21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式与根与系数关系，以题型递进构建知识应用逻辑，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式|5题/题型|判断根的情况、求参数范围、证明根的情况|从概念（判别式公式）到应用（参数取值、根的证明），形成完整逻辑链| |根与系数关系|5题/题型|求代数式值、判断方程根|基于判别式前提，实现根与系数关系的直接与间接应用| |综合应用|5题/题型|两者结合的解答题|融合判别式与根与系数关系，体现知识综合迁移，培养数学思维|

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 【知识点2 一元二次方程的根与系数的关系】 若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 注意它的使用条件为，， . 题型突破： 题型一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2.一元二次方程 的实数根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断1 3.在下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4.关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关 5.已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 题型二：根据一元二次方程的情况求参数 1.已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 2.若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1 4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 题型三：应用根的判别式证明根的情况 1.已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 2.已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根． 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根的差是2，求实数的值． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值． 题型四： 由根与系数的关系求代数式的值 1.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 2．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　） A． B．- C．- D． 3.若一元二次方程的两个根是、，则的值是 4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______． 5.若方程的两根为，则= ； 题型五：已知方程根的情况判断另一个方程 1.若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 2.有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（    ） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 3.关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 题型六：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1．关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 2．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值． 3.已知关于的一元二次方程， (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 4．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 5．已知关于的方程 （1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？ （2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 【知识点2 一元二次方程的根与系数的关系】 若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 注意它的使用条件为，， . 题型突破： 题型一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.一元二次方程 的实数根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断1 【答案】B 3.在下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关 【答案】B 5.已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 【答案】D 题型二：根据一元二次方程的情况求参数 1.已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 2.若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 3.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1 【答案】D． 4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 即，且， 解得：且； （2）满足条件的最小正整数是， 此时方程为， 解得：，． 题型三：应用根的判别式证明根的情况 1.已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 【答案】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4， ∵4（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴这个方程总有两个不相等的实数根． 2.已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根． 【答案】（1）解：把x＝2代入原式得4+2p+q+1＝0， 所以q＝﹣2p﹣5； （2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5） ＝p2+8p+20 ＝p2+8p+16+4 ＝（p+4）2+4， 而（p+4）2≥0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：依题意，得 ∵ ∴方程总有两个实数根； （2）解：方程 由（1）得 ∴，∴，， ∵方程的一根大于2，一根小于1， ∴ ∴． ∴m的取值范围是． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根的差是2，求实数的值． 【答案】(1)见详解 (2)1或 （1）证明：，∵∆≥0，∴方程总有两个实数根； （2）解：，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程两个根的差是2，∴若，则；若，则．∴实数的值为1或． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8） =m2-12m+36 =（m-6）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）x=， ∴x1=m-4，x2=2， ∵方程有一个根是负整数， ∴m-4＜0， ∴正整数m的值为1或2或3． 题型四： 由根与系数的关系求代数式的值 1.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 2．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　） A． B．- C．- D． 【答案】D 3.若一元二次方程的两个根是、，则的值是 【答案】 4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______． 【答案】-1 5.若方程的两根为，则= ； 【答案】 题型五：已知方程根的情况判断另一个方程 1.若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【答案】A 2.有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（    ） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 【答案】D 3.关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 题型六：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1．关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）． 【详解】 （1）根据题意得， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴，都为负数，即此方程有两个负根； （3）∵，都为负数，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值． 【答案】（1）；（2）15． 【详解】 （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ， 即的取值范围为：； （2）、是一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ，， 3.已知关于的一元二次方程， (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴判别式， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有两个实数根，， ∴， ∵ ∴ 解得：． 4．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1）∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：，， ∵， ∴． 5．已知关于的方程 （1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？ （2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值． 【答案】（1）①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；（2）． 【详解】 解：． ①当，时，方程有两个不相等的实数根； ②当，时，方程没有实数根； （2）∵方程的两个实数根为，， ∴，， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $