专题01 一元二次方程的根（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以根的定义为核心，通过6大题型系统构建“概念-方法-应用”逻辑链，提炼代根检验、特征根识别等可迁移解题模型，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由根求参数|1例+3变式|代根入方程→解参数→检验二次项系数与Δ|根的定义→隐含限制→参数求解| |特征根|1例+3变式|零根(c=0)、相反数根(b=0)等5类特征结论|根与系数关系→特殊根的系数特征| |根与换元法|1例+4变式|重复结构设t→建立关于t的方程→验范围|整体思想→方程结构转化| |公共根|1例+4变式|设公共根→消二次项求根→代回求参数|方程同解→一次方程转化| |根的估算|1例+4变式|构造函数→算连续整数函数值→定区间|函数与方程思想→数形结合| |根的变形代入|1例+3变式|代根得等式→整式凑整体/高次降次/分式构倒数|代数变形→降次思想|

专题01 一元二次方程的根 （题型突破·举一反三） 题型01 由一元二次方程根求参数 题型02 一元二次方程的特征根 题型03 一元二次方程的根与换元法 题型04 一元二次方程的公共根 题型05 一元二次方程根的估算 题型06 根据一元二次方程的根变形代入求解 ▌题型01 由一元二次方程根求参数 核心知识点 1.方程的根定义：若x=m是方程的根，把x=m代入方程，等式成立； 2.隐含限制：一元二次方程二次项系数不为0； 3.有实数根必须满足 Δ≥0。 解题思路 1.代根入方程：将已知根代入原式，得到含参数的等式； 2.解方程求出参数所有候选值； 3检验双重条件： ① 二次项系数不为 0； ② 题目要求有实根时，Δ≥0； 4舍去不符合条件的参数，得到最终答案。 【例1】（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若是关于的方程的解，则_____． 【变式1-2】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【变式1-3】（25-26八年级下·广西百色·期末）若为方程的解，则的值为__________． ▌题型02 一元二次方程的特征根 高频特征根： 1.零根：有一根为 0 ⟺ c=0； 2.互为相反数根：两根和为 0 ⟺ b=0； 3.互为倒数根：两根积为 1 ⟺ c=a； 4.一根为 1：x=1代入得 a+b+c=0； 5.一根为- 1：x= -1 代入得 a-b+c=0。 【例2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，，则关于的一元二次方程中（    ） A．必有一根为1 B．必有一根为 C．必有一根为0 D．必有一根为2 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． ▌题型03 一元二次方程的根与换元法 整体换元 观察式子重复结构，设整体为 t； 结合方程根满足的等式，建立关于 t 的方程； 解出 t，注意舍去不符合取值范围的解。 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于x的方程有一个根为2025，则方程必有一个根为________． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为__________． 【变式3-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． ▌题型04 一元二次方程的公共根 解题思路情况 求唯一公共根 设公共根为a，分别代入两个二次方程； 消去 a2，解一次方程求出公共根 a； 将a代回任意一个方程，求参数； 检验：排除两方程两根全部相同的情况。 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-1】（2021·四川南充·一模）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是_____． 【变式4-2】（18-19八年级·全国·课后作业）如果方程与方程的解相同，那么______. 【变式4-3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为______． 【变式4-4】（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． ▌题型05 一元二次方程根的估算 解题思路 构造二次函数 y=ax2+bx+c； 代入连续整数，计算对应函数值； 找到一组m、n满足ym ·yn<0，则一根在m 和 n 之间； 若Δ可算出，先求根公式算出近似小数，再锁定整数区间。 【例5】（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【变式5-1】（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 ▌题型06 根据一元二次方程的根变形代入求解 解题思路 1.代根：把字母代入一元二次方程，得到等式； 2.变形：按需变形三种形式： 简单整式：凑整体； 高次式子：反复降次； 分式：两边除以字母构造倒数和； 3.替换：将所求代数式里的高次 / 整块全部替换； 4.化简：合并同类项，消去含字母项，得到数值。 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）是方程的根，则式子的值为的值为（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【变式6-3】（21-22八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的根 （题型突破·举一反三） 题型01 由一元二次方程根求参数 题型02 一元二次方程的特征根 题型03 一元二次方程的根与换元法 题型04 一元二次方程的公共根 题型05 一元二次方程根的估算 题型06 根据一元二次方程的根变形代入求解 ▌题型01 由一元二次方程根求参数 核心知识点 1.方程的根定义：若x=m是方程的根，把x=m代入方程，等式成立； 2.隐含限制：一元二次方程二次项系数不为0； 3.有实数根必须满足 Δ≥0。 解题思路 1.代根入方程：将已知根代入原式，得到含参数的等式； 2.解方程求出参数所有候选值； 3检验双重条件： ① 二次项系数不为 0； ② 题目要求有实根时，Δ≥0； 4舍去不符合条件的参数，得到最终答案。 【例1】（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 【变式1-2】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 【变式1-3】（25-26八年级下·广西百色·期末）若为方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程的解满足方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：为方程的解 整理得 ． ▌题型02 一元二次方程的特征根 高频特征根： 1.零根：有一根为 0 ⟺ c=0； 2.互为相反数根：两根和为 0 ⟺ b=0； 3.互为倒数根：两根积为 1 ⟺ c=a； 4.一根为 1：x=1代入得 a+b+c=0； 5.一根为- 1：x= -1 代入得 a-b+c=0。 【例2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 【变式2-1】（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 【变式2-2】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，，则关于的一元二次方程中（    ） A．必有一根为1 B．必有一根为 C．必有一根为0 D．必有一根为2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：根据，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴必有一根为， 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． ▌题型03 一元二次方程的根与换元法 整体换元 观察式子重复结构，设整体为 t； 结合方程根满足的等式，建立关于 t 的方程； 解出 t，注意舍去不符合取值范围的解。 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于x的方程有一个根为2025，则方程必有一个根为________． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的根，理解方程根的定义是解题的关键；所求方程可变形为，由关于x的方程有一个根为2025可知，，即可得解． 【详解】解：， ， 关于x的方程有一个根为2025， ， ， 故答案为：2024． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．将题干中的一元二次方程通过变量代换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解，再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程整理得：． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． ▌题型04 一元二次方程的公共根 解题思路情况 求唯一公共根 设公共根为a，分别代入两个二次方程； 消去 a2，解一次方程求出公共根 a； 将a代回任意一个方程，求参数； 检验：排除两方程两根全部相同的情况。 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，理解方程的解的概念是解题关键．联立方程计算求解． 【详解】解：∵方程和有一个根相同， ∴，即， 解得 又∵， ∴， 此时． 故选：D． 【变式4-1】（2021·四川南充·一模）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是_____． 【答案】-2 【分析】：设它们的相同根为t，利用方程根的定义得到t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，利用②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，则t＝1，然后把t＝1代入①中可求出k的值． 【详解】解：设它们的相同根为t， 根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②， ②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1， ∵t有且只有一个值， ∴k﹣1≠0， ∴t＝1， 把t＝1代入①得1+1+k＝0， ∴k＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式4-2】（18-19八年级·全国·课后作业）如果方程与方程的解相同，那么______. 【答案】-27 【分析】两个方程解相同，则他们解的平方也相等，可将方程化为的形式判断． 【详解】解：由得，由得，因为两个方程解相同，则有，解得． 【点睛】两个方程解相同，则他们解的平方也相等． 【变式4-3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 【变式4-4】（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． ▌题型05 一元二次方程根的估算 解题思路 构造二次函数 y=ax2+bx+c； 代入连续整数，计算对应函数值； 找到一组m、n满足ym ·yn<0，则一根在m 和 n 之间； 若Δ可算出，先求根公式算出近似小数，再锁定整数区间。 【例5】（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 【变式5-1】（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 【变式5-4】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． ▌题型06 根据一元二次方程的根变形代入求解 解题思路 1.代根：把字母代入一元二次方程，得到等式； 2.变形：按需变形三种形式： 简单整式：凑整体； 高次式子：反复降次； 分式：两边除以字母构造倒数和； 3.替换：将所求代数式里的高次 / 整块全部替换； 4.化简：合并同类项，消去含字母项，得到数值。 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）是方程的根，则式子的值为的值为（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】把代入，得出，再将代入，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，关键是理解“使一元二次方程两边相等的未知数的值，是一元二次方程的解”． 【详解】解：把代入得：， ， ， 故选：D． 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 【变式6-3】（21-22八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $