3.1认识相似多边形知识梳理与题型突破（五大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以五大题型分层设计，覆盖比例线段、黄金分割比等核心知识点，通过基础概念辨析、中档运算应用到提升综合实践，构建从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比例性质判断、相似图形识别|以选择填空为主，强化概念理解，如相似图形辨析题培养几何直观| |中档|比例线段计算、黄金比长度求解|结合简单计算，如比例线段求长度题提升运算能力| |提升|相似多边形性质综合解答、实际情境应用|融入故宫建筑、黄金矩形等情境，如相似多边形性质解答题发展模型意识|

3.1认识相似多边形知识梳理与题型突破2026-2027 学年北师大版九年级上册（五大题型） 知识梳理： 考点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 考点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 考点4 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型突破： 题型一：比例的性质 1.已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2.已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3.若，则的值为 　 ． 4.已知．若b+d+f＝6．则a+c+e的值为 　 　． 5.已知a：b＝3：2，求： （1）； （2）的值． 题型二：比例线段 1.下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3.下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 4．已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5.已知是的比例中项，，则 ． 题型三：黄金分割比 1.点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 3．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 4.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 5.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 题型四：相似图形 1.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2.下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 4.下列图形一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 5．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 题型五：相似多边形的性质 1.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 2.如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　 　． 4.北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 　 　丈． 5.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）α＝　 　，它们的相似比是　 　． （2）求边x、y的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1认识相似多边形知识梳理与题型突破2026-2027 学年北师大版九年级上册（五大题型） 知识梳理： 考点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 考点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 考点4 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型突破： 题型一：比例的性质 1.已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.若，则的值为 　 ． 【答案】。 4.已知．若b+d+f＝6．则a+c+e的值为 　 　． 【答案】8。 5.已知a：b＝3：2，求： （1）； （2）的值． 【答案】解：∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k， （1）＝＝； （2）＝＝﹣1． 题型二：比例线段 1.下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 2．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 3.下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4．已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 5.已知是的比例中项，，则 ． 【答案】 题型三：黄金分割比 1.点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 4.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【答案】 5.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 题型四：相似图形 1.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D。 2.下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A。 4.下列图形一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 【答案】C。 5．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 题型五：相似多边形的性质 1.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 【答案】D 2.如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A。 3.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　 　． 【答案】11。 4.北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 　 　丈． 【答案】72。 5.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）α＝　 　，它们的相似比是　 　． （2）求边x、y的长度． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°， ∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°， 它们的相似比为：＝， 故答案为：83°；； （2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴＝＝， 解得，x＝12，y＝． 学科网（北京）股份有限公司 $