专题2.3 整式（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学整式核心知识点，系统梳理同类项的识别与指数字母求值、合并同类项及化简求值，再到单项式的判断与系数次数计算、多项式的概念及升降幂排列、整式的判断等内容，构建从基础概念到运算应用再到规律探究的递进式学习支架。 资料以“题型归纳+举一反三”为特色，涵盖13类典型题型，每题型配例题及变式题，通过同类项识别培养抽象能力，合并同类项强化运算能力，规律探究题型发展创新意识。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

专题2.3 整式（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同类项的识别】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 3 【题型3 合并同类项】 5 【题型4 合并同类项再求值】 6 【题型5 单项式的判断】 8 【题型6 求单项式的系数、次数】 9 【题型7 写出满足某些特征的单项式】 10 【题型8 根据单项式的系数、次数求字母的值】 12 【题型9 多项式的判断】 13 【题型10 整式的判断】 15 【题型11 多项式中系数、次数中字母求值】 16 【题型12 将多项式按某个字的升幂或降幂排列】 18 【题型13 整式中的规律探究】 19 考点1 合并同类项 知识点1 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 知识点2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 【题型1 同类项的识别】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-2】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同类项定义逐个判断每组代数式是否为同类项，统计符合要求的数量即可，同类项定义为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项，同类项与系数大小，字母排列顺序无关. 【详解】解：(1) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，的指数都是，字母顺序不影响同类项判定， ∴这一组是同类项，符合要求； (2) 对于和 ∵的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同， ∴这一组不是同类项，不符合要求； (3) 对于和 ∵两个都是常数项，所有常数项都是同类项， ∴这一组是同类项，符合要求； (4) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，符合同类项定义 ∴这一组是同类项，符合要求. 综上，符合要求的情况共有个． 【变式1-3】有下列四对单项式： （1）与；（2）与；（3）与；（4） 与．其中所有不是同类项的序号为_______ 【答案】（1）（2） 【分析】根据同类项的定义，即可求得． 【详解】根据同类项的定义，与是同类项， 与是同类项 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若单项式与是同类项，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可求出 和的值，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，， ∴ 故答案为：5． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【分析】根据同类项的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项． ∴同类项中相同字母的指数对应相等，可得 ，． 解得，． 将，代入得． 【变式2-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有______种． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的概念，绝对值方程，有理数加法运算等知识点，准确理解“准同类项”的新定义并正确列出方程是解题的关键． 根据“准同类项”的新定义列出方程，解方程即可求出、的值，然后将、相加，即可得出所有可能的结果，于是得解． 【详解】解：由“准同类项”的定义可得： 或，或， 解得：、、，、、， 、、、、，共有种可能的结果， 故答案为：． 【题型3 合并同类项】 【例3】（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【答案】/ 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）合并同类项：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·四川广安·期末）小明在做一道多项式的加法与减法运算题： 时，不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为_______． 【答案】 【分析】用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 本题考查了整式的加法与减法运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为： 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法与减法中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 【题型4 合并同类项再求值】 【例4】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）先化简，再求代数式的值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，先合并同类项，再把，代入计算即可． 【详解】解：，， ． 【变式4-1】先合并同类项，再求式子的值：，其中． 【答案】， 【分析】根据合并同类项的法则进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式， 当时，则原式． 【点睛】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级上·北京昌平·期中）先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 【答案】， 【分析】本体考查整式的知识，解题的关键是根据非负数的性质，求出，的值，再根据整式的加法与减法运算，化简代数式，最后把，的值代入，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ， 把，，代入． 【变式4-3】（24-25七年级上·全国·单元复习）（1）将视作一个整体，合并同类项：； （2）已知，求（1）中式子的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查合并同类项； （1）根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”，进行计算即可． （2）把代入到合并同类项后的式子中计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）当时， 原式 考点2 单项式 知识点3 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 知识点4 单项式的系数和次数 1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为4和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 【题型5 单项式的判断】 【例5】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 【变式5-1】（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 【变式5-2】（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解． 【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 【题型6 求单项式的系数、次数】 【例6】（24-25七年级上·云南·阶段检测）单项式的系数是________． 【答案】 / 【详解】解：单项式的系数是． 【变式6-1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 【变式6-2】（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列单项式中，次数为3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式中所有字母的指数和，就是单项式的次数． 【详解】解：A 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； B 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； C 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； D 选项，所有字母的指数和为，次数为，符合要求； 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知单项式的次数是，系数是，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义．熟悉单项式的系数的定义：单项式中的数字因数，单项式的次数的定义：单项式中所有字母的指数之和，是解题的关键． 先根据单项式的系数和次数的定义求出和的值，再计算． 【详解】解：∵单项式的系数是，次数是， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7 写出满足某些特征的单项式】 【例7】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 【变式7-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式系数和次数的定义，系数为2026，次数为3，因此和的指数之和需为3，由此即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数之和，要求三次单项式，即和的指数和为3，如， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）写出一个含的单项式，使其次数是6，且系数是最大的负整数：___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，掌握相关知识是解题的关键，根据题意，系数是最大的负整数，即；次数为，即字母和字母的指数之和为． 【详解】解：最大的负整数是，单项式系数是最大的负整数， 单项式系数为， 单项式次数是，单项式的次数是所有字母的指数之和， ∴字母和字母的指数之和为， 单项式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（25-26七年级上·海南海口·期中）系数为5，只含字母m、n的三次单项式有_____个，它们是______． 【答案】 2 、 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的概念是解题的关键；单项式的次数是所有字母指数的和，系数为5且只含字母m、n的三次单项式，要求字母部分同时包含m和n（即指数均大于0），因此m和n的指数之和为3且每个指数至少为1，满足条件的组合只有两种，然后问题可求解． 【详解】解：设单项式为，其中a和b为非负整数，且，由于字母部分必须同时包含m和n，故， ∴可能的情况为：或，对应的单项式分别为和；因此共有两个这样的单项式。 故答案为2；、． 【题型8 根据单项式的系数、次数求字母的值】 【例8】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【答案】 【分析】根据单项式的系数与次数的定义，列出关于m和n的方程，求解得到m，n的值，再代入所求代数式计算得到结果． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式，且它的系数是， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）单项式的次数是，则______． 【答案】 【分析】本题考查单项式次数定义、解一元一次方程等知识，熟记单项式次数是单项式中所有字母的指数之和是解决问题的关键 根据单项式次数的定义，次数是单项式所有字母的指数之和，建立关于的一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：单项式的次数是， ， 解得， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级上·北京·期末）若单项式是关于x，y的五次单项式，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义，是解题的关键．根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数之和，因此由题意可得：． 【详解】解：因为单项式是关于，的五次单项式，所以． 故答案为：5． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）若单项式的次数是10，则的值为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了单项式的次数，解一元一次方程，根据单项式次数的定义，所有字母的指数之和等于10，列出方程求解即可． 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数之和，即， 化简得：， 移项，合并同类项得， 解得：， 故答案为：3． 考点3 多项式、整式 知识点5 多项式的概念 1. 概念：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 知识点6 整式 单项式和多项式统称整式． 【题型9 多项式的判断】 【例9】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式9-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】本题考查了多项式．根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意； 故选：D 【变式9-2】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③． 故答案为：①③． 【变式9-3】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有，，， 故答案为：． 【题型10 整式的判断】 【例10】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）在代数式中，整式的个数有___________个． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义判断即可． 【详解】解：在代数式中，整式的个数有共5个． 故答案为：5． 【变式10-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列式子中，是整式的是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式，关键是掌握整式的概念．整式是分母中不含字母的代数式，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：∵ 整式是分母中不含字母的代数式， ∴ A. 是多项式，故是整式； B. 分母含字母x，不是整式； C. 中分母含字母x，不是整式； D. 分母含字母x，不是整式； 故选：A． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）在，，，，，0，，中，整式的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，抓住分母中不含字母是解题的关键． 根据整式的定义逐个判断代数式是否为整式即可解答． 【详解】解：分母为数字5，是整式；分母含字母y，不是整式；分母含字母x，不是整式；是常数，是整式；分母为数字2，是整式；0是常数，是整式； 分母含字母b，不是整式； 是多项式，分母无字母，是整式．综上整式有5个． 故选B． 【变式10-3】下列各式①m；②x+5=7；③2x+3y；④m＞3；⑤中，整式的个数有_____个． 【答案】2 【分析】分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式．所有单项式和多项式都是整式． 【详解】解：①m；②x+5=7；③2x+3y；④m＞3；⑤中，整式有①m；③2x+3y共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．注意用不等号或等号连接的式子也不是整式． 【题型11 多项式中系数、次数中字母求值】 【例11】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【变式11-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的多项式的次数是2，则_____． 【答案】20 【分析】本题考查多项式的次数，根据多项式次数的定义，次数是最高次项的次数，因此三次项系数必须为零，进行求解即可． 【详解】解：多项式为，其次数为2，则三次项系数， 解得； ∴， 故答案为：20． 【变式11-2】（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知多项式中不含有项，则m的值为____ 【答案】−1 【分析】本题考查多项式的项的概念，解题的关键是明确“多项式不含某一项时，该项的系数为0”． 根据“多项式不含项”的条件，确定项的系数为0，进而求解的值． 【详解】解：在多项式中，项的系数为， 因为多项式不含有项，所以项的系数为0，即， 解得． 故答案为：． 【变式11-3】（25-26七年级上·重庆云阳·期中）若是关于x，y的一个三次三项式，则常数m等于__________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式为三次三项式的定义，最高次项的次数为3，且项数为3，需满足系数不为零的条件． 【详解】解：因为多项式是关于、的三次三项式， 所以最高次项的次数为3，且各项系数均不为零． 第一项的次数为， 令，得，即或． 又因第一项系数，即， 故． 故答案为1． 【题型12 将多项式按某个字的升幂或降幂排列】 【例12】（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 【变式12-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式12-2】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 【变式12-3】把多项式按的指数从大到小排列为____________. 【答案】 【分析】由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列的定义进行排列即可． 【详解】解：按的指数从大到小排列为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【题型13 整式中的规律探究】 【例13】（25-26七年级上·河南周口·期中）有一列按照一定规律写出的多项式：，，，…这列多项式的第26个为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的规律探索，熟练找准该规律是解题的关键． 通过观察给出的多项式，发现每个多项式的两个项的系数和指数与序号n有关：第一项系数为负的偶数，即，指数为；第二项系数为正的偶数，即，指数为，代入计算求解即可． 【详解】解：观察多项式序列： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 以此类推， 由此得出第n个多项式为：， 当时： 第一项系数：，指数：， 故为， 第二项系数：，指数：，故为， 因此，第26个多项式为， 故答案为：． 【变式13-1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【变式13-2】（25-26九年级上·云南昭通·期中）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式规律题，多项式的系数、次数，理解题意，准确找到多项式系数和次数的变化规律是解答的关键． 观察多项式中的系数、指数和的系数的变化规律，的系数是的次方，指数是奇数；的系数是奇数． 【详解】解：多项式中的系数依次为：即； 的指数依次为：即； 的系数依次为：即， 所以第个多项式为； 故选A． 【变式13-3】观察下列多项式：，，，，……按此规律，则第个多项式是____________． 【答案】 【分析】由所给的式子可得，分母为3的倍数，分子中a的系数为，然后加上，即可求解． 【详解】根据题目中显示的规律， 第1项为，第2项为，第3项为，则第项为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 整式（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同类项的识别】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 2 【题型3 合并同类项】 3 【题型4 合并同类项再求值】 3 【题型5 单项式的判断】 4 【题型6 求单项式的系数、次数】 4 【题型7 写出满足某些特征的单项式】 4 【题型8 根据单项式的系数、次数求字母的值】 5 【题型9 多项式的判断】 5 【题型10 整式的判断】 6 【题型11 多项式中系数、次数中字母求值】 6 【题型12 将多项式按某个字的升幂或降幂排列】 6 【题型13 整式中的规律探究】 7 考点1 合并同类项 知识点1 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 知识点2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 【题型1 同类项的识别】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【变式1-2】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】有下列四对单项式： （1）与；（2）与；（3）与；（4） 与．其中所有不是同类项的序号为_______ 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若单项式与是同类项，则_____． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2025 【变式2-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有______种． 【题型3 合并同类项】 【例3】（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）合并同类项：_____． 【变式3-2】（25-26七年级上·四川广安·期末）小明在做一道多项式的加法与减法运算题： 时，不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为_______． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【题型4 合并同类项再求值】 【例4】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）先化简，再求代数式的值：，其中，． 【变式4-1】先合并同类项，再求式子的值：，其中． 【变式4-2】（24-25七年级上·北京昌平·期中）先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 【变式4-3】（24-25七年级上·全国·单元复习）（1）将视作一个整体，合并同类项：； （2）已知，求（1）中式子的值． 考点2 单项式 知识点3 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 知识点4 单项式的系数和次数 1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为4和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 【题型5 单项式的判断】 【例5】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为_________． 【题型6 求单项式的系数、次数】 【例6】（24-25七年级上·云南·阶段检测）单项式的系数是________． 【变式6-1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列单项式中，次数为3的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知单项式的次数是，系数是，则的值是__________． 【题型7 写出满足某些特征的单项式】 【例7】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【变式7-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【变式7-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）写出一个含的单项式，使其次数是6，且系数是最大的负整数：___________．（写出一个即可） 【变式7-3】（25-26七年级上·海南海口·期中）系数为5，只含字母m、n的三次单项式有_____个，它们是______． 【题型8 根据单项式的系数、次数求字母的值】 【例8】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）单项式的次数是，则______． 【变式8-2】（25-26七年级上·北京·期末）若单项式是关于x，y的五次单项式，则______． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）若单项式的次数是10，则的值为___________． 考点3 多项式、整式 知识点5 多项式的概念 1. 概念：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 知识点6 整式 单项式和多项式统称整式． 【题型9 多项式的判断】 【例9】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【变式9-3】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 【题型10 整式的判断】 【例10】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）在代数式中，整式的个数有___________个． 【变式10-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列式子中，是整式的是（　　） A． B． C．1 D． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）在，，，，，0，，中，整式的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式10-3】下列各式①m；②x+5=7；③2x+3y；④m＞3；⑤中，整式的个数有_____个． 【题型11 多项式中系数、次数中字母求值】 【例11】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【变式11-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的多项式的次数是2，则_____． 【变式11-2】（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知多项式中不含有项，则m的值为____ 【变式11-3】（25-26七年级上·重庆云阳·期中）若是关于x，y的一个三次三项式，则常数m等于__________． 【题型12 将多项式按某个字的升幂或降幂排列】 【例12】（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【变式12-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】把多项式按的指数从大到小排列为____________. 【题型13 整式中的规律探究】 【例13】（25-26七年级上·河南周口·期中）有一列按照一定规律写出的多项式：，，，…这列多项式的第26个为__________． 【变式13-1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·云南昭通·期中）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】观察下列多项式：，，，，……按此规律，则第个多项式是____________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $