第04讲 解三角形（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形专题，覆盖正余弦定理、面积公式、边角互化等核心考点，按课标要求梳理知识体系，通过考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训四环节，帮助学生构建从基础到综合的解题能力框架。 资料以数学思维为导向设计突破策略，如最值问题采用基本不等式与三角函数法，结合真题实战和分层练习，培养学生逻辑推理与运算能力，为教师提供精准复习节奏把控方案，助力高效提升学生应考能力。

第04讲 解三角形 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）......................................2 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）..................... ................3 知识1 余弦定理.................................... ........... .......................................................3 知识2 正弦定理及正弦定理的变形................................... ................. ......................3 知识3 三角形中常用的面积公式................................. ........ ....................................3 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）........................4 考点01 边长、周长及线段类的范围................................ ................ .........................4 方法技巧 解三角形的基本策略 考点02 求面积的值及最值............................... ............... ..... ........... ...................6 知识03 边长、周长及线段类的值..................... .......................... .............................8 考点04 边长、周长及线段类的范围....................... ...........................................10 方法技巧 解三角形中的最值问题求解策略 考点05 中线长与角分线长............................ ............ ... ... ...............................13 考点06 解三角形多选题（多考点综合）............. .................. ...... ..........................17 方法技巧 判断三角形的形状 考点07 解三角形的实际应用........................................ .................. ... ..................21 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）................... .. .............23 考情·分析解读 课标要求 1.理解正弦定理、余弦定理推导过程，熟练实现三角形边角互化，能利用定理求解任意三角形边长、内角； 2.掌握三角形各类面积计算公式，结合三角恒等变换，解决含角度、边长的三角形求值与范围问题； 3.能将测量、几何实际情境抽象为解三角形模型，运用定理完成实际应用题建模与规范求解运算； 4.结合函数、不等式知识，探究三角形内角、边长、面积最值，提升综合逻辑推理与代数运算能力。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 正、余弦定理求角 全国一卷T16 全国二卷T5 全国一卷T15 三角形面积公式 全国二卷T14 全国一卷T11 全国一卷T15 边长、周长及线段类的值与范围 全国一卷T16 全国一卷T11 全国一卷T15，全国二卷T15 解三角形实际建模 全国二卷T16 三年整体考点频次统计 1. 必考（每年全部试卷覆盖）：正弦/余弦定理、边角互化、面积公式 2. 高频（2024—2026年年年考）：三角恒等变换（二倍角/辅助角）、周长/边长计算、均值不等式求最值 3. 逐年创新新增：2024常规解答；2025移入多选压轴、综合三角恒等变换；2026融合高线/多三角形几何模型、实际测量建模 4. 题型分布：2024固定解答T15；2025拆分多选+单选；2026回归解答T16，搭配填空小题，总分稳定12—15分 考情解读 近三年必考正、余弦定理与面积公式，题型灵活，既可中档解答，也可多选压轴。命题融合三角恒等变换、均值不等式、平面几何，常设置结构不良、测量应用情境。2027年延续重基础、重转化趋势，侧重边角互化与建模，兼顾运算与逻辑推理，分值稳定10—15分，是一轮复习必突破板块。 备考策略 一轮先夯实正余弦定理、面积公式，熟练边角互化，区分两定理适用场景，规避两边一对角多解疏漏。专项突破最值、结构不良、实际测量题型，融合三角恒等变换与不等式。整理真题错题，规范书写步骤，限时训练提升运算准确度，兼顾多三角形联立综合题型训练。 知识・归纳梳理 知识1 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C 变形推论 cos A=;cos B=;cos C= ✅注意：余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例. 知识2 正弦定理及正弦定理的变形 正弦定理 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 结论 =2R 文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等 正弦定理拓展:===2R.(R是△ABC的外接圆半径) 边化角 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 角化边 sin A=,sin B=,sin C= 知识3三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． ✅注意：在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 重难・核心突破 考点01 求角及三角函数值 典例1．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 典例2．（2025-2026江苏淮安市期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得，，其中为外接圆的半径， 所以，，， 因为，所以， 所以，即，由余弦定理得，， 因为，，所以，又因为，所以. 方法技巧 解三角形的策略 1.已知两边及其夹角解三角形的步骤 (1)求第三边; (2)利用余弦定理的推论求另一个角的余弦,并求出角; (3)利用三角形内角和等于180°求第三个角. 2.已知三边解三角形的步骤 (1)利用余弦定理的推论求其中两个角的余弦值,并求出角; (2)利用三角形内角和等于180°求第三个角. 3.已知两边及一边的对角解三角形的步骤 (1)利用正弦定理求另一边对角的正弦,根据边的大小确定该角是锐角还是钝角,并求出该角,如果不确定,则分两种情况; (2)根据三角形的内角和等于180°求第三个角; (3)利用正弦定理求第三边. ✅注意：三角形中“大边对大角,小边对小角”. 【考法预测1】（25-26·广东清远·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由展开得， 整理得， 将代入右边得： ， 整理得， ，故． 【考法预测2】（25-26·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 考点02 求面积的值及最值 典例1．（25-26·湖南长沙·期末）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ， 所以． 则． 故选：C. 典例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 【考法预测1】（25-26·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 【考法预测2】（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 【答案】A 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理将边化为角得， 即， 即， ，由，得，因此，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由题知，故不能取等号，即有，所以， 故的面积无最大值． 考点03 边长、周长类的值 典例1．（2025-202浙江省温州期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 由余弦定理得，即，则得， 所以， 故. 典例2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 【考法预测1】（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，，，点是的重心，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 则，，因为为钝角，所以． 设中点为，，． 在三角形和三角形中，由余弦定理可得：， ，化简得， 在三角形中，， 所以得，解得， 所以． 【考法预测2】（25-26·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 【答案】 【详解】由和余弦定理，可得， 因，则， 又由可得， 因，则 ， 由正弦定理得，，设， 则，解得（负值舍去）， 所以． 考点04 边长、周长的范围 典例1．（25-26·江苏南京·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到， 所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得，， 已知，由正弦定理可得，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 典例2．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）在三角形中，角所对的边分别为，设 (1)求___________并利用该等式证明余弦定理：． (2)先写出正弦定理完整公式，再解决问题：，求的最大值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）. 等式两边平方：， 展开得：， 即：， 故得余弦定理：. （2）正弦定理为：，（R为的外接圆的半径） 由题知，，可得， 因为，由正弦定理可得， 则， 所以 ，其中， 因为，可得， 所以，当时，， 此时取得最大值，最大值为. 方法技巧 解三角形中的最值问题求解策略 1．基本不等式法：求某角的最值，可利用余弦定理把最值转化为边之间的最值，此时往往能用上基本不等式；求面积最值实际就是求两边积的最值，此时可用基本不等式的“和定求积”；求周长的最值往往利用基本不等式构造关于边长之和的不等式加以解决. 2．三角函数法：求边之间关系式的最值，可利用正余弦定理把边化为角，若式子中含有两个角，利用化为一个角，再利用三角恒等变换把式子化为的形式，此时要注意该角的取值范围。 【考法预测1】（25-26·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 【考法预测2】（25-26·浙江台州·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． (1)若，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 即，解得， 在中，， 所以． （2）在中，， 在中，， 即， 化简得， 因为， 所以，当，时取等号， 所以的最大值为． 考点05 中线长与角分线长 典例1．（25-26·新疆·阶段检测）中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，可得， 且，所以. （2）因为的面积为，可得， 又因为，且，即，可得， 若点为边的中点，则， 可得， 即，所以的长为. 典例2．（2025-2026浙江湖州质量监测）在中，，，，点在边上，且平分． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以． （2）解法一：因为平分，， 所以. 由于， 即， 所以， 所以． 解法二：在中，由正弦定理得， 即，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，， 由正弦定理得 又因为， 所以， 所以． 【考法预测1】（25-26·浙江杭州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)设，，且为的平分线，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由和正弦定理得，即， 由余弦定理，可得． 又，所以． （2）因为，所以， 由角平分线性质得，所以， 由余弦定理得，解得，， 方法一：由可得， ， 解得． 方法二：因为， 所以，故为直角三角形， 所以为直角三角形，由可得， 所以.    【考法预测2】（25-26·湖北武汉·阶段检测）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以. （2）由及余弦定理得，即， 又因为，所以， 所以， 所以，即.    考点06 解三角形多选题（多考点综合） 典例1．（25-26·河南·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由及正弦定理，得， 又，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有两解， 得，且，解得，C正确； 对于D，在中，， 则，D正确. 典例2．（25-26·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 方法技巧 判断三角形的形状 1.利用余弦定理判断三角形形状 (1)化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断; (2)化边为角,通过恒等变换,得到三个角之间的关系进行判断. ✅注意：在上面两种方法的等式变形中,在等号两边同时约去公因式时,一定要考虑所约公因式是否为0. 2.利用正弦定理判断三角形形状的方法 (1)化边为角,将题目中的已知条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角恒等变换和三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状. (2)化角为边,将题目中的已知条件,利用正弦定理化角为边,再根据代数恒等变换得到边的关系(如a=b,a2+b2=c2),进而确定三角形的形状. 3.已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)利用正弦定理求出另一边对角的正弦; (2)根据正弦函数的值域及三角形大边对大角的性质判断三角形解的个数. 