第二十九课时-函数y=Asin(ωx+φ)的图象-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修第一册“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”同步练，含选择(8)、填空(4)、解答(3)题，覆盖振幅、周期、相位变换及综合应用，分层梯度清晰，助力从概念理解到综合应用的巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一参数(A/ω/φ)作用|选择1-4题直接考查振幅定义、周期计算、平移方向，填空9-12题强化参数识别，夯实概念理解| |进阶层|参数综合变换|选择5-8题结合ω与φ的平移量计算、由参数求函数式，培养数学推理能力与几何直观| |提升层|图象与性质综合应用|解答13题五点法作图、14题变换路径与单调性、15题由图象求参数，发展模型观念与运算能力|

高一数学必修第一册 · 课时同步训练 第二十九课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 参数A的作用（振幅变换） 函数y ＝ Asinx（A ＞ 0且A ≠ 1）的图象可以看作把y ＝ sinx图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到。A叫做振幅，它决定了函数的值域[－A, A]。当A ＞ 1时，图象在纵向上拉伸；当0 ＜ A ＜ 1时，图象在纵向上压缩。 考点二 参数ω的作用（周期变换） 函数y ＝ sin(ωx)（ω ＞ 0且ω ≠ 1）的图象可以看作把y ＝ sinx图象上所有点的横坐标变为原来的1/ω倍（纵坐标不变）而得到。ω决定了函数的周期T ＝ 2π/ω。当ω ＞ 1时，图象在横向上压缩，周期变小；当0 ＜ ω ＜ 1时，图象在横向上拉伸，周期变大。 考点三 参数φ的作用（相位变换） 函数y ＝ sin(x ＋ φ)（φ ≠ 0）的图象可以看作把y ＝ sinx图象上所有点向左（φ ＞ 0）或向右（φ ＜ 0）平移|φ|个单位而得到。φ叫做初相，它决定了图象的左右位置。注意：平移是对x而言的，即y ＝ sin(x ＋ φ)是左移φ个单位。 考点四 图象变换的综合 由y ＝ sinx变换到y ＝ Asin(ωx ＋ φ)有两种方法：方法一（先平移后伸缩）：①y ＝ sinx → y ＝ sin(x ＋ φ)（左移φ）；②→ y ＝ sin(ωx ＋ φ)（横坐标变为1/ω倍）；③→ y ＝ Asin(ωx ＋ φ)（纵坐标变为A倍）。方法二（先伸缩后平移）：①y ＝ sinx → y ＝ sin(ωx)（横坐标变为1/ω倍）；②→ y ＝ sin(ω(x ＋ φ/ω))（左移φ/ω）；③→ y ＝ Asin(ωx ＋ φ)。注意两种方法中平移量不同。 考点五 五点法作图 作y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的简图，令ωx ＋ φ分别取0, π/2, π, 3π/2, 2π，求出对应的x值和y值，描出五个关键点，用光滑曲线连接即可。五个关键点为一个周期内的起点、最高点、中点、最低点、终点。函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的性质：定义域R，值域[－A, A]，周期T ＝ 2π/ω，频率f ＝ ω/(2π)，相位ωx ＋ φ，初相φ。 知识结构思维导图 图1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y ＝ 3sinx的振幅和最大值分别为（ ） A．振幅1，最大值3 B．振幅3，最大值3 C．振幅3，最大值1 D．振幅1，最大值1 2．函数y ＝ sin(2x)的周期为（ ） A．π B．2π C．4π D．π/2 3．函数y ＝ sin(x ＋ π/3)的图象由y ＝ sinx的图象（ ） A．向左平移π/3个单位 B．向右平移π/3个单位 C．向左平移π/6个单位 D．向右平移π/6个单位 4．函数y ＝ 2sin(x － π/6)的图象由y ＝ sinx的图象（ ） A．向左平移π/6个单位，纵坐标变为2倍 B．向右平移π/6个单位，纵坐标变为2倍 C．向左平移π/6个单位，横坐标变为2倍 D．向右平移π/6个单位，横坐标变为2倍 5．函数y ＝ sin(2x ＋ π/3)的图象由y ＝ sin(2x)的图象（ ） A．向左平移π/3个单位 B．向右平移π/3个单位 C．向左平移π/6个单位 D．向右平移π/6个单位 6．函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的振幅为2，周期为π，初相为π/6，则该函数为（ ） A．y ＝ 2sin(2x ＋ π/6) B．y ＝ 2sin(2x － π/6) C．y ＝ 2sin(x/2 ＋ π/6) D．y ＝ 2sin(πx ＋ π/6) 7．函数y ＝ sin(2x － π/3)的一个对称中心为（ ） A．(π/6, 0) B．(π/3, 0) C．(0, 0) D．(π/2, 0) 8．将y ＝ sinx图象上所有点的横坐标变为原来的1/2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π/6个单位，得到函数y ＝ （ ） A．sin(2x ＋ π/6) B．sin(2x ＋ π/3) C．sin(x/2 ＋ π/6) D．sin(2x － π/6) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数y ＝ 4sin(3x ＋ π/4)的振幅为____________，周期为____________。 10．函数y ＝ sin(2x ＋ π/3)的初相为____________。 11．将y ＝ sinx图象向右平移π/4个单位，得到函数y ＝ ____________。 12．函数y ＝ 2sin(3x － π/6)的值域为____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）用五点法作出函数y ＝ 2sin(x ＋ π/4)在一个周期内的简图。 （1）列表求出五个关键点的坐标； （2）指出该函数的振幅、周期和初相。 14．（14分）已知函数f(x) ＝ 3sin(2x ＋ π/3)。 （1）求f(x)的振幅、周期和初相； （2）说明f(x)的图象由y ＝ sinx的图象经过怎样的变换得到； （3）求f(x)的单调递增区间。 15．（14分）已知函数f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)（A ＞ 0, ω ＞ 0, |φ| ＜ π）的图象的一个最高点为(π/6, 2)，其相邻的最低点为(π/2, －2)。 （1）求A, ω, φ的值； （2）求f(x)的解析式； （3）求f(0)的值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． A 3． A 4． B 5． C 6． A 7． A 8． B 9． 振幅4；周期2π/3 10． π/3 11． sin(x－π/4) 12． [－2, 2] ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】y ＝ 3sinx中A ＝ 3，振幅为3，最大值为A ＝ 3，选B。 2．【答案】A 【解析】y ＝ sin(2x)中ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π，选A。 3．【答案】A 【解析】y ＝ sin(x ＋ π/3)由y ＝ sinx向左平移π/3个单位得到（φ ＝ π/3 ＞ 0，左移），选A。 4．【答案】B 【解析】y ＝ 2sin(x － π/6)由y ＝ sinx先向右平移π/6个单位（φ ＝ －π/6 ＜ 0，右移），再将纵坐标变为2倍，选B。 5．【答案】C 【解析】y ＝ sin(2x ＋ π/3) ＝ sin(2(x ＋ π/6))，由y ＝ sin(2x)向左平移π/6个单位得到（注意：平移是对x而言，需提取ω的系数），选C。 6．【答案】A 【解析】振幅A ＝ 2，由周期T ＝ 2π/ω ＝ π，得ω ＝ 2，初相φ ＝ π/6，故y ＝ 2sin(2x ＋ π/6)，选A。 7．【答案】A 【解析】令2x － π/3 ＝ kπ，得x ＝ π/6 ＋ kπ/2。当k ＝ 0时x ＝ π/6，对称中心为(π/6, 0)，选A。 8．【答案】B 【解析】横坐标变为1/2倍得y ＝ sin(2x)，再向左平移π/6得y ＝ sin(2(x ＋ π/6)) ＝ sin(2x ＋ π/3)，选B。 ■ 填空题解析 9．【答案】4；2π/3 【解析】y ＝ 4sin(3x ＋ π/4)中A ＝ 4，ω ＝ 3，振幅为4，周期T ＝ 2π/3。 10．【答案】π/3 【解析】y ＝ sin(2x ＋ π/3)中φ ＝ π/3，初相为π/3。 11．【答案】sin(x－π/4) 【解析】向右平移π/4个单位，x → x － π/4，得y ＝ sin(x － π/4)。 12．【答案】[－2, 2] 【解析】y ＝ 2sin(3x － π/6)中A ＝ 2，值域为[－2, 2]。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）五个关键点为(－π/4, 0)、(π/4, 2)、(3π/4, 0)、(5π/4, －2)、(7π/4, 0)；（2）振幅2，周期2π，初相π/4 【解析】y ＝ 2sin(x ＋ π/4)。 （1）令x ＋ π/4 ＝ 0, π/2, π, 3π/2, 2π， 解得x ＝ －π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4。 对应y值：0, 2, 0, －2, 0。 故五个关键点为(－π/4, 0)、(π/4, 2)、(3π/4, 0)、(5π/4, －2)、(7π/4, 0)。 （2）振幅A ＝ 2，周期T ＝ 2π/1 ＝ 2π，初相φ ＝ π/4。 本题关键：五点法令ωx ＋ φ取特殊值，求出对应x和y。 14．【答案】（1）振幅3，周期π，初相π/3；（2）见解析；（3）[－5π/12 ＋ kπ, π/12 ＋ kπ]（k ∈ Z） 【解析】f(x) ＝ 3sin(2x ＋ π/3)。 （1）振幅A ＝ 3，ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π，初相φ ＝ π/3。 （2）方法一（先平移后伸缩）： ①将y ＝ sinx图象向左平移π/3个单位，得y ＝ sin(x ＋ π/3)； ②将横坐标变为1/2倍，得y ＝ sin(2x ＋ π/3)； ③将纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），得y ＝ 3sin(2x ＋ π/3)。 （3）令－π/2 ＋ 2kπ ≤ 2x ＋ π/3 ≤ π/2 ＋ 2kπ， 解得－5π/12 ＋ kπ ≤ x ≤ π/12 ＋ kπ。 故单调递增区间为[－5π/12 ＋ kπ, π/12 ＋ kπ]（k ∈ Z）。 本题关键：图象变换注意平移和伸缩的顺序，单调性利用复合函数判断。 15．【答案】（1）A ＝ 2，ω ＝ 3，φ ＝ 0；（2）f(x) ＝ 2sin(3x)；（3）f(0) ＝ 0 【解析】已知最高点(π/6, 2)，相邻最低点(π/2, －2)。 （1）由最高点纵坐标2，得A ＝ 2。 最高点与相邻最低点的横坐标差为半个周期：π/2 － π/6 ＝ π/3 ＝ T/2，故T ＝ 2π/3。 由T ＝ 2π/ω ＝ 2π/3，得ω ＝ 3。 最高点(π/6, 2)处，ωx ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，即3×π/6 ＋ φ ＝ π/2 ＋ 2kπ，φ ＝ 2kπ。 由|φ| ＜ π，得φ ＝ 0。 故A ＝ 2，ω ＝ 3，φ ＝ 0。 （2）f(x) ＝ 2sin(3x)。 （3）f(0) ＝ 2sin(0) ＝ 0。 本题关键：由最高点和最低点确定A、T、ω，再由最高点坐标确定φ。 高一数学必修第一册 · 第二十九课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $