3.2 第4课时 黄金分割（教学设计）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦黄金分割概念及黄金比的推导与计算，通过知识链接回顾成比例线段和三角形相似证明方法，搭建新旧知识支架，引导学生从五角星图形探究入手构建新知。 特色在于以五角星探究为核心，通过找相等角、线段及相似三角形推导黄金比，培养数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力。结合帕提农神庙矩形、人体身高实例，渗透数学语言的应用意识，提升学生审美与应用能力，为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

第4课时　黄金分割 1.理解黄金分割的概念． 2.探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算． 3.感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识． 重点：应用黄金分割解决实际问题． 难点：会推导黄金比，能够运用相似三角形证明某个点是一条线段的黄金分割点． 知识链接 　　什么是成比例线段？证明三角形相似的方法有哪些？ 　探究点：黄金分割一个五角星 如下图所示． 问题1：从图中找出相等的角、相等的线段． ∠A=∠K=∠B=∠G=∠E．AB=AG=KG=BE=EK．（答案不唯一） 问题2：在图中找出两对相似比不同的相似三角形． △ACD∽△ABF，△FGH∽△FED． 问题3：小亮认为=，你同意他的看法吗？说说你的理由． 同意．理由如下：∵图形是五角星，易证△ACD∽△AGC． ∴=．∵AG=AB，AD=BC，∴=． 概念引入：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割．点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比．  （教材P71例4）做一做：下图是古希腊时期的帕提农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，=．点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ ===．∴点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比  在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为x m，根据题意，得=0.60，解得x=0.96.设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美，则=0.618，解得y≈0.075，而0.075 m=7.5 cm．故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美． 1.已知线段AB＝2，点C是AB的一个黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长是(　B　) A. B.－1 C. D.3－ 2.如图①是古希腊时期的帕提侬神庙，把图中虚线表示的矩形画成图②中的矩形ABCD，以AD为边在其内部作正方形AEFD，我们发现点E是线段AB的黄金分割点(AE＞BE)，据此可求得比值为(　B　) A. B. C. D. 3.已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝2(－1)，则原线段AB的长为　4　. 4.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB＞AD).若这个矩形为黄金矩形(宽与长之比等于黄金比). 4.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB＞AD).若这个矩形为黄金矩形(宽与长之比等于黄金比). (1)求该矩形的长. (2)求该矩形的面积.(结果保留根号) 解：(1)设AB＝xcm，则AD＝(20－x)cm. 由题意得＝，解得x＝10－10. 经检验，x＝10－10是原方程的根，即AB＝(10－10)cm. 答：矩形的长为(10－10)cm. (2)∵AB＝(10－10)cm， ∴AD＝20－(10－10)＝(30－10)(cm). ∴(10－10)×(30－10)＝(400－800)(cm2). 答：该矩形的面积为(400－800)cm2. 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $