专题27.2（2）二次函数y=ax2+bx+c图像与性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质，以配方法转化一般式为顶点式为基础，系统梳理图像的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，结合平移规律与a,b,c对图像的影响，构建从基础转化到性质应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例+变式”设计，强化配方法推理与图像性质分析，培养学生数学思维中的推理能力和几何直观。综合题型融入实际问题，提升模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

专题27.2（2） 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 教学目标 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； 2. 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； 3. 理解a,b,c 对图像和性质的影响； 教学重难点 重点： 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质； 难点： 1. 将一般式转为顶点式，并判断系数a,b,c对图像和性质的影响。 知识点01 一般式化为顶点式 用配方法将二次函数化成顶点式，并写出对称轴及顶点坐标 顶点坐标（），对称轴是x= 【即学即练】 1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； 知识点02 二次函数的图像与性质 1. 图像 二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. 2.性质 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 4. 系数 a、b、c对图像的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 【即学即练】 已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 题型01 化一般式为顶点式 【典例1】例1 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)． 【变式1】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的解析式为：． 利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； 【变式3】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； 【变式4】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 二次函数的图像 【典例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)画出该函数的图像． 【变式1】关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】画出函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： 【变式3】画出函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： 【变式4】已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 题型03 二次函数的性质 【典例1】已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式2】在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（   ） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型04 抛物线的平移法则 【典例1】将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． 【变式1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 【变式3】若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 【变式4】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 题型05 求区间内的函数值的范围 【典例1】已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 【变式1】二次函数，当时，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【变式3】若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 题型06 利用抛物线的对称性解题 【典例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【变式2】 若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式3】已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 【变式4】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 题型07 系数a,b,c对图像性质的影响 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式4】二次函数的图象如图所示，现有以下结论：；；方程有两个不相等的实数根；．其中正确结论的序号为______．（填写出所有正确结论的序号） 题型08 二次函数图像与性质的综合 【典例1】已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【变式1】一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【变式3】二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 【变式4】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 1．二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 4．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 5．若将抛物线向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的新抛物线表达式为________． 6．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 7．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 8．如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． 9．已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 10．已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 1．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．和3是方程的两个根 D．当时，随的增大而减小 3. 将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 4. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 6. 如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 7. 若抛物线经过点、、， 则______________ 8. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 9. 在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 10. 已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2（2） 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 教学目标 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； 2. 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； 3. 理解a,b,c 对图像和性质的影响； 教学重难点 重点： 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质； 难点： 1. 将一般式转为顶点式，并判断系数a,b,c对图像和性质的影响。 知识点01 一般式化为顶点式 用配方法将二次函数化成顶点式，并写出对称轴及顶点坐标 顶点坐标（），对称轴是x= 【即学即练】 1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 知识点02 二次函数的图像与性质 1. 图像 二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. 2.性质 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 4. 系数 a、b、c对图像的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 【即学即练】 已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得， 的值为，的值为； （2）解：由（）得，， ∴二次函数， 列表 描点，连线，如图所示. 【小问3】 解：①令，则： ， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 故答案为：； ②， 整理，得， 解得，， 检验：将和代入原方程，分母均不为，且等式成立， 故答案为：，； ③当时，， 当时，， ∵抛物线顶点为(最小值点)， ∴的取值范围是， 故答案为：是． 题型01 化一般式为顶点式 【典例1】例1 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)． 【答案】 (1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】 （1）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 【变式2】已知抛物线的解析式为：． 利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； 【详解】（1）解： ， 所以，抛物线的顶点坐标为； 【变式3】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【详解】（1）解：∵ ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ∴ ∵2 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【变式4】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴ 顶点在第二象限， 故选：． 题型02 二次函数的图像 【典例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 【变式1】关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， ∵ ∴顶点（，）在第一象限，B选项不正确， 令x=0代入二次函数得， ∵a<-1 ∴a+1<0 ∴抛物线与y轴交点位于原点下方， ∴只有D选项符合题意，A选项不正确， 故选：D． 【变式2】画出函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： 【答案】解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为， 无最小值. 【变式3】画出函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： 【答案】解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为, 无最小值. 【变式4】已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得， 的值为，的值为； （2）解：由（）得，， ∴二次函数， 列表 描点，连线，如图所示. 【小问3】 解：①令，则： ， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 故答案为：； ②， 整理，得， 解得，， 检验：将和代入原方程，分母均不为，且等式成立， 故答案为：，； ③当时，， 当时，， ∵抛物线顶点为(最小值点)， ∴的取值范围是， 故答案为：是． 题型03 二次函数的性质 【典例1】已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式是关键． （1）把二次函数化为顶点式并根据即可得到答案； （2）根据二次函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 （2）解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【变式2】在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解． 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴． 故选：A． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 【变式4】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 题型04 抛物线的平移法则 【典例1】将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． 【详解】解：， 将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位 抛物线平移后的表达式为， 故答案为． 【变式1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴平移后的新抛物线为． 故选：D． 【变式2】将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是熟练应用规律解题；根据二次函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：∵将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后得到：， 故答案为：． 【变式3】若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先根据点P在原始函数上求出c的值，得到点P坐标；再设函数向右平移h个单位，新函数为，代入点P坐标求解h，排除的情况，得到，从而得出平移后的函数表达式． 【详解】解：由点在函数上，代入得：，故， 设函数图像向右平移h个单位后，函数表达式为， 因其经过点，代入得， 化简得： 解得或，即或 其中对应原始函数，不符合“再次经过”的条件，故取， 因此平移后的函数表达式为． 【变式4】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，得；再向左平移1个单位，得． 故答案为． 题型05 求区间内的函数值的范围 【典例1】已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的对称轴与函数表达式的求解、二次函数在区间内的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的对称轴公式与单调性． （1）利用二次函数对称轴公式求出的值，进而得到函数表达式； （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，分析区间内的最值，确定取值范围． 【详解】（1）解：二次函数中，，对称轴为， 代入对称轴公式得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：将二次函数配方为顶点式： 由顶点式可知，该二次函数的开口向上（因为），顶点坐标为， 即当（在区间内）时，取得最小值4， 当时，， 时，， 函数开口向上，在区间内，离对称轴越远，函数值越大． 当时，函数取得区间内的最大值． 综上，当时，函数的取值范围是． 【变式1】二次函数，当时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数上点的特征，根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，顶点为，由当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，顶点为， 当时，， 当时，， 当时，． 故选：D． 【变式2】若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 【变式3】若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 【变式4】已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型06 利用抛物线的对称性解题 【典例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴与已知点，利用二次函数的对称性得到另一个与x轴的交点，再设交点式代入求解即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴根据二次函数的对称性，可得抛物线经过点， 设抛物线的交点式 为， 将点 代入，得 ， 解得 ， ∴ ． 【变式2】 若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含义是解本题的关键． 由，是抛物线上的两点，而这两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得答案． 【详解】解：，是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 【变式3】已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 【答案】 【分析】由于点与纵坐标相同，因此这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可得抛物线的对称轴，结合二次函数对称轴公式求解b即可． 【详解】解：∵，是抛物线上的两个点， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 【变式4】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 题型07 系数a,b,c对图像性质的影响 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 【变式1】已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 【变式2】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据的正负，判断两个函数图象的开口方向、所在象限及与轴交点的位置． 分和两种情况讨论；当时，二次函数开口向上，与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限；当时，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限；据此逐一判断选项． 【详解】解：A、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数开口向下，故，两者矛盾，此选项不符合题意． B、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数与轴交于正半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． C、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数与轴交于负半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． D、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数开口向下，故，与轴交于正半轴，故，即，三者一致，此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式4】二次函数的图象如图所示，现有以下结论：；；方程有两个不相等的实数根；．其中正确结论的序号为______．（填写出所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系是解题的关键． 根据函数图象得到，，根据对称轴是直线，于是得到，同号，可得，得到，故正确；根据轴对称的性质得到，故正确；根据图象得到函数与轴有两个交点，于是得到方程有两个不相等的实数根，故正确；根据二次函数的性质得到，故正确． 【详解】解：函数图象开口向下，且时，， ，， 又对称轴是直线， ，同号，可得， ， 故正确； 对称轴是直线，且时，， 根据轴对称的性质，时，， 时，， 即， ， 故正确； 根据图象可知，函数与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ， 即， 故正确； 故答案为：． 题型08 二次函数图像与性质的综合 【典例1】已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，将代入解析式进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【变式1】一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)第7月的利润最大，最大利润是49万元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式求最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法和顶点式． （1）利用待定系数法进行求解析式即可； （2）将函数解析式化成顶点式，然后进行求最值即可． 【详解】（1）解：因图像过原点，则设函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：， 当时，利润最大，最大利润为（万元）． 【变式2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 【变式3】二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)2 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标，平移的规律： （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）根据抛物线平移的性质可得平移后的图象的解析式，再把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的二次函数的解析式为， ∵平移后的图象恰好经过点， ∴， 解得：． 故答案为：2 【变式4】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 1．二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴交点的求法，熟练掌握“求函数与轴交点时，令计算值”是解题的关键．求二次函数与轴的交点，只需令，计算对应的值即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标为 ∴令，代入，得 ∴交点坐标为 故选：． 2．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规则是解题关键． 根据二次函数图象平移的规则：左加右减，上加下减，向右平移2个单位，即将替换为，即可得到新抛物线的表达式． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴替换为，， ∴新抛物线的表达式为， 故选：A． 3．已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据代入点求解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格知：点在函数上，代入得： ， 解得：， ∴， 判断选项： A.∵，∴开口向上，正确； B.对称轴为直线，正确； C.∵，，∴，∴原结论不正确； D. ，， ∵，∴，正确； 故选C． 4．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为D． 故选：D． 5．若将抛物线向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的新抛物线表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，依次调整表达式． 【详解】解：原抛物线为 ， 先向下平移3个单位，得 ， 再向左平移1个单位，将 替换为 ，得 ， 故新抛物线表达式为 ， 故答案为： ． 6．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 7．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后计算各点与对称轴的距离，根据开口向下时距离对称轴越远函数值越小的性质，判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且，， ∴， 故答案为：． 8．如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象性质，抛物线在对称轴左侧上升意味着开口向下，因此二次项系数必须小于零，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴的左侧是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 9．已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 【答案】(1)开口方向向上；对称轴为直线；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (2)平移的距离为 【分析】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，再结合平移的坐标变化计算距离． （1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，再结合开口方向分析函数的增减变化情况； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，即为平移的距离． 【详解】（1）解：将抛物线展开得，转化为顶点式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上；对称轴为直线； ∵开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）知原抛物线的顶点坐标为，目标顶点坐标为， 两点的横坐标差为，纵坐标差为， 根据勾股定理，平移的距离为． 10．已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 1．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴公式． 根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】∵抛物线中，，， ∴对称轴为直线． 对称轴为轴， 故选：D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．和3是方程的两个根 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，能利用数形结合得出抛物线的对称轴及其顶点坐标是解答此题的关键．直接根据二次函数的图象进行分析解答即可． 【详解】解：A．观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，所以二次函数的图象关于直线对称，故A选项的说法正确； B．观察图象可知，抛物线顶点坐标为，又抛物线开口向上，则二次函数最小值为，故B选项的说法正确； C．由图像可知抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即或3时，，故C选项的说法正确； D．由抛物线的对称轴为直线且开口向上，所以当时，随的增大而增大，故D选项的说法错误； 故选：D． 3. 将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，抛物线平移时开口大小和方向不变，故二次项系数 a 不变，根据新顶点坐标直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 4. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 5．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 6. 如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 7. 若抛物线经过点、、， 则______________ 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，把点、、代入抛物线的解析式，解出，，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 8. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)二次函数的图象见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）解：二次函数的图象如图所示： （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 9. 在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标和函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． （1）先转化成一般形式，再利用配方法变形即可； （2）根据平移后的顶点坐标可得出解析式； 【详解】（1）， ， 顶点坐标为； （2）抛物线平移后顶点坐标为， ． 10. 已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 【答案】(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $