第1章 勾股定理（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级下第1章勾股定理培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择、填空、解答，选题兼具文化传承与现实应用，能分层量化学生勾股定理掌握程度与核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判断（第2题）、勾股树面积（第3题）、折叠问题（第9题）|结合赵爽弦图（第6题）考查几何直观，通过门框问题（第4题）培养空间观念| |填空题|6/18|数轴上无理数表示（第11题）、《九章算术》芦苇问题（第15题）|以木工桌面判断（第13题）强化应用意识，网格三角形（第12题）发展抽象能力| |解答题|9/72|圆柱最短路径（第24题）、绿化地管道方案（第25题）|赵爽弦图面积证明（第21题）渗透推理能力，代数式最小值构造（第10题）体现创新意识|

第1章 勾股定理·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 7．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（    ） A． 的内角和仍为 B． C． D． 8．（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______．    12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．    15．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期中）在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 18．（6分）（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 19．（6分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 20．（8分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 21．（8分）（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 22．（9分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 23．（9分）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 25．（10分）（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． (1)小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ (2)在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； (3)经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【答案】B 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A．， ∵， ∴ 不是勾股数； B．∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数， ∴0.6，0.8，1不是勾股数； D．， ∴1，2，3不能构成三角形， ∴1，2，3不是勾股数． 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 7．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（    ） A． 的内角和仍为 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、△A′BC的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意； B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°， ∴∠BA′C＜∠BAC正确，故本选项正确，不合题意； C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本选项正确，不合题意； D、应为A′B2+A′C2＞BC2，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键． 8．（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 9．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及两点之间线段最短的知识，根据题意，将代数式转化为求两条线段之和的最小值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，， 可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即， 点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______．    【答案】 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是3， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期中）在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 【答案】4或6或 【分析】根据是等腰三角形，分三种情况，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 分三种情况讨论： 情况1：当时，，如下图： 则. 此时所有角均为锐角，符合题意； 情况2：当时，，如下图： 因为，由等腰三角形三线合一得， 所以，此时所有角均为锐角，符合题意； 情况3：当时，如下图： 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，则， ，最大角为锐角，符合题意； 综上的长为4或6或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 【答案】(1)13 (2)20 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 【详解】（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 18．（6分）（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 19．（6分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 20．（8分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．（8分）（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 22．（9分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 23．（9分）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 24．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 25．（10分）（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． (1)小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ (2)在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； (3)经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 【答案】(1)见解析 (2)元 (3)见解析 【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得； （）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用； （）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴费用为（元）． （3）解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $