直线上两个不同点，（），那么直线的方程为，称为直线的两点式方程． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 直线的截距式方程知识点02 知识点速记： 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，那么直线的方程为，称为直线的截距式方程. 【注】直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线、也不能表示过原点的直线。 题型巩固练： 4．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 5．（多选）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 6．（25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 待定系数法求直线方程知识点03 知识点速记： 利用待定系数法求直线方程的核心思路是：先根据已知条件假设直线方程的形式，再代入条件求解未知系数。 ⑴已知直线所过定点，可设点斜式，注意是否有斜率不存在的情况； ⑵已知直线的斜率，可设斜截式，注意是否有斜率不存在的情况； ⑶题目涉及到横截距和纵截距时，可设截距式，注意是否有过原点的情况. 题型巩固练： 8. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 11．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 12．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 13. 已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30，求直线l的方程． 14．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 15．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 16. 过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程． 17．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题知识点04 知识点速记： 直线与轴的交点，与轴的交点坐标为，则此直线与坐标轴围成的三角形的面积。若求面积的最值，则往往利用基本不等式或二次函数求最值. 题型巩固练： 18．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 20．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 22．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 23．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 1．（易错）（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 2．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 3．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 5．（多选）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 6．（多选）（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 8．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 9．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 10．（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 11．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 13．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 14．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 15．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 16．（25-26高二下·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 1．【知识融合】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．【开放题】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的一个可能的值是________． 3．【知识融合】（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 4．【知识融合】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 1．（2004·全国·高考真题）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2006·上海·高考真题）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $