2.2.2 直线的两点式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“基础理解-技能应用-综合拓展”分层，覆盖直线两点式、截距式方程的概念到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|两点式方程概念及直接应用|含选择、填空，如过两点求方程（题1、3），强化概念辨析（题2）| |技能应用|截距式方程运算及易错点|包含易错题（题5）、教材改编题（题6），结合中点求方程（题7）| |综合拓展|方程的实际情境与最值应用|涉及面积最值（题9、12）、定点问题（题13），培养推理与模型意识|

2.2.2　直线的两点式方程 基础练习 题型一　直线的两点式方程 1.(2026河北沧州沧县中学月考)过点(1,-1)和(-3,1)的直线方程为(　　) A.x+2y-5=0　　B.2x-y+4=0 C.x+y-2=0　　 D.x+2y+1=0 2.(多选题)(2026河南濮阳第一高级中学月考)下列说法正确的是(　　) A.在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程+=1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 3.(2026河南天一大联考阶段性测试)经过点(1,3)和(-3,1)的直线的两点式方程为　　　　.  题型二　直线的截距式方程 4.(2024吉林长春期中)在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　　) A.4x+3y-12=0　　B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0　　 D.4x-3y+1=0 5.(易错题)(2026河南南阳第一中学校月考)经过点(1,2),且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是　(　　) A.x+y-3=0　　B.x+y-3=0或2x-y=0 C.x-y+1=0　　D.x-y+1=0或2x-y=0 6.(教材习题改编)已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,则实数m的值为(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.5 7.(2025江苏苏州期中)直线l分别交x轴和y轴于点A,B,若M(1,2)是线段AB的中点,则直线l的方程为　　　　　.  8.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为　 . 9.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　.  题型三　直线的两点式、截距式方程的应用 10.(2026广东东莞外国语学校期中)过点P(1,3)作直线l,若l经过点A(a,0)和B(0,b),且a,b均为正整数,则这样的直线l可以作出(　　) A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.无数条 11.(2026吉林长春第二实验中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,曲线C:+|y|=1的周长为(　　) A.4　　B.6　　C.8　　D.10 12.(2026江苏南京中华中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A,B(2,4),过点P(2,1)作直线分别交射线AB,x轴正半轴于点M,N,则△MON面积的最小值为　　　　.  13.(2026山西忻州现代双语学校月考)已知直线l1:kx-y-3-4k=0(k∈R)过定点P. (1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2的方程; (2)若直线l1交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,△ABO的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l1的方程. 14.(2026河南南阳高二期中)已知直线l过点A(1,4)且在x轴、y轴上的截距分别为m,n. (1)若2m=n,求直线l的方程; (2)若P(0,-5),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M,N,当△PMN的面积最小时,求直线l的方程. 答案 2.2.2　直线的两点式方程 基础练习 1.D　根据直线的两点式方程可得=,化简可得x+2y+1=0. 2.BD　对于A,当直线在两坐标轴上的截距相等且均不为零时,直线可用方程+=1表示;当截距都是零时,不可用此方程表示,故A错误. 对于B,当m=0时,方程为x-2=0,此时所表示的直线与y轴平行,故B正确. 对于C,当θ=90°时,tan θ不存在,此时直线方程为x=1,故C错误. 对于D,当x1≠x2时,由直线的点斜式方程,可得y-y1=(x-x1),可整理为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0; 当x1=x2时,直线方程为x=x1或x=x2,又此时方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0可整理为x=x1,故D正确. 3.答案　= 4.B　根据直线的截距式方程得直线方程为+=1,化简得4x-3y+12=0. 5.B　当直线在x轴和y轴上的截距都为0时,易知直线的斜率存在, 设直线方程为y=kx,将(1,2)代入,解得k=2,此时直线方程为2x-y=0; 当直线在x轴和y轴上的截距相等且均不为0时,设直线方程为+=1,将(1,2)代入,解得a=3, 此时直线方程为x+y-3=0, 所以满足题意的直线方程为x+y-3=0或2x-y=0. 6.C　由题意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=,∵直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,∴4+=7,∴m=4. 7.答案　2x+y-4=0 解析　因为A,B两点分别在x轴和y轴上,所以设A(a,0),B(0,b), 因为M(1,2)是线段AB的中点,所以a=2,b=4,即A(2,0),B(0,4), 因此直线l的截距式方程为+=1,即2x+y-4=0. 8.x-6y+6=0或x-6y-6=0　设直线l的方程为=1,则|ab|=3,且-,解得 故直线l的方程为=1或=1, 即x-6y-6=0或x-6y+6=0. 9.x+2y-6=0　设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1, ∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立. ∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0. 10.B　∵直线l过点A(a,0)和B(0,b),a,b均为正整数,∴可设直线l的方程为+=1, ∵直线l过点P(1,3),∴+=1,即3a=(a-1)b, 又a∈N*,b∈N*, ∴当a=1时,b无解,因此a=1不满足条件; 当a≥2且a∈N*时,b==3+, 则a-1是3的正约数,即a-1=1或a-1=3,解得a=2或a=4, 当a=2时,b=6;当a=4时,b=4,均满足条件. 综上所述,满足条件的直线l有2条. 11.C　在曲线C的方程+|y|=1中,将x用-x代换,或将y用-y代换,或两种代换同时进行,方程都没有变, 所以曲线C关于x轴,y轴,原点对称, 当x≥0,y≥0时,曲线C的方程为+y=1,表示以(,0)和(0,1)为端点的线段,其长度为=2, 根据对称性知,其他三条线段的长也为2,所以曲线C:+|y|=1的周长为4×2=8. 12.解析　如图所示: 由点A,B(2,4),得直线AB的方程为=,即y=2x, 设点M(t,2t),点N(n,0), 当t=时,M,N不存在,故t>. 由M,N,P三点共线和点P(2,1)可知, 当t≠2时,=,解得n=, 此时△MON的面积为S△MON=·2t·=,t>且t≠2, 令2t-1=u(u>0,u≠3),即t=, 则S△MON==++≥2+=3,当且仅当=,即u=1时等号成立, 即当t=1时,S△MON的最小值为3; 当t=2时,M(2,4),N(2,0),P(2,1),此时S△MON=×4×2=4>3. 综上,S△MON的最小值为3. 13.解析　(1)直线l1:kx-y-3-4k=0即y+3=k(x-4),则直线l1过定点P(4,-3). ①当直线l2在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l2的方程为+=1, 因为点P(4,-3)在直线l2上,所以+=1, 若a=b,则a=b=1,所以直线l2的方程为x+y=1; 若a=-b,则a=7,b=-7,所以直线l2的方程为x-y=7. ②当直线l2在两坐标轴上的截距均为0时,直线l2过原点,且过点P(4,-3),所以直线l2的方程为3x+4y=0. 综上所述,直线l2的方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0. (2)对于方程kx-y-3-4k=0,令y=0,则x=,令x=0,则y=-4k-3, 则点A,点B(0,-4k-3),k>0, 则S=·|OA|·|OB|=··(4k+3)=·≥·24+2=24, 当且仅当16k=,即k=时取等号, 因此S的最小值为24,此时直线l1:x-y-3-4×=0,即3x-4y-24=0. 14.解 (1)当m=0时,直线l过原点,设直线l的方程为y=kx,将点A的坐标代入直线l的方程得k=4,此时直线l的方程为4x-y=0;当m≠0时,设直线l的截距式方程为=1,将点A的坐标代入直线l的方程得=1,解得m=3,此时直线l的方程为=1,即2x+y-6=0. 综上所述,直线l的方程为4x-y=0或2x+y-6=0. (2)由题意可知M(m,0),N(0,n),且m>0,n>0,则直线l的截距式方程为=1,将点A的坐标代入直线l的方程可得=1,可得m=, 由可得n>4, 则S△PMN=(n+5)m=(n+9+)=[(n-4)++13] ≥[2+13]=, 当且仅当n-4=(n>4),即m=,n=10时,等号成立,故当△PMN的面积最小时,直线l的方程为=1,即y=-6x+10. 7 学科网（北京）股份有限公司 $