难点训练微专题：04集合中的新定义问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

难点训练微专题--04集合中的新定义问题（学生版） 突破通法： 解决集合新定义问题的关键 （1）准确理解新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆. （2）善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，合理利用集合的运算与性质，并重视分类讨论思想的应用. 微专题训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 2．（2025高三·全国·专题练习）已知整数集合有整数解}，非空集合A满足条件（1），（2）若，则，则所有这样的集合A的个数为（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 3．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．（2025高三·全国·专题练习）（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 8．（2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）设P，Q为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 11．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 13．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 四、解答题 14．（24-25高一上·金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.，求集合A中元素至少有多少个元素？ 15．（2021高三·全国·专题练习）定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点训练微专题--04集合中的新定义问题（解析版） 突破通法： 解决集合新定义问题的关键 （1）准确理解新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆. （2）善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，合理利用集合的运算与性质，并重视分类讨论思想的应用. 微专题训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知整数集合有整数解}，非空集合A满足条件（1），（2）若，则，则所有这样的集合A的个数为（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】C 【分析】根据集合新定义即可求解. 【详解】设，是方程的两根，则， 于是分类：当，时，； 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，． 故， 所以M的5对相反数共能构成个不同的非空集合A． 故选：C. 3．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据“影子关系”集合概念，举反例说明即可；对于D：根据“影子关系”集合概念，分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 8．（2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的韦恩图理解新定义，再利用集合的交集、并集、补集及对称差集进行求解. 【详解】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，， 则，故D错误. 故选：ABC. 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）设P，Q为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合集合的定义，求，判断AB，结合实数的乘法的交换律和的定义判断C，举反例判断D. 【详解】由的定义得，显然成立，所以A正确； 由的定义得，，所以B错误； 根据实数乘法的交换律得，成立，所以C正确； 设，则，所以，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 【答案】10 【分析】根据集合中元素个数分别讨论，即可得出结果. 【详解】当集合中有1个元素时，集合中有5个元素，，，所以，此时，有序集合对为1个； 当集合中有2个元素时，集合中有4个元素，，，所以，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有3个元素时，集合中也有3个元素，，，不符合题意； 当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，，，故，，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有5个元素时，集合中有1个元素，此时，故，此时，有序集合对为1个． 综上，满足题意的有序集合对共有（个）． 故答案为：10 11．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可． 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 13．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高一上·金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.，求集合A中元素至少有多少个元素？ 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 15．（2021高三·全国·专题练习）定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是多少？ 【答案】/ 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$