2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程及直线的两点式方程（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.2.1&2.2.2直线的点斜式方程及直线的两点式方程 知识点1直线的点斜式方程 1．若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 2．已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 3．过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 4．已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 知识点2直线的斜截式方程 5．已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 7．在y轴上的截距为，且与y轴相交成45°角的直线方程为 ． 知识点3直线的两点式方程 8．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 11．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为 . 知识点4直线的截距式方程 12．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 13．直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 14．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 15．已知，，直线上有一个动点，求的最大值． 知识点5直线的图象 16．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 17．（多选）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 18．（多选）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 知识点6直线的位置关系的应用 20．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 21．已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 22．已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 知识点7直线与坐标轴围成图形面积问题 23．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 24．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 25．已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 26．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 1．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 2．过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 3．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 5．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 6．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 7．已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 8．已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 1．（多选）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（   ） A．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C．若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D．若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    3．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是 . 4．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1&2.2.2直线的点斜式方程及直线的两点式方程 知识点1直线的点斜式方程 1．若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则，显然， 由，得，而，解得， 所以直线l的斜率为3，方程为，即. 故答案为：. 2．已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 【答案】 【详解】直线的倾斜角是，且过点，所以斜率为 故直线的方程为，整理得， 所以直线在y轴上的截距为. 故答案为：. 3．过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 【答案】 【详解】由直线的点斜式方程得，． 故答案为： 4．已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 知识点2直线的斜截式方程 5．已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：直线过点和斜率为， 所以得：直线的方程为：，化简得：， 故B项正确. 故选：B. 6．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 7．在y轴上的截距为，且与y轴相交成45°角的直线方程为 ． 【答案】 【详解】直线与y轴相交成45°角，则斜率，又截距为，故所求直线为. 故答案为：. 知识点3直线的两点式方程 8．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 9．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 10．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 11．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】 如图，角的平分线与交于点. 由题意得，，. 由角平分线定理得，， ∴, 设点坐标为，则， ∴， ∴， ∴直线方程为：，整理得. 故答案为：. 知识点4直线的截距式方程 12．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 13．直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 14．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 15．已知，，直线上有一个动点，求的最大值． 【答案】3 【详解】直线的方程为，动点在直线上，则， 所以， 即当点的坐标为时，取最大值3． 知识点5直线的图象 16．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 17．（多选）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 18．（多选）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 19．（多选）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 【答案】ABD 【详解】由题意，直线的斜率的实际意义表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价； 直线的纵截距的实际意义表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出. A项，当时，， 所以图（1）中点B表示当乘客量为时， 既不亏损也不盈利，收支持平，故A说法正确； B项，当时，， 所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故B说法正确； 对于C，根据题意和图（2）知，当乘客量为时，纵坐标不变， 即支出成本不变，故C项说法错误； D项，根据题意和图（3）知，两直线平行说明此建议保持票价不变， 乘客人数为0时的收支差额变大，即支出成本变小， 即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以D项说法正确. 故选：ABD. 知识点6直线的位置关系的应用 20．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 21．已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【答案】 【详解】由题意得 解得或， 所以． 22．已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 知识点7直线与坐标轴围成图形面积问题 23．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 24．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 25．已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 26．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 1．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【详解】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 2．过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 3．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点与点可得折痕所在直线的方程为，由点与点可得折痕所在直线的方程为，故舍去； 由点与点可得折痕所在直线的斜率不为0， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即， 则有，解得. 所以 故选：D 4．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    5．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，解得；令，解得； 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 6．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【详解】点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点，， 由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 7．已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 8．已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 【详解】设直线方程为：，因为直线过点，且直线斜率小于， 所以，且，. 所以 ， 当且仅当，即，时取等号 故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 1．（多选）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（   ） A．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C．若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D．若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 【答案】BCD 【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0， 设直线， 可知直线l与轴、轴交点的坐标分别为，， 显然，解得， 可得三角形OAB面积， 令，作出其图象如图所示， 由图可知：当时，有两解； 当时，有三解； 当时，有四解； 结合选项可知：A错误，BCD正确； 故选：BCD. 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    【答案】 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    3．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是 . 【答案】 【详解】由题意可得， ， 所以直线， 设， 所以AB的中点C. 由点C在直线上，且A，P，B三点共线得 解得，所以, 又，所以＝， 所以 ， 即直线AB的方程为. 4．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$