专题3.1 相似多边形（举一反三讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦相似多边形核心知识，先以比例线段为基础，系统梳理比例的基本性质、合比性质、等比性质及黄金分割，再延伸至相似多边形的定义、性质及相似比应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过13类题型（含例题与变式）系统覆盖考点，结合比例尺、投影等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理判断的能力，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题3.1 相似多边形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 成比例线段】 2 【题型2 由比例的性质判断正误】 2 【题型3 由比例的性质求值】 3 【题型4 比例性质的应用】 3 【题型5 比例尺】 4 【题型6 识别相似多边形】 5 【题型7 由相似多边形判断正误】 5 【题型8 判断相似多边形】 6 【题型9 求相似多边形的相似比】 7 【题型10 求相似多边形的边长】 8 【题型11 求相似多边形的角度】 9 【题型12 求相似多边形的周长】 10 【题型13 求相似多边形的面积】 10 考点1 线段的比 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 成比例线段】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【题型2 由比例的性质判断正误】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式2-3】若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式3-1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【变式3-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【题型4 比例性质的应用】 【例4】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【变式4-1】（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．已知齿轮的转速为5600圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率．（精确到1%） 【题型5 比例尺】 【例5】在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为_____________千米． 【变式5-1】在一张比例尺为的地图上，的面积表示实际面积是_________． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 考点2 相似多边形 知识点3 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 【题型6 识别相似多边形】 【例1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似多边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似多边形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）下列各组图形中，不是相似多边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【题型7 由相似多边形判断正误】 【例7】小明用放大镜将菱形ABCD放大3倍，下面说法中，错误的是（    ） A．放大后，边长是原来的3倍 B．放大后，的大小是不变 C．放大后，周长是原来的3倍 D．放大后，面积是原来的3倍 【变式7-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 【变式7-3】对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【题型8 判断相似多边形】 【例8】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似多边形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【变式8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型9 求相似多边形的相似比】 【例9】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的相似比是_________． 【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______． 【题型10 求相似多边形的边长】 【例10】若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为_________． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（   ） A．16 B．32 C．4 D．2 【变式10-2】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-3】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是____． 【题型11 求相似多边形的角度】 【例11】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，四边形四边形，则的度数是_________． 【变式11-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【变式11-3】如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似． 求：(1)相似比； (2)∠A和∠B′的度数； (3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长． 【题型12 求相似多边形的周长】 【例12】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）若两个相似多边形的面积比为，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是_____． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为__________． 【变式12-2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式12-3】（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似多边形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【题型13 求相似多边形的面积】 【例13】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是___________． 【变式13-1】两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，如果它们的面积之和是，则较小的五边形面积是_______． 【变式13-2】如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 【变式13-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 相似多边形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 成比例线段】 2 【题型2 由比例的性质判断正误】 4 【题型3 由比例的性质求值】 5 【题型4 比例性质的应用】 7 【题型5 比例尺】 10 【题型6 识别相似多边形】 11 【题型7 由相似多边形判断正误】 13 【题型8 判断相似多边形】 17 【题型9 求相似多边形的相似比】 19 【题型10 求相似多边形的边长】 21 【题型11 求相似多边形的角度】 23 【题型12 求相似多边形的周长】 26 【题型13 求相似多边形的面积】 28 考点1 线段的比 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 成比例线段】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 【变式1-2】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______． 【答案】2 【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案． 【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴舍去， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，四个数成比例时两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算x的所有可能值，即可得到x不可能的值． 【详解】解：四个数成比例符合比例基本性质，两内项积等于两外项积，分三种情况计算x： 情况1：若3和4为外项，则，解得，对应选项A，因此A不符合题意； 情况2：若3和12为外项，则，解得，对应选项B，因此B不符合题意； 情况3：若4和12为外项，则，解得，对应选项C，因此C不符合题意； ∴x的值不能为25，只有D符合要求． 【题型2 由比例的性质判断正误】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用比例的基本性质，或设参数代入验证各选项是否成立． 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项： A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，，显然不相等，故C错误； 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，已知比例式，利用比例的基本性质分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴设比值为k，则，． A项：，，成立； B项：，，当时，不一定相等； C项：，成立； D项：，，成立， ∴不一定成立的是B． 故选：B． 【变式2-2】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】A.∵k，∴ad=bc，∴，故本选项正确； B.根据合比性质，可知本选项正确； C.根据等比性质，可知 (b+d≠0)，故本选项错误； D.由A可知，则c−2=−2，，故本选项正确, 故选：C. 【点睛】此题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解此题的关键. 【变式2-3】若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由a、b、c、d是互不相等的正数，且，根据比例的性质，即可求得∴， ，正确，利用排除法，即可求得答案． 解：∵，∴，故A正确； ，故B正确；故C正确； 故选D． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 【分析】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 【变式3-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得，从而得出，进而得出，即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 比例性质的应用】 【例4】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲乙两地相距30千米 【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键．根据行驶时间列比例，再解比例即可． 【详解】解：设甲、乙两地相距千米， 则， ， ， ， 答：甲、乙两地相距千米． 【变式4-1】（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似多边形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质的应用，根据鸡和兔的脚数关系建立等式，然后根据比例的性质变形即可． 【详解】解：∵鸡有x只，兔有y只， ∴鸡脚总数为，兔脚总数为， ∵鸡脚总数等于兔脚总数， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．已知齿轮的转速为5600圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率．（精确到1%） 【答案】(1)圈/分 (2) 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的反比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮相同时间转过齿数相同，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算． （1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可； （2）根据降速率即可解答． 【详解】（1）解：设齿轮的转速为圈/分． 因为，齿轮与齿轮啮合，所以，的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积， 即： （圈/分） 因为齿轮和齿轮叠接，它们的转速相同，所以齿轮的转速也是4000圈/分． 设齿轮的转速为圈/分．齿轮与齿轮啮合， 的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积， 即： （圈/分） 答：齿轮的转速为圈/分． （2）解：因为齿轮转速为5600圈/分，D转速为1200圈/分， 根据题意得：． 答：整个系统的降速率为． 【题型5 比例尺】 【例5】在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为_____________千米． 【答案】 【分析】主要考查了对比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺，即可求解，注意单位的统一． 【详解】解：设它们之间的实际距离约为x千米，，，则 ， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】在一张比例尺为的地图上，的面积表示实际面积是_________． 【答案】100 【分析】利用面积之比等于相似比的平方计算，后转化单位即可． 【详解】解：设实际面积为S， ∵比例尺为， ∴面积之比为：， ∴S==100， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了相似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．根据比例尺的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，比例尺． 故答案为：． 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际问题，几何体的三视图，比例的性质，先根据比例求出球体的实际半径，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：比例尺为：， 这样的球形工件实际半径为：， 根据题意得：球的体积计算公式：；，， 工厂需要供应铁的质量为：， 故选：C． 考点2 相似多边形 知识点3 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 【题型6 识别相似多边形】 【例1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的定义，逐一判断选项即可求解． 本题考查相似多边形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似多边形是解题的关键． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似多边形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似多边形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似多边形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似多边形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似多边形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似多边形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）下列各组图形中，不是相似多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，回顾一下，相似多边形的定义；如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似； 结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：选项A、B、D中图形是相似多边形，选项C中两个图形形状不相同， 故选：C． 【变式6-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 【题型7 由相似多边形判断正误】 【例7】小明用放大镜将菱形ABCD放大3倍，下面说法中，错误的是（    ） A．放大后，边长是原来的3倍 B．放大后，的大小是不变 C．放大后，周长是原来的3倍 D．放大后，面积是原来的3倍 【答案】D 【分析】用放大镜放大菱形，得到一个与原菱形形相似的菱形；根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后菱形的面积是原来的9倍，边长和周长是原来的3倍，而内角的度数不会改变． 【详解】解：∵放大前后的菱形相似， ∴放大后菱形的内角度数不变，面积为原来的9倍，周长和边长均为原来的3倍， A. 放大后，边长是原来的3倍，正确，故选项A不合题意；     B. 放大后，的大小是不变，正确，故选项B不合题意； C. 放大后，周长是原来的3倍，正确，故选项C不合题意；     D. 放大后，面积是原来的9倍，不正确，故选项D合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查对相似多边形性质的理解：（1）相似多边形形周长的比等于相似比；（2）相似多边形形面积的比等于相似比的平方；（3）相似多边形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式7-2】已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例， 根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 【详解】解：A、∵五边形五边形， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项符合题意； C、五边形的周长是五边形周长，故选项不符合题间； D、，故选项符合题意； 故选：B． 【变式7-3】对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 【详解】解：∵6：2=3：1， ∴三个矩形的长宽比为3：1， 甲方案：如图1所示， 3a+3b=6， ∴a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 乙方案：如图2所示， a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 如图3所示， 矩形①的长为2，则宽为2÷3=； 则矩形②的长为6-=，宽为÷3=； ∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=； ∵16， ∴周长和的最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 【题型8 判断相似多边形】 【例8】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似多边形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，正确理解相似多边形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似多边形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似多边形． 故选：D． 【变式8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 【题型9 求相似多边形的相似比】 【例9】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似多边形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的相似比是_________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴四边形与四边形的相似比． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键弄清楚相似多边形的相似比等于其对应边的比． 已知四边形的四条边长分别为，，，，且四边形相似于四边形，四边形的最长边是，要求出四边形与四边形的相似比． 【详解】解：四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型10 求相似多边形的边长】 【例10】若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为_________． 【答案】2或8 【分析】根据相似多边形的对应边对应成比例，列式求解．注意“其中一个多边形的最短边为4”，不确定是较大的多边形的短边，还是较小的多边形的短边，分别考虑． 【详解】解：设最短边为x，由题意得， 10：20=4：x，或10：20=x：4， ∴x=8或2． 故答案为： 2或8． 【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边对应成比例． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（   ） A．16 B．32 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的边长比等于相似比作答即可． 【详解】解：设大多边形的最大边长是x． 依题意有， 解得：． 故大多边形的最大边长是16． 故选：A ． 【变式10-2】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可． 【详解】由题意可知，两个矩形相似，可以得到 或， 解得或， ∵两个矩形不全等， ∴（舍去）， ∴x=3， 故答案选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质构建方程． 【变式10-3】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出所截矩形的面积，除以即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11 求相似多边形的角度】 【例11】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，四边形四边形，则的度数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形四边形，则，再根据四边形的内角和为360度，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 则， 故答案为：． 【变式11-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质． 根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解． 【详解】解：∵五边形∽五边形， ∴． ∵五边形内角和为，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式11-2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式11-3】如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似． 求：(1)相似比； (2)∠A和∠B′的度数； (3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长． 【答案】(1)；(2) ∠A＝90°，∠B′＝150°；（3）CD＝cm，EF＝cm，A′F′＝cm，E′D′＝cm. 【详解】【分析】（1）对应边的比就是相似比；（2）利用相似多边形对应角相等,可求出结果；（3）利用相似多边形性质列出比例式求解. 【详解】解：(1)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边， ∴ ，即相似比为. (2)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.又∵∠A′＝90°，∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°. (3)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴. 由，AF＝4 cm，得＝， ∴A′F′＝ (cm)． 由＝，E′F′＝4 cm，得＝， ∴EF＝ (cm)． 由，ED＝5 cm，得＝， ∴E′D′＝ (cm)． 由，C′D′＝3 cm，得＝， ∴CD＝ (cm)． 即CD＝cm，EF＝cm，A′F′＝cm，E′D′＝cm. 【点睛】本题考核知识点：相似多边形性质. 解题关键点：熟记相似多边形的性质. 【题型12 求相似多边形的周长】 【例12】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）若两个相似多边形的面积比为，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是_____． 【答案】 8 【分析】本题考查相似多边形的性质，先根据相似多边形面积的比得出其相似比，根据周长比等于相似比即可得出结论． 【详解】解：∵相似多边形面积之比为， ∴相似比为， ∵周长比等于相似比， 故较大的多边形周长为． 故答案为：8． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为__________． 【答案】14 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是利用相似多边形的周长比等于对应边的比． 根据相似多边形的周长比等于对应边的比，结合已知的对应边比例与其中一个多边形的周长，计算另一个多边形的周长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ 四边形与四边形的周长比等于对应边的比 设四边形的周长为，则， 解得． 故答案为：． 【变式12-2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 【变式12-3】（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似多边形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 【题型13 求相似多边形的面积】 【例13】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是___________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 由，可得四边形与四边形的面积比等于，已知四边形的面积是，代入即可求解． 【详解】解：∵四边形 四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． 【变式13-1】两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，如果它们的面积之和是，则较小的五边形面积是_______． 【答案】10 【分析】根据相似多边形的性质：面积的比等于相似比的平方，即可解决． 【详解】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n， 则， ∴． 根据面积之和是，得：． 解得：， 故答案为；10． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键． 【变式13-2】如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 【答案】． 【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答 【详解】设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ， ∵，， ∴， ， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形 【变式13-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $