第四章 三角函数、三角恒等变换及解三角形（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列.docx

**基本信息** 聚焦三角函数、三角恒等变换及解三角形模块，以高考真题与模拟题整合训练为主，通过概念辨析、图像分析、实际应用构建知识逻辑链，强化数学思维与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数概念与图像|单选1-3、多选9|角的概念辨析、终边对称、图像识别|从任意角定义到三角函数线，结合单位圆推导图像性质| |三角恒等变换|解答题15(1)、17|公式应用、图像平移|以和差角公式为核心，推导函数解析式及周期性| |解三角形及应用|单选4-7、填空12-14、解答题15(2)、16、19|正余弦定理应用、面积与中线最值、实际测量|从三角形边角关系出发，结合不等式求最值，渗透模型意识|

2027年高考数学一轮复习培优卷 （范围：第四章 三角函数、三角恒等变换及解三角形） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 2．（2026·河北沧州·三模）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26·江苏无锡·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 10．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 11．（25-26·安徽芜湖·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 14．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 16．（25-26·上海·期中）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 17．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2027年高考数学一轮复习培优卷参考答案 (范围：第四章三角函数、三角恒等变换及解三角形) 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 B A D D A C ABC ABD 题号 11 答案 BCD 1.D 【详解】对于A,规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 360° 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为一12 =-30° 4小时转过的角度为4×(-30)=-120°，故A错误： 对于B,若。为第二象限角，则2+号<a<2版+ke2, 所以红+子号<红+e,则号是第一或第三象限角，故B错误： C 对于C,终边落在直线x+y=0上的角满足Q口=+a,keZ 4 故C错误； 2 3π 对于D,若圆心角为3的扇形的面积为2， S=1 设崩形的圆心角为，半径为，弧长为·则Sr宁r- 2s- 3元 =3 V a 由1=ar=×3=元，故D正确。 3 2.B 【详解】设角B=a+名，由题意知B终边过点P叫43) 则rOp=4+3=5,snB=,m月=手 由B=a+后箱a=B-8故2a80-引名29-员 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以m2a=sn20-=-cos20, 由格角公，20=2-12[-1- 因此2引 7 25 3.A 【详解】从图像上看，y=∫(x的图像不关于y轴对称， 选项A,《=sinx是奇函数，对称轴为r=a±k∈Z, 所以f)-3对称轴为=加±e, 2， y=sinx为单调递增函数，y=3为单调递增函数， 则f)=3m在xe0, 上是单调递增函数，符合题意，故A正确： 选项B,f(-x)=3=3=f(x),关于y轴对称，不满足题意，故B错误； 选顶C,0引，y=mx为单调递增函数，)一 1 3 为单调递减函数， r-在x 上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D,了 =∫(x),不满足题意，故D错误： 4.D 【解1白题意知5=cs血4=方×2xe以 5_5c-25,所以e=4 22 由余弦定理知a2=b2+C2-2 becosA=2+4-2×2×4×212,所以a=2N5, 1 2 b a25 =4 由正弦定理得sin B sinC sinA3,则 2 a=4sin A b=4sin B c=4sinC a+b+c 4sin 4+4sin B+4sinC=4. 所以sinA+sinB+-sinC sinA+sinB+sinC 5.D 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由2a-b=2 ccosB,得2sinA-sinB=2 sinCcosB, 由A+B+C=元，得sinA=sin(B+C), 所以2sin(B+C)-sinB=2 sinCcosB 2sinBcosC+2cosBsinC-sinB 2sinCcosB. 2sinBcosC-sinB=0, 由B∈(0，π)，得sinB≠0， 所以cosC 2,又C∈(0，)，所以C= 3 a b c243 3 sinA'b=43 由sind sinB sinc53，得a=4Ww5s -sinB 3 所以2a-b=83、 3 3 3s可4√3 =2n4-24=k如4-8. 0<A< 0<A<元 2 由 为锐角三角形，得 0<B≤π’所以。 0<2红-A< △ABC 3 下交’解守元人A元” 2 2 由名<4<受得0<4<月 6 3 所u0<46n4-君)25，即2a-be02w5) 6.A 【详解】由acosC+ccosA=4V3cosB,B=60°， 得acosC+ccosA=2V3, 由余弦定理得aa+C+e6+c-d-25, 2ab+c. 2bc 整理得b=2√5】 设。ABC的内切同半径为，则.in=a+b+d小r, 所以r=5.acV5 ac 2 a+b+c 2 2v3+a+c 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由余弦定理得：12=b=a2+c2-2 ac cos60°=(a+c）2-3ac, 5.(a+c}-12V3a+c-23 得c-a+e-1卫，所以"=23a+o)+2可23 3 由基本不等式得： (a+c)2 2ae=a+c2-12 4 3 ，所以a+c≤45 当且仅当。=6时将号成立，所以54525-1， -X- 3 故'mx=l,所以△ABC的内切圆面积的最大值为元。 7.C 【详解】(c-as小inA=esinC--bsinB,由正弦定理可得(c-a)a=c2-b2, 即d+e2-=c,则cosB 2B∈(0πB= 3, 又6=3所以g+c心-9=c因为ac≤ 2,当且仅当。=c=3时等号成立 所以a2+c2-9<a+c2 2,则a2+c2≤18 设4C边上中线的长度为'方则2h=Va+c2-2 aos-号 (+e95=5. V3 所以4C边上中线长度的最大值为 2 故选：C 8.C 对于0，因（君引-2君引骨引-2a0=2,所以x=名起/问的一条对将输，数0特误： 对于②，由f)-202+写引-2，得2x+骨-2版，k2所以x=君k:2 π5π11π17π 5π 所以x可能为：66,6,6，等等，在(0,2m)内只有两个极大值点石和长，故②正确； 对于@，因为-引-2时+}-2s景 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f2-2m27+}-2o3++}-2s-2m. 21 又y=cosx在(0，)上单调递减，所以cos元>co 3 2, (引劉 故③正确： 对T@,那的国T号个，可得y-2a引- =2c0s(2x+x)=-2cos2x, 当x=π时，y=-2cos2π=-2为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确 综上，结论正确的个数是3. 9.ABC 【详解】对于A:因为∠AOx=a,∠BOx=月，0<a<B<至，所以∠AOB=月-a,正确： 对于B,依题意M为线段1B的中点，则OM1HB,则∠A0M-B, 21 又O4=1,所以OM=l0Acos∠A0M=cosB 2，正确： 对于C:M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C,则C为AB的中点， 所以∠COx=a+ B-a_a+B 2 2 又0d=所以应c的坐标为m“sm生A 2 ,正确： 对于D.+oa4om=m生om(生学】 2 -sin- -coS- 2 2 2 2 2 1。 <cosa+Bap-cosatB a-B -cos- -=c0s -coS- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 】2sina+Bos,E=sina+Bcosa,2」 2 2 2 2 21 所以点的坐标为cos“Bcos2 .sin Bcos2 2 -cos °2 2, 错误 故选：ABC 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.【答案】ABD 【详解】由c=2 bcos A及正弦定理得，sinC=2 sin BcosA, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 代入得sin Acos B+cos Asin B=2 sin BcosA 得sin Acos B=sin Bcos A, 即amA=anB,在。BC中，有4=BeQ),赦A项正确： 由oC=(4+到.得N5cos(k-240=sm4+引. 得5(eos2A-sm小-n+2cos4, 2 因sinA+cosA>0,则sin4-cos4 2>0,得sinA>cos4故B项正确： 因为sm4+os4=1sn4-ca4=分，及4e0 4,CoS4=-1+ 联立解得sinA=1+V万 4 由A=B得a=b,则c=2 bcosA-=2 acosA, =2cosA=2x5-1-万-1 a 42，故D项正确； c 外接圆半径为R= _2cosA 2c 4c 2sinA 2sinA 4sinAcosA 4x7+xV7-33,故C项错误. △ABC 4 4 11,BCD 【详解】由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA,即16=36+c2-6V3c,解得c=3V5±V7,故符合条件的 △ABC有两个，A错误； 由于cos≤1，所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1, 故A-B=B-C=C-A=0,整理得A=B=C,所以△ABC为等边三角形，B正确： 因为。-6+心，所以>友a>G,G-合+2<6+d,所以BC足锐角三角形，C正确 a a a cosA sin2A sin2B 由正弦定理及行cosB,得 cosA cosB' 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以 1-cos2A 1-cos2B --cosB, cosA cosA cosB 显然C0SA≠0，cosB≠0， cosx f(x)<0 由f(4)=f(B),可得A=B,△ABC是等腰三角形，D正确. 12.20.5 【详解】因ABsin C=ACsin B,结合正弦定理边角互化可得：AB=AC→c=b. 1 因BC在B上的投影向量为B1, 64.BCA ac cos D BA=BA=dc cos B 1 则 BA c2 =2→2 accosB=c2→2ac0sB=c→cosB=S 2a, 由余弦定理：sB=c+g-=→c2+-6=c→G=6→a=b 2ac 2a 1 从而a=b=6,即三角形ABC为等边三角形，则cosA= 2 13. 1 21 【详解】由A+B+C=x'3B=A+C可得4Bx即8- 4:故4+C=3 则24-B=24-至，C-经4，所以24-年=4-9+ 因t24-=m4-0+引-4-0-2g 又cos(A+C)=co 3元√2 4 2 cos Acos C-sin 4sin C= 2 联立 cos Acos C+sin Asin C= 2V5 3 解得coscoC= 12 sin AsinC= 12, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则tan AtanC= sin Asin C =7 cos AcosC 由AC=b=6,结合正弦定理与三角形面积公式， 1 S,nc=absin C= sin AsinC 1 36x 12=21 2 2 sin B 2√2 2 14.100(3+1km 【详解】由题意可得，AB=200m,∠BAC=60°，∠ABC=75°，则∠ACB=180°-60°-75°=45°， 200AC 根据正弦定理可得n45sin75’又sin75=V6+V2。 4,所以AC三200sim75=1003+1，所以地震 sin45° 的位置C在A地正东100(V5+1)km处， 15.【详解】(1)由i=(V3sinx,-cosx)),万=(cosx,cosr), 则树-a6=mor-mrx=5n2x-os2x+-sm2x-君}分 2 所以f()的最小正周期为T=2=， 2 西由-5m8)分ma-1 又8为。1BC的内角：则0<B<x则-吾<28-名1 66 所以2B-π=π 62,解得B=刀 3 又b=V5，由余弦定理有b2=a2+c2-2 accos B,得3=a2+c2-ac,即(a+c-3ac=3, 即a+es3,即a+es12:解得a+<25 4 当且仅当a=c=V3时取等号，此时△ABC为等边三角形， 所以△ABC周长的最大值为a+b+c=2V3+V3=3√5 16.【详解】(1)由题意，OP=OA=4,则：PM=4sinx,OM=4cosx, 因为∠AOB=4,ND⊥OA'ND=PM=4sir’△OND为等腰直角三角形. 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故OD=ND=4sinr,因此矩形的长DM=OM-OD=4cosx-4sinr, 矩形面积y=PM,DM=4sinr·(4cosr-4sinr)=l6sinr(cosr-sinx), 代入r=石sm=),cos5:y=16x 6 62 62 64小-4 (2)由题可得的取值范围为0<x<A 4 凭形p积：y=1662x1g2 =8m2x+8eos2x-8=82m2x+日}-8， 即y与，的藏关系式为：y=85m2x+》0<r<】 因为0<x<孕，所以好<2x+经< 441 m2x+到的最大位为，当且仅当2+子子，即x=爱时取最大值。 此时y的最大值为：yms=8V2x1-8=8V2-1 30+p= 2 「0=2 17.【详解】(1)由题意可得 5π 3π，解得 0+0= 6, 2 6 又因为f 4sm经4=2，故e)=2sn2:-8引 由2x-名=0可得x=沿：由2x-6 7π 6 可得x=行：i2名2江可何x径 12 完善表格如下： 元-3 π 13π 12 12 6 12 @x+ 0 元-2 π 2 2π Asin(ox+o) 0 2 0 -2 0 9/12 可学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 ②s可行=x+}-m+}-2m2x+引 当[引，2x+[则m2+[ 函数8(x)的值域为[-1,2] 3 5ππ (3函数g()的图象与直线)=弓在区间石石)上的两个交点的横坐标分别为x、5:<） 62,由2x+π- 6 2可得x= 5ππ 所以直线x=是g()的一个对称轴，而区间6'6)的区间长度为一个周期 所以两个交点关于直线x=骨对称，且+，=2” 3 所以m2x+=m2+周 所以as2-】=omr4杯+）m4+好+ -4+引m2+副 1-2✉+引-1+2 18,【详解】（小市题可知m+=气sm+coa》 ()=(sinx+cos)sin- 2sin2x-1 11 os2r=2 2 2π 最小正周期T= =π 2 m号 所内地为] 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a将阳胸家向宝平移个年长度：0=号如+副习-三mr的图，有新上 1 移个单位长度，得到8()=号sn2r 当e[0时，2xe小m2xep 方程g()-=k有两个不可实数解，即受m2x+;太有两个不同解。 上有两个不同解 √2 结合正弦函数图像， 可知k-e0) 解得k∈ 11,2 2'22 19.【详解】(1)△ABC中，因为A+C=元-B,所以sin(4+C)=sinB, 又sin2B=V5sin(A+C),则2 sin Bcos B=V3sinB, 因为sinB≠0'所以cosB= 2 又B∈(0，)，因此B=」 6· (2设等差数列a的公差为/，结合（山有4君 又a,=3a则a+4d=34+d,解得d=2a-子 所以a-名+u-)-背n-g 6 274+a) 27×+x27-刀 (3)结合(2)有a+a,+a++a, （636_243π， 2 2 2 -=6 设b,=sina,=sin5n- 该函数的最小正周期 36 in +sind+sind,+sind,+sind,+sind=sininsinsinsinsi0 6 2 6 6 2 6 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sind+sind+sind 0x4+sind,+sina,+sina,-sinsintsin, 6 2 6 所以5，-a+a+a+…+a,)+x(sina+sina,+sin4,)=243m+2元=247 2 21 12/12 2027年高考数学一轮复习培优卷 （范围：第四章 三角函数、三角恒等变换及解三角形） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【详解】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 2．（2026·河北沧州·三模）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设角，由题意知终边过点. 则，，. 由得，故. 所以. 由二倍角公式：. 因此. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 4．（25-26·江苏无锡·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 5．（25-26·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由，得, 所以， ， ， 由，得， 所以，又，所以． 由，得， 所以 ， 由为锐角三角形，得，所以，解得， 由，得，所以． 所以，即 6．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 7．（2025·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 8．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 【答案】ABC 【难度】0.65 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 10．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【详解】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 11．（25-26·安徽芜湖·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 /0.5 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 【答案】 【详解】由，，可得，即，故. 则，，所以， 因此. 又， 联立, 解得，， 则. 由，结合正弦定理与三角形面积公式， . 14．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 16．（25-26·上海·期中）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 【详解】（1）由题意，，则：，， 因为，，，为等腰直角三角形， 故，因此矩形的长， 矩形面积， 代入，，：. （2）由题可得的取值范围为， 矩形面积： ， 即与的函数关系式为：， 因为，所以， 的最大值为，当且仅当，即时取最大值， 此时的最大值为：. 17．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因为，故， 由可得；由可得；由可得. 完善表格如下： （2）由题可得，   当时，，则，   函数的值域为. （3）函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、， 当时，，由可得， 所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期. 所以两个交点关于直线对称，且， 所以，   所以 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【详解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $