第三十课时-函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学函数y=Asin(ωx+φ)同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖5大核心考点，通过概念理解-运算训练-实际建模路径巩固知识，适配新授课学情。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本性质（周期、值域等）|选择题1-4、填空9-10直接考查定义，强化概念记忆| |提升层|单调性、对称性、解析式|选择题5-8、填空11-12需推理计算，如单调区间求解| |综合层|实际应用与综合运算|解答题13-15结合简谐运动、弹簧振子，培养模型意识|

高一数学必修第一册 · 课时同步训练 第三十课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 基本性质 函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)（A ＞ 0, ω ＞ 0）的基本性质：定义域为R，值域为[－A, A]，周期T ＝ 2π/ω，频率f ＝ 1/T ＝ ω/(2π)，相位为ωx ＋ φ，初相为φ。当A ＞ 1时振幅放大，0 ＜ A ＜ 1时振幅缩小。ω越大周期越短，ω越小周期越长。 考点二 单调性 函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的单调性由ωx ＋ φ的范围决定。当ωx ＋ φ ∈ [－π/2 ＋ 2kπ, π/2 ＋ 2kπ]时单调递增；当ωx ＋ φ ∈ [π/2 ＋ 2kπ, 3π/2 ＋ 2kπ]时单调递减。解题步骤：①解不等式求ωx ＋ φ的范围；②解出x的范围；③注意ω的正负对单调性的影响。 考点三 对称性 函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的对称轴为ωx ＋ φ ＝ π/2 ＋ kπ（即取最大值或最小值时的x值），对称中心为((kπ － φ)/ω, 0)（即零点）。最大值点：ωx ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，此时y ＝ A；最小值点：ωx ＋ φ ＝ －π/2 ＋ 2kπ，此时y ＝ －A。 考点四 求解析式 由图象或条件求y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的解析式：①由振幅（最大值或最小值）确定A；②由周期（两个相邻最值点或零点的横坐标差）确定ω；③由特殊点（最值点或零点）确定φ。确定φ时需注意：最高点处ωx ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，零点处ωx ＋ φ ＝ kπ，代入已知坐标解出φ，注意|φ|的范围限制。 考点五 实际应用 简谐运动模型y ＝ Asin(ωt ＋ φ)中，A为振幅（最大位移），T ＝ 2π/ω为周期（往返一次的时间），f ＝ 1/T为频率（单位时间往返次数），ωt ＋ φ为相位，φ为初相。解题时需将实际问题转化为三角函数模型，注意单位的统一和物理意义的解释。 知识结构思维导图 图1 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/6)的周期为（ ） A．2π/3 B．π/3 C．2π D．π 2．函数f(x) ＝ 3sin(2x ＋ π/4)的值域为（ ） A．[－1, 1] B．[－2, 2] C．[－3, 3] D．[－4, 4] 3．函数f(x) ＝ 2sin(2x ＋ π/3)的初相为（ ） A．π/3 B．2 C．2π/3 D．π/6 4．函数f(x) ＝ 2sin(3x － π/6)的一个对称中心为（ ） A．(π/18, 0) B．(π/6, 0) C．(π/3, 0) D．(π/2, 0) 5．函数f(x) ＝ 3sin(2x ＋ π/3)在下列哪个区间上单调递增（ ） A．[－5π/12, π/12] B．[π/6, 2π/3] C．[2π/3, 7π/6] D．[－π/6, π/3] 6．函数f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)的振幅为2，周期为2π/3，初相为π/6，则f(x) ＝ （ ） A．2sin(3x ＋ π/6) B．2sin(3x － π/6) C．2sin(2x ＋ π/6) D．2sin(3x ＋ π/3) 7．函数f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/4)取最大值时x的集合为（ ） A．{x | x ＝ π/4 ＋ 2kπ/3, k ∈ Z} B．{x | x ＝ π/12 ＋ 2kπ/3, k ∈ Z} C．{x | x ＝ π/6 ＋ 2kπ/3, k ∈ Z} D．{x | x ＝ π/3 ＋ 2kπ/3, k ∈ Z} 8．已知简谐运动y ＝ 4sin(πt ＋ π/3)，则该运动的振幅和周期分别为（ ） A．4和2 B．4和2π C．2和4 D．4和1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数f(x) ＝ 3sin(4x ＋ π/6)的振幅为____________，周期为____________。 10．函数f(x) ＝ 2sin(3x － π/4)的初相为____________。 11．函数f(x) ＝ 2sin(2x ＋ π/3)取最小值时x的集合为____________。 12．已知简谐运动y ＝ 3sin(2πt ＋ π/6)，则该运动的频率为____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知函数f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/4)。 （1）求f(x)的振幅、周期和初相； （2）求f(x)取最大值时x的集合； （3）求f(x)的单调递增区间。 14．（14分）已知函数f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)（A ＞ 0, ω ＞ 0, |φ| ＜ π）的图象的一个最高点为(π/12, 2)，由该最高点到相邻最低点（横坐标增大方向）的横坐标差为π/3。 （1）求A、ω、φ的值； （2）求f(x)的解析式； （3）求f(0)的值。 15．（14分）已知弹簧振子做简谐运动，位移y（cm）与时间t（s）的关系为y ＝ Asin(ωt ＋ φ)，其中A ＞ 0, ω ＞ 0。已知振幅为4cm，周期为π秒，t ＝ 0时y ＝ 2。 （1）求A、ω的值； （2）若|φ| ＜ π，且t ＝ 0时振子向正方向运动，求φ的值； （3）求t ＝ π/4时振子的位移y的值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． A 2． C 3． A 4． A 5． A 6． A 7． B 8． A 9． 3；π/2 10． －π/4 11． {x|x＝－5π/12＋kπ,k∈Z} 12． 1 ■ 详细解析 1．【答案】A 【解析】f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/6)中ω ＝ 3，周期T ＝ 2π/3，选A。 2．【答案】C 【解析】f(x) ＝ 3sin(2x ＋ π/4)中A ＝ 3，值域为[－3, 3]，选C。 3．【答案】A 【解析】f(x) ＝ 2sin(2x ＋ π/3)中φ ＝ π/3，初相为π/3，选A。 4．【答案】A 【解析】令3x － π/6 ＝ kπ，得x ＝ π/18 ＋ kπ/3。当k ＝ 0时x ＝ π/18，对称中心为(π/18, 0)，选A。 5．【答案】A 【解析】令－π/2 ＋ 2kπ ≤ 2x ＋ π/3 ≤ π/2 ＋ 2kπ，解得－5π/12 ＋ kπ ≤ x ≤ π/12 ＋ kπ。当k ＝ 0时区间为[－5π/12, π/12]，选A。 6．【答案】A 【解析】A ＝ 2，T ＝ 2π/3故ω ＝ 3，φ ＝ π/6，f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/6)，选A。 7．【答案】B 【解析】f(x)取最大值时3x ＋ π/4 ＝ π/2 ＋ 2kπ，即x ＝ π/12 ＋ 2kπ/3，选B。 8．【答案】A 【解析】y ＝ 4sin(πt ＋ π/3)中A ＝ 4，ω ＝ π，T ＝ 2π/π ＝ 2，振幅4，周期2，选A。 ■ 填空题解析 9．【答案】3；π/2 【解析】f(x) ＝ 3sin(4x ＋ π/6)中A ＝ 3，ω ＝ 4，T ＝ 2π/4 ＝ π/2。 10．【答案】－π/4 【解析】f(x) ＝ 2sin(3x － π/4)中φ ＝ －π/4，初相为－π/4。 11．【答案】{x | x ＝ －5π/12 ＋ kπ, k ∈ Z} 【解析】f(x)取最小值时2x ＋ π/3 ＝ －π/2 ＋ 2kπ，即2x ＝ －5π/6 ＋ 2kπ，x ＝ －5π/12 ＋ kπ，k ∈ Z。 12．【答案】1 【解析】y ＝ 3sin(2πt ＋ π/6)中ω ＝ 2π，T ＝ 2π/(2π) ＝ 1，频率f ＝ 1/T ＝ 1。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）振幅2，周期2π/3，初相π/4；（2）{x | x ＝ π/12 ＋ 2kπ/3, k ∈ Z}；（3）[－π/4 ＋ 2kπ/3, π/12 ＋ 2kπ/3]（k ∈ Z） 【解析】f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/4)。 （1）振幅A ＝ 2，ω ＝ 3，周期T ＝ 2π/3，初相φ ＝ π/4。 （2）f(x)取最大值时3x ＋ π/4 ＝ π/2 ＋ 2kπ，即x ＝ π/12 ＋ 2kπ/3，k ∈ Z。 （3）令－π/2 ＋ 2kπ ≤ 3x ＋ π/4 ≤ π/2 ＋ 2kπ， 解得－π/4 ＋ 2kπ/3 ≤ x ≤ π/12 ＋ 2kπ/3。 故单调递增区间为[－π/4 ＋ 2kπ/3, π/12 ＋ 2kπ/3]（k ∈ Z）。 本题关键：利用整体代换思想，令t ＝ 3x ＋ π/4，先求t的范围再求x的范围。 14．【答案】（1）A ＝ 2，ω ＝ 3，φ ＝ π/4；（2）f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/4)；（3）f(0) ＝ 【解析】已知最高点(π/12, 2)，相邻最低点横坐标差为π/3。 （1）由最高点纵坐标2，得A ＝ 2。 最高点与相邻最低点的横坐标差为半个周期：T/2 ＝ π/3，故T ＝ 2π/3。 由T ＝ 2π/ω ＝ 2π/3，得ω ＝ 3。 最高点处ωx ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，即3×(π/12) ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ， π/4 ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，φ ＝ π/4 ＋ 2kπ。 因|φ| ＜ π，取k ＝ 0，φ ＝ π/4。 验证：f(π/12) ＝ 2sin(3×π/12 ＋ π/4) ＝ 2sin(π/4 ＋ π/4) ＝ 2sin(π/2) ＝ 2，符合。 故A ＝ 2，ω ＝ 3，φ ＝ π/4。 （2）f(x) ＝ 2sin(3x ＋ π/4)。 （3）f(0) ＝ 2sin(0 ＋ π/4) ＝ 2sin(π/4) ＝ 2×/2 ＝ 。 本题关键：由最高点和最低点确定A、T、ω，再由最高点坐标确定φ。 15．【答案】（1）A ＝ 4，ω ＝ 2；（2）φ ＝ π/6；（3）y ＝ 2 【解析】已知y ＝ Asin(ωt ＋ φ)，振幅4cm，周期π秒，t ＝ 0时y ＝ 2。 （1）由振幅为4cm，得A ＝ 4。 由周期T ＝ π ＝ 2π/ω，得ω ＝ 2。 （2）t ＝ 0时y ＝ 4sin(φ) ＝ 2，故sinφ ＝ 1/2。 因|φ| ＜ π，φ ＝ π/6或φ ＝ 5π/6。 t ＝ 0时振子向正方向运动，即y在增大，cosφ ＞ 0。 当φ ＝ π/6时，cos(π/6) ＝ /2 ＞ 0，符合。 当φ ＝ 5π/6时，cos(5π/6) ＝ －/2 ＜ 0，不符合。 故φ ＝ π/6。 （3）y ＝ 4sin(2t ＋ π/6)。 t ＝ π/4时，y ＝ 4sin(2×π/4 ＋ π/6) ＝ 4sin(π/2 ＋ π/6) ＝ 4sin(2π/3)。 sin(2π/3) ＝ sin(π － π/3) ＝ sin(π/3) ＝ /2。 故y ＝ 4×/2 ＝ 2。 本题关键：由振幅和周期确定A和ω，由初始条件和运动方向确定φ。 高一数学必修第一册 · 第三十课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $