专题27.2 （1）二次函数y=a（x+m)2+h图像与性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=a(x+m)²+h的图像与性质，以y=ax²为基础，通过y=ax²+h（上下平移）、y=a(x+m)²（左右平移）逐步过渡到综合平移，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，构建递进式学习支架。 该资料以“知识点+即学即练+题型分类”设计，典例与变式结合，如足球射门问题培养模型意识，平移口诀强化几何直观，提升抽象能力与推理能力。课中辅助分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题27.2（1） 二次函数y=a（x+m)2+h的图像与性质 教学目标 1. 能画出y=a(x+m)²+h的图象，明确其为抛物线。 2. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 3. 理解y=a(x+m)²+h与y=ax2的平移规律，会进行图像平移变换。 教学重难点 重点： 1. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 难点： 1. 二次函数y=a(x+m)²+h 中系数m、h的几何意义及左右平移法则; 2. 理解二次函数y=a(x+m)²+h的增减性; 知识点01 二次函数 y=ax²+h的图像与性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（h0）或向下（h）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，h）; 【即学即练】 1．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 知识点02 二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=-m; (3)顶点坐标是 （-m，0） 【即学即练】 1. 已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 知识点3 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像与性质 1. 图像与性质 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 2. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 3. 增减性 从二次函数y=+h的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<-m时，y随x的增大而减小， 当x>-m时，y随x的增大而增大， 当x=-m时，y取最小值，最小值为h; （2）如果a<0,那么 当x<-m时，y随x的增大而增大， 当x>-m时，y随x的增大而减小， 当x=-m时，y取最大值，最大值为h. 【即学即练】 1. 在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键． 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：列表， x … 0 1 … … 0 0 … x … 0 1 2 3 4 … … 4 2 4 … 描点，连线，得到函数图像如下， 由图象可知函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 题型01 二次函数 y=ax²+h的图像 【典例1】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______. 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为； 故答案为：向下；y轴；； 【变式1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 【变式2】如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 【变式3】二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴抛物线过第一、二象限． 故选：A． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 题型02 二次函数 y=ax²+h的性质 【典例1】已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线方程为 ∴开口向上，对称轴为， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ ． 故选：D． 【变式1】下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答． 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 【变式2】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式3】已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【变式4】用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)向上 (2)轴 (3) (4)增大 (5) (6) 【分析】（1）先列表，再描点，并画图，再根据图象可得开口方向； （2）根据图象可得对称轴方程； （3）根据图象可得顶点坐标； （4）根据图象可得增减性； （5）根据图象可得函数值为0时，自变量的值； （6）根据函数图象可得当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 列表如下： 0 1 2 0 0 3 描点并画图：    ∴图象开口向上； （2）图象的对称轴为轴； （3）图象的顶点坐标为：； （4）当时，y随x的增大而增大； （5）当时，则， 解得：； （6）当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型03 二次函数 y=a(x+m)²的图像 【典例1】1．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【变式1】抛物线的形状与抛物线相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 由抛物线的形状相同得到，运算解答即可． 【详解】∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【变式3】将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 【变式4】将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， ∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故答案为：． 题型04 二次函数 y=a(x+m)²的性质 【典例1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 【变式1】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【变式2】已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为_______． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 【变式3】若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由抛物线可得，，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴ 故答案为： 【变式4】把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 题型05 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像 【典例1】在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键． 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：列表， x … 0 1 … … 0 0 … x … 0 1 2 3 4 … … 4 2 4 … 描点，连线，得到函数图像如下， 由图象可知函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1】 在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【分析】二次函数当x=-1时，=0，所以当x=-1时，函数y有最小值0，所以列表时要将（-1，0）居中。 【详解】（1）解：列表： 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 【变式2】 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位， 平移后解析式为：， 故选：A． 【变式3】某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把二次函数解析式设为顶点式，再由所求抛物线的形状与函数的图象相同，且开口方向相反，得到 ，据此即可求得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 设该二次函数图象解析式为， 二次函数图象形状与函数的图象相同，且开口方向相反， ， 该二次函数的解析式为． 【变式4】探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 题型06 二次函数 y=a(x+m)²+h的性质 【典例1】填将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【变式1】顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 【变式2】已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式3】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【变式4】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 题型07 待定系数法及其实际应用 【典例1】已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【变式1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了顶点式法求二次函数的解析式，掌握相关知识点是解题的关键． 设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入中，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． 【变式2】根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式： （1）设出解析式，再利用待定系数法求解即可； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1））解：设抛物线的函数解析， 把点和的坐标代入中得， 解得 ， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设抛物线的函数解析式为， 将点的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【变式3】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【变式4】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 题型08 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像与性质的综合 【典例1】定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)详见解析；最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 【变式1】如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 【变式2】如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【详解】解：由题意，得点的坐标为， ． 点都在抛物线上，且平行于x轴， 为等腰三角形，且轴． 为直角， 为等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为． 把代入，得，解得． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，二次函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 【变式3】二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换． (1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________； (2)若二次函数M的5阶变换的关系式为． ①二次函数M的解析式为___________； ②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式； （2）①将向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解； ②先求出直线的函数表达式，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，证明，设点，则点，表示出，即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为， 则该点关于原点的对称点为， ∴这个抛物线的2阶变换的表达式为， 故答案为：，； （2）①∵， ∴， ∴的顶点坐标为， ∴二次函数M的顶点坐标为， ∴二次函数M的解析式为； 故答案为：； ②令， 解得或0， ∴， 设直线的解析式为， 把和的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 如图，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则点， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴当时，最小，此时， ∴． 1．下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质及二次函数的平移．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线， ，即开口向下，故A选项错误； ∵将抛物线向右平移3个单位得到，故B选项错误； ∵， ∴对称轴是直线，故C选项正确； 线的顶点坐标为，故D选项错误． 故选：C． 2．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A、C、D、根据二次函数的图象和性质解答；B、由一次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：A、二次函数，，开口向上，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意； B、一次函数，，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意； C、二次函数，，开口向下，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意； D、二次函数的图象，，开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的图象和性质，能够根据解析式判断其增减性是解题的关键． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点式分析即可求得顶点坐标，的顶点坐标是 【详解】抛物线的顶点坐标是(3，5) 故选：C． 【点睛】本题考查了的性质，掌握顶点式是解题的关键． 4．已知点均在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算自变量为、2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴． 故选：C． 5．抛物线 的顶点是________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据（）的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： 抛物线的顶点是， 故答案为： ． 6．二次函数： ①；②；③；④；⑤；⑥． （1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)； （2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔ （3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)． 【答案】 ②③ ①③⑤ ⑤和⑥；②和③ 【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断． 【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③． （2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤． （3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥，②和③． 故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤和⑥；②和③ 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键． 7．抛物线关于原点中心对称的抛物线解析式为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是求出关于原点对称对应点坐标． 设新抛物线上点为 ，则关于原点对称对应原抛物线点 ，代入原方程求解即可． 【详解】解：设新抛物线上点为 ，则关于原点对称对应原抛物线点 ， 代入原解析式 ，得 ，即 ， ∴． 故答案为：． 8．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 9. 已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象 x … 0 1 2 3 … y … 0 … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）代入函数解析式，即可求解函数值，即可填表，再描点连线即可； （2）根据函数图象即可写出部分对应y的取值范围：部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 所以补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线： （2）解：①观察图象可知：当时，． ②当时，． 10. 如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 1．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 2．将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． 3．下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 4．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 5．二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据表格给出的值代入二次函数顶点式，求出和的值，得到完整解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项． 【详解】解：已知二次函数解析式为由表格可知，当时，；当时，，将两组值代入解析式得， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A正确； 由顶点式可知，图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，因此“当时，的值随值的增大而减小”的说法错误，选项C不正确； 当时，，选项D正确． 6．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 7．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 8．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数（人）随时间（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，段与轴重合，对应）．请根据图象回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 【答案】(1)245人 (2) (3) 【分析】（1）观察图象，对应，对应，此时； （2）写出抛物线的顶点式解析式，代入，求出，即可得到y与x的函数关系式； （3）当时，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队，求解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：观察图象，对应，对应，此时， 时，等待安检的球迷有245人； （2）解：观察图象得，， 所以设抛物线的解析式为（）， 把代入抛物线的解析式中，得， 解得， 所以抛物线的解析式为（）； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， 答：从开始65分钟后，即从开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队． 9．如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)直线，的最大值为4； (2)；点到对称轴的距离为1； (3)移动的最短路程为． 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值； （2）把代入中即可得出a的值； （3）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4； （2）解：把代入中得： ， 解得：或， ∵点在的对称轴右侧， ∴； 点，对称轴为，所以点到对称轴的距离为1； （3）解：， ∴， 是由向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为． 10. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求t、k、m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)k=-1、， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数解析式为， 顶点坐标为； 当x=0时，=1 当x=-3时，=4 ∴B（0，1）,A（-3，4），t=4 直线过点，B（0，1） ，m=1 ， ， （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2（1） 二次函数y=a（x+m)2+h的图像与性质 教学目标 1. 能画出y=a(x+m)²+h的图象，明确其为抛物线。 2. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 3. 理解y=a(x+m)²+h与y=ax2的平移规律，会进行图像平移变换。 教学重难点 重点： 1. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 难点： 1. 二次函数y=a(x+m)²+h 中系数m、h的几何意义及左右平移法则; 2. 理解二次函数y=a(x+m)²+h的增减性; 知识点01 二次函数 y=ax²+h的图像与性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（h0）或向下（h）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，h）; 【即学即练】 1．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 知识点02 二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=-m; (3)顶点坐标是 （-m，0） 【即学即练】 1. 已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 知识点3 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像与性质 1. 图像与性质 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=-m; (3)顶点坐标是 （-m，h） 2. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 3. 增减性 从二次函数y=+h的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<-m时，y随x的增大而减小， 当x>-m时，y随x的增大而增大， 当x=-m时，y取最小值，最小值为h; （2）如果a<0,那么 当x<-m时，y随x的增大而增大， 当x>-m时，y随x的增大而减小， 当x=-m时，y取最大值，最大值为h. 【即学即练】 1. 在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 题型01 二次函数 y=ax²+h的图像 【典例1】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______. 【变式1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 题型02 二次函数 y=ax²+h的性质 【典例1】已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【变式3】已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【变式4】用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 题型03 二次函数 y=a(x+m)²的图像 【典例1】1．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】抛物线的形状与抛物线相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【变式3】将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【变式4】将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 题型04 二次函数 y=a(x+m)²的性质 【典例1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【变式1】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【变式2】已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为_______． 【变式3】若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 【变式4】把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 题型05 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像 【典例1】在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【变式1】 在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式2】 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 【变式4】探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 题型06 二次函数 y=a(x+m)²+h的性质 【典例1】填将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【变式1】顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【变式4】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 题型07 待定系数法及其实际应用 【典例1】已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【变式1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【变式2】根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 【变式3】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【变式4】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 题型08 二次函数 y=a(x+m)²+h的图像与性质的综合 【典例1】定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【变式1】如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【变式2】如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【变式3】二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换． (1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________； (2)若二次函数M的5阶变换的关系式为． ①二次函数M的解析式为___________； ②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标． 1．下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 2．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知点均在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．抛物线 的顶点是________________． 6．二次函数： ①；②；③；④；⑤；⑥． （1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)； （2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔ （3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)． 7．抛物线关于原点中心对称的抛物线解析式为_____． 8．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 9. 已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象 x … 0 1 2 3 … y … 0 … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，y的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 10. 如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 1．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 2．将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 4．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 6．二次函数的最小值为__________． 7．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 8．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数（人）随时间（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，段与轴重合，对应）．请根据图象回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 9．如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 10. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求t、k、m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $