1.3集合的基本运算（第2课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本运算第二课时，核心内容为全集与补集的概念、符号表示、运算性质及综合应用，通过教材阅读填空、方程解集对比等问题探究导入，衔接并集与交集知识，构建完整集合运算学习支架。 资料设计分层题型（基础运算、综合应用、参数问题），结合Venn图与数轴直观辅助，融入德·摩根定律探究，培养数学抽象、直观想象与逻辑推理素养，助力学生系统掌握集合运算，提升解题能力与自主反思习惯。

1.3 集合的基本运算（第二课时）（导学案） ——全集与补集 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与Venn图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、Venn图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 重点：全集与补集的概念、符号表示及运算；并集、交集、补集的综合运算；德·摩根定律。。 难点：补集概念中全集的理解与确定；德·摩根定律的掌握与灵活运用；含参数补集综合应用问题中"正难则反"思想的应用。。 阅读教材，完成以下问题： 【1】全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作_______，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即_________．如图． 【答案】 全集 ，且 【2】补集的性质： ①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；③∁U＝________； ④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)________(∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)________(∁UB)． 【答案】 探究一、全集和补集 问题1：（1）方程在有理数解范围内的解集。 （2）方程在有实数范围内的解集。 （3）方程在有实数范围内的解集。 【答案】（1），（2），（3） 思考1：全集一定包含任何元素吗? 【答案】不一定。全集不是固定的，只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可。 思考2：问题1-3中集合和有什么关系，问题2中的集合与呢？ 【答案】对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 符号语言： 且 图形语言： 【辨析1】已知全集，， ，求下列集合. （1）； （2）； （3）； （4） . 【答案】：（1） （2） （3） （2） 问题2：根据所求的结果，你有什么发现？你能画出图简要证明吗？ 【答案】： 问题3：类似的，你能借助图解决以下问题吗？ （1）化简，， （2）分析集合与之间的关系 【答案】： 【例5】设是小于9的正整数求， 解：根据题意可得，， 所以 【例6】设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形求 解：根据三角形分类可得， 是锐角三角形或钝角三角形 所以是直角三角形 【题型1：全集、补集的运算】 1、若全集则集合的补集为( ). . . . . 【答案】： 2、设或，，则_______，_______. 【答案】， ∴，. 【知识点拨】 求补集的方法： (1)排除法：全集及其子集是用列举法表示的,从全集中去掉所有属于集合的所有元素组成的集合。 (2)图法：较为复杂的集合，还可借助于图求解。 (3)数轴法:全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解。 3、若集合当分别取下列集合时，求. (1)；(2)(3) 解：(1)根据补集定义可得：或 (2)根据补集定义可得：或 (3)根据补集定义可得：或 4、若全集,,则　　。  【答案】： 【题型2：并集、交集、补集的综合运算】 1、已知全集U或. (1)求(2) 解：(1)∵ ∴，或 (2)∵ ∴ 2、设集合,集合,,则(　　) 【答案】： 3、已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合是( 　) 【答案】：B 【题型3：补集的综合应用——求参数范围问题】 1、(1)若全集则=__ _. (2)若全集则实数=______. 【答案】 , 2、设集合全集且求实数的取值范围. 解：∵ ∴则 又∵ ∴即. 【知识点拨】 已知集合的运算结果求参数的值或范围： (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. (2)列方程(组)或不等式(组)求解. (3)注意对结果进行检验,避免违背元素的互异性. (4)注意对空集的讨论,以避免漏解. 3、设集合全集且求实数的取值范围. 解：∵𝐴={𝑥|𝑥+𝑚≥0}，𝐵={𝑥|−2<𝑥<4}， ∴𝐴={𝑥|𝑥≥−𝑚}，𝐶_𝑈 𝐵={𝑥|𝑥≤−2或𝑥≥4}. 而〖(𝐶〗_𝑈 𝐵)∪𝐴=𝑅， ∴𝑚≤−2. 即实数𝑚的取值范围是{𝑚|𝑚≤−2}. 4、已知集合,. (1)当时,求; (2)若,且,求实数的取值范围. 解：(1)当时,集合,, 所以; (2)方法一(直接法):因为,得, 又,得, 由,所以又,解得. 所以实数的取值范围是. (2)方法二(转化法):因为所以, 又,得, 又,由,结合数轴,得又,解得. 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 2．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 3．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 4．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 5．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先化简全集，再结合集合间的运算求解. 【详解】由题意可知：， 且，所以. 故选：B. 6．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 7．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 8．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 二、多选题 9．已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 10．下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3. B．若，则或 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则. 【答案】AD 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答. 【详解】对于A，全集，由，得， 则是方程的两实根，解得，A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素； 当时，集合中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD 11．设集合，，则下列命题中真命题为（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式求解集合A，根据交集为空集求解a的范围判断A，根据并集运算判断B，根据补集运算及元素和集合的关系判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合， 对于A，当时，，即，，正确； 对于B，当时，， 所以，错误； 对于C，当时，，所以，此时，正确； 对于D，当时，在数轴上把集合、表示出来，如图：    由图知，正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】由全集，集合，， 可得，则. 13．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 14．已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15．已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 16．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 17．已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 18． 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 19．对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算（第二课时）（导学案） ——全集与补集 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与Venn图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、Venn图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 重点：全集与补集的概念、符号表示及运算；并集、交集、补集的综合运算；德·摩根定律。。 难点：补集概念中全集的理解与确定；德·摩根定律的掌握与灵活运用；含参数补集综合应用问题中"正难则反"思想的应用。。 阅读教材，完成以下问题： 【1】全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作_______，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即_________．如图． 【2】补集的性质： ①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；③∁U＝________； ④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)________(∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)________(∁UB)． 探究一、全集和补集 问题1：（1）方程在有理数解范围内的解集。 （2）方程在有实数范围内的解集。 （3）方程在有实数范围内的解集。 思考1：全集一定包含任何元素吗? 思考2：问题1-3中集合和有什么关系，问题2中的集合与呢？ 【辨析1】已知全集，， ，求下列集合. （1）； （2）； （3）； （4） . 问题2：根据所求的结果，你有什么发现？你能画出图简要证明吗？ 问题3：类似的，你能借助图解决以下问题吗？ （1）化简，， （2）分析集合与之间的关系 【例5】设是小于9的正整数求， 【例6】设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形求 【题型1：全集、补集的运算】 1、若全集则集合的补集为( ). . . . . 2、设或，，则_______，_______. 【知识点拨】 求补集的方法： (1)排除法：全集及其子集是用列举法表示的,从全集中去掉所有属于集合的所有元素组成的集合。 (2)图法：较为复杂的集合，还可借助于图求解。 (3)数轴法:全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解。 3、若集合当分别取下列集合时，求. (1)； (2)(3) 4、若全集,,则　　。  【题型2：并集、交集、补集的综合运算】 1、已知全集U或. (1)求(2) 2、设集合,集合,,则(　　) 3、已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合是( 　) 【题型3：补集的综合应用——求参数范围问题】 1、(1)若全集则=__ _. (2)若全集则实数=______. 2、设集合全集且求实数的取值范围. 【知识点拨】 已知集合的运算结果求参数的值或范围： (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. (2)列方程(组)或不等式(组)求解. (3)注意对结果进行检验,避免违背元素的互异性. (4)注意对空集的讨论,以避免漏解. 3、设集合全集且求实数的取值范围. 4、已知集合,. (1)当时,求; (2)若,且,求实数的取值范围. 一、单选题 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 6．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 7．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 9．已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3. B．若，则或 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则. 11．设集合，，则下列命题中真命题为（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知全集，集合，，则________． 13．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 14．已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 15．已知集合， (1)求； (2)求. 16．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 17．已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 18． 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 19．对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $