培优专题　函数y=Asin(ωx+φ)的图象课后同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”为核心，通过三级分层设计（A/B/C级）实现从基础变换到综合应用的递进，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级（3题）|图象平移、伸缩变换单一操作|基础选择题，直接考查变换规则，巩固概念理解| |B级（8题）|实际应用（水轮模型）、综合变换（多选）、参数计算|结合生活情境（水轮问题）与开放题型（多选题），培养模型观念与运算能力| |C级（1题）|解析式推导、值域求解、方程根综合应用|多问解答题，融合图象变换与方程思想，发展逻辑推理与创新意识|

培优专题　函数y=Asin(ωx+φ)的图象 A级　必备知识基础练 1.将函数y=sin 2x图象上每个点向右平移个单位长度,再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的函数解析式是(　　) A.y=sin(x-) B.y=sin(x+) C.y=sin(x-) D.y=sin(x+) 2.将函数f(x)=sin x图象上的所有点向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得函数图象的解析式为(　　) A.y=sin(x+)+1 B.y=sin(x-)+1 C.y=sin(x+)-1 D.y=sin(x-)-1 3.(2026河南南阳期末)将函数y=cos x的图象先向左平移φ(0<φ<π)个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变),得到y=cos(2x+)的图象,则(　　) A.φ=,ω=2 B.φ=,ω= C.φ=,ω=2 D.φ=,ω= B级　关键能力提升练 4.如图为一半径是2米的水轮,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每分钟旋转5圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:米)与时间x(单位:秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,|φ|<),则(　　) A.ω=,A=2 B.ω=,A=1 C.ω=,A=3 D.ω=,A=2 5.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=sin(x+)能构成“和谐”函数的是(　　) A.f(x)=sin(x+) B.f(x)=2sin(x-) C.f(x)=sin() D.f(x)=sin(x+)+2 6.要得到函数f(x)=sin(2x+)的图象,可以将函数g(x)=sin(2x+)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 7.(多选题)为了得到函数y=cos(2x+)的图象,只要把函数y=cos x图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 B.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的 C.横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度 D.横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度 8.(2026湖南长郡二十校联盟期末)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为　　　　.  9.将函数f(x)=asin xcos x的图象向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数g(x)=sin(x-)的图象,则ab=　　　　.  10.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,得到的函数图象关于y轴对称,则φ的最小值为　　　　　.  C级　学科素养创新练 11.已知函数f(x)=sin(ωx+)+2sin2()-1(ω>0)图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-]时,求函数g(x)的值域; (3)设h(x)=f(2x-),记方程h(x)=在x∈[]上的实数根从小到大依次为x1,x2,…,xn,若m=x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn,试求n与m的值. 答案 1.C　把函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin[2(x-)]=sin(2x-)的图象,再将y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象.故选C. 2.D　将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,再向下平移1个单位长度,得到函数y=sin(x-)-1的图象.故选D. 3.B　y=cos(2x+)的图象可由函数y=cos x的图象向左平移个单位长度,再将所得函数y=cos(x+)的图象横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=cos(2x+)的图象,所以φ=,ω=.故选B. 4.A　由题意可得T=,又ω>0,∴ω=,由图可知y的最大值为3,且当sin(ωx+φ)=1时取得最大值, ∴3=A+1,解得A=2. 5.D　由题意可知,所求函数f(x)与函数g(x)的振幅、最小正周期均相等,函数g(x)=sin(x+)的振幅为,最小正周期为2π,函数f(x)=sin(x+)的振幅为1,最小正周期为2π,故A错误;函数f(x)=2sin(x-)的振幅为2,最小正周期为2π,故B错误;函数f(x)=sin()的振幅为,最小正周期为=4π,故C错误;函数f(x)=sin(x+)+2的振幅为,最小正周期为2π,故D正确.故选D. 6.B　因为f(x)=sin(2x+)=sin[2(x+)+], 所以将函数g(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度可得到函数f(x)=sin(2x+)的图象.故选B. 7.BC　把函数y=cos x图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=cos(x+)的图象;再将横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=cos(2x+)的图象.或把函数y=cos x图象上所有的点横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=cos 2x的图象;再向左平移个单位长度,可得y=cos(2x+)的图象.故选BC. 8.6　因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为T=, 所以在x∈[0,2π]上,函数y=2sin(3x-)有三个周期的图象. 在坐标系中结合五点法画出两个函数的图象,如图所示. 由图可知,两个函数的图象有6个交点. 9.-2　f(x)=asin xcos x=sin 2x,从而根据已知条件有g(x)=sin(x+)=sin(x-). 故=1,=-,解得a=2,b=-1,从而ab=-2. 10.　将函数y=cos(2x+)的图象向左平移φ个单位长度后,得到函数y=cos[2(x+φ)+]=cos(2x+2φ+)的图象,因为图象关于y轴对称,所以2φ+=kπ,k∈Z,则φ=,k∈Z.因为φ>0,令k=1,得φ的最小值为. 11.解 (1)由f(x)=sin(ωx+)+2sin2[(ωx+)]-1=sin(ωx+)-cos(ωx+)=2sin(ωx+)=2sin ωx, 因为f(x)图象相邻两对称轴间的距离为,则T==2×,解得ω=2,故f(x)=2sin 2x. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度即得y=2sin(2x-)的图象,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),即得g(x)=2sin(4x-)的图象. 当x∈[-]时,令z=4x-,则z∈[-], 而函数y=2sin z在[-,-]上单调递减,在[-]上单调递增,则当z=4x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-2, 当z=4x-,即x=时,g(x)取得最大值, 故函数g(x)的值域为[-2,]. (3)由题得,h(x)=f(2x-)=2sin(4x-)=, 因为x∈[],则4x-∈[,5π], 设θ=4x-∈[,5π],则有sin θ=,作出正弦函数y=sin x的图象, 由图可知sin θ=在[,5π]上有5个解,即n=5, 其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π, 即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π, 4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π, 整理得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以m=x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=. 综上,n=5,m=. 2 学科网（北京）股份有限公司 $