【考法预测1】（25-26·四川广安·阶段检测）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】AC 【详解】A选项，，由正弦定理得：， 即， 所以， 即， 因为，所以，所以，则， 因为，则， 令外接圆的半径为， 所以，即，所以A选项正确； B选项，，即：，则， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误； C选项，，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，所以C选项正确； D选项，因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误. 【考法预测2】（25-26·江苏淮安·阶段检测）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为角的角平分线时， C．当点为边上点，时， D．若点为内任一点，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：中，，，， 故，A正确； B：当为角的角平分线时，, 即， 所以，可得，B正确； C：由，则， 所以，C错误； D：构建如下图的平面直角坐标系，则，设， 所以， 则 ， 当时，在三角形内满足题设，此时的最小值为，D正确. 考点07 解三角形的实际应用 典例1．（25-26·贵州遵义·阶段检测）为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】由题意可知， 平面，所以为直角三角形，且， 在中，已知，， 所以， 由正弦定理 ， 得 （米）. 在中，， 所以 （米）. 典例2．（25-26·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 【考法预测1】（25-26·江苏扬州·期末）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可知 ， 所以. 又由正弦定理可知，即， 所以. 【考法预测2】（25-26·安徽阜阳·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    【答案】 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即. 所以，当时取等号； 又，故角为锐角，，，当时取等号， 所以角的最大值是. 2．（25-26·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 3．（2026·四川绵阳·模拟）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 4．在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由，得， 因为，，所以. 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：C. 5．（25-26·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 6．（25-26·江苏扬州·期中）中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理可知，为外接圆半径. 所以，所以余弦定理可知， 所以，所以的形状为钝角三角形. 7.（25-26·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 8．（25-26·江苏镇江·期末）在直角三角形中，，，点，将边三等分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形 【详解】设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 所以. 9．（25-26·陕西西安·阶段检测）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可知，即， 所以， 又，所以， 因为，所以，因为，所以. （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则，即， 所以，② 由②①得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 即，则，即， 则，故的周长的取值范围为. 10．（2025-2026浙江舟山期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. （2）由 可得， 则. 能力进阶 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 2．（25-26·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 3．（25-26·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】C 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 4．（25-26·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 5．（25-26·江苏南京·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（     ） A．若，则 B．若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C．若，则 D．若的面积，则 【答案】C 【详解】对于A，因，则，又因，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，由正弦定理得，又，故，符合条件的三角形仅有1个，故B正确； 对于C，由，且，可得或，即或，并非仅，故C错误； 对于D，因 ，由余弦定理得， 代入题设条件得，即得，又，故，故D正确. 6．（25-26·江苏南京·期末）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在满足 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【详解】 对于A：在中，由可得，由正弦定理，可得， 因，则，故A正确； 对于B：中，由可得，因在上单调递减， 则，即得，故B错误； 对于C，由和正弦定理，得，即， 因，由知，故或， 即得或，故是等腰三角形或直角三角形，即C正确； 对于D，因，，由余弦定理，得， 即得，则，故必是等边三角形，故D正确. 7．（25-26·湖北武汉·期末）在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（     ） A． B．的面积的最大值为 C．若为锐角三角形，的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， ， 因为，所以， 因为，所以，A正确； B选项，延长到点，使点为线段的中点，故， 在中，由余弦定理得，故， 由基本不等式可得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 由面积公式可得， 故的面积最大值为，B错误； C选项，因为的中点为，所以， 两边平方可得 ， 由B知，，故， 由正弦定理得， 故， 故 ， 因为为锐角三角形，，所以， 解得， 故，， 所以， 所以， 所以，C正确； D选项，， 故 ， 由B知，， 故， 由C知，， 所以 ， 其中 ， 故 ， 其中，因为，所以，， 故当时，取得最小值， 最小值， 故的最小值为，D正确. 8．（25-26·江苏泰州·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，． (1)求； (2)若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长． ①边上的高为；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)（或） (2)选①时，存在，；选②时不存在；选③时，存在， 【难度】0.65 【详解】（1）由，， 则由正弦定理有， 则， 又在中，为锐角， 所以． （2）若选①边上的高为， 结合（1）有， 则边上的高为，解得， 又为的中点，则， 所以由余弦定理有． 故此时存在，且； 若选②， 结合（1）有， 则由余弦定理有， 即，整理得， 则，无实根， 故此时不存在； 若选③，则， 结合（1）有， 则由余弦定理有， 解得，则， 又为的中点，则， 所以由余弦定理有． 故此时存在，且． 9．（25-26·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 真题实战 1．（2025年新高考2卷真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2.（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 3．（多选）（2025年新高考1卷第11题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 5．（2026年新高考1卷第16题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 6．（2024年新高考2卷第15题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 7．（2026年新高考2卷第17题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； 【详解】（2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 8．（2024年新高考1卷第15题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 解三角形 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）......................2 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）......................2 知识1 余弦定理.......................................................2 知识2 正弦定理及正弦定理的变形.........................................3 知识3 三角形中常用的面积公式...........................................3 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）................4 考点01 边长、周长及线段类的范围.........................................4 方法技巧 解三角形的基本策略 考点02 求面积的值及最值............................................5 知识03 边长、周长及线段类的值..........................................5 考点04 边长、周长及线段类的范围.....................................6 方法技巧 解三角形中的最值问题求解策略 考点05 中线长与角分线长............................................7 考点06 解三角形多选题（多考点综合）....................................8 方法技巧 判断三角形的形状 考点07 解三角形的实际应用..........................................9 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）.....................11 考情·分析解读 课标要求 1.理解正弦定理、余弦定理推导过程，熟练实现三角形边角互化，能利用定理求解任意三角形边长、内角； 2.掌握三角形各类面积计算公式，结合三角恒等变换，解决含角度、边长的三角形求值与范围问题； 3.能将测量、几何实际情境抽象为解三角形模型，运用定理完成实际应用题建模与规范求解运算； 4.结合函数、不等式知识，探究三角形内角、边长、面积最值，提升综合逻辑推理与代数运算能力. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 正、余弦定理求角 全国一卷T16 全国二卷T5 全国一卷T15 三角形面积公式 全国二卷T14 全国一卷T11 全国一卷T15 边长、周长及线段类的值与范围 全国一卷T16 全国一卷T11 全国一卷T15，全国二卷T15 解三角形实际建模 全国二卷T16 三年整体考点频次统计 1. 必考（每年全部试卷覆盖）：正弦/余弦定理、边角互化、面积公式 2. 高频（2024—2026年年年考）：三角恒等变换（二倍角/辅助角）、周长/边长计算、均值不等式求最值 3. 逐年创新新增：2024常规解答；2025移入多选压轴、综合三角恒等变换；2026融合高线/多三角形几何模型、实际测量建模 4. 题型分布：2024固定解答T15；2025拆分多选+单选；2026回归解答T16，搭配填空小题，总分稳定12—15分 考情解读 近三年必考正、余弦定理与面积公式，题型灵活，既可中档解答，也可多选压轴.命题融合三角恒等变换、均值不等式、平面几何，常设置结构不良、测量应用情境.2027年延续重基础、重转化趋势，侧重边角互化与建模，兼顾运算与逻辑推理，分值稳定10—15分，是一轮复习必突破板块. 备考策略 一轮先夯实正余弦定理、面积公式，熟练边角互化，区分两定理适用场景，规避两边一对角多解疏漏.专项突破最值、结构不良、实际测量题型，融合三角恒等变换与不等式.整理真题错题，规范书写步骤，限时训练提升运算准确度，兼顾多三角形联立综合题型训练. 知识・归纳梳理 知识1 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2= b2= c2= 变形推论 cos A= ;cos B= ;cos C= ✅注意：余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例. 知识2 正弦定理及正弦定理的变形 正弦定理 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 结论 == =2R(R为△ABC的 ) 文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等 正弦定理拓展:===2R.(R是△ABC的外接圆半径) 边化角 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 角化边 sin A=,sin B=,sin C= 知识3三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． ✅注意：在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 重难・核心突破 考点01 求角及三角函数值 典例1．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 典例2．（江苏淮安市2025-2026期末调研）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 解三角形的基本策略 1.已知两边及其夹角解三角形的步骤 (1)求第三边; (2)利用余弦定理的推论求另一个角的余弦,并求出角; (3)利用三角形内角和等于180°求第三个角. 2.已知三边解三角形的步骤 (1)利用余弦定理的推论求其中两个角的余弦值,并求出角; (2)利用三角形内角和等于180°求第三个角. 3.已知两边及一边的对角解三角形的步骤 (1)利用正弦定理求另一边对角的正弦,根据边的大小确定该角是锐角还是钝角,并求出该角,如果不确定,则分两种情况; (2)根据三角形的内角和等于180°求第三个角; (3)利用正弦定理求第三边. ✅注意：三角形中“大边对大角,小边对小角”. 【考法预测1】（25-26·广东清远·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 考点02 求面积的值及最值 典例1．（25-26·湖南长沙·期末）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【考法预测1】（25-26·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【考法预测2】（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 考点03 边长、周长类的值 典例1．（2025-202浙江省温州期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 典例2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，，，点是的重心，且，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 考点04 边长、周长的范围 典例1．（25-26·江苏南京·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）在三角形中，角所对的边分别为，设 (1)求___________并利用该等式证明余弦定理：． (2)先写出正弦定理完整公式，再解决问题：，求的最大值． 方法技巧 解三角形中的最值问题求解策略 1．基本不等式法：求某角的最值，可利用余弦定理把最值转化为边之间的最值，此时往往能用上基本不等式；求面积最值实际就是求两边积的最值，此时可用基本不等式的“和定求积”；求周长的最值往往利用基本不等式构造关于边长之和的不等式加以解决. 2．三角函数法：求边之间关系式的最值，可利用正余弦定理把边化为角，若式子中含有两个角，利用化为一个角，再利用三角恒等变换把式子化为的形式，此时要注意该角的取值范围. 【考法预测1】（25-26·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26·浙江台州·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． (1)若，求的值； (2)求的最大值． 考点05 中线长与角分线长 典例1．（25-26·新疆·阶段检测）中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 典例2．（2025-2026浙江湖州教学质量监测）在中，，，，点在边上，且平分． (1)求； (2)求的长． 【考法预测1】（25-26高一下·浙江杭州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)设，，且为的平分线，求． 【考法预测2】（25-26·湖北武汉·阶段检测）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； 考点06 解三角形多选题（多考点综合） 典例1．（25-26·河南·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 典例2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 方法技巧 判断三角形的形状 1.利用余弦定理判断三角形形状 (1)化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断; (2)化边为角,通过恒等变换,得到三个角之间的关系进行判断. ✅注意：在上面两种方法的等式变形中,在等号两边同时约去公因式时,一定要考虑所约公因式是否为0. 2.利用正弦定理判断三角形形状的方法 (1)化边为角,将题目中的已知条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角恒等变换和三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状. (2)化角为边,将题目中的已知条件,利用正弦定理化角为边,再根据代数恒等变换得到边的关系(如a=b,a2+b2=c2),进而确定三角形的形状. 3.已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)利用正弦定理求出另一边对角的正弦; (2)根据正弦函数的值域及三角形大边对大角的性质判断三角形解的个数. 【考法预测1】（25-26·四川广安·阶段检测）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【考法预测2】（25-26·江苏淮安·阶段检测）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为角的角平分线时， C．当点为边上点，时， D．若点为内任一点，的最小值为 考点07 解三角形的实际应用 典例1．（25-26·贵州遵义·阶段检测）为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 典例2．（25-26·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【考法预测1】（25-26·江苏扬州·期末）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26·安徽阜阳·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 4．（21-22·甘肃陇南·期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 6．（25-26·江苏扬州·期中）中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 7.（25-26·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（25-26·江苏镇江·期末）在直角三角形中，，，点，将边三等分，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26·陕西西安·阶段检测）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 10．（2025-2026浙江省舟山期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 能力进阶 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 2．（25-26·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 4．（25-26·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 5．（25-26·江苏南京·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（     ） A．若，则 B．若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C．若，则 D．若的面积，则 6．（25-26·江苏南京·期末）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在满足 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 7．（25-26·湖北武汉·期末）在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（     ） A． B．的面积的最大值为 C．若为锐角三角形，的取值范围为 D．的最小值为 8．（25-26·江苏泰州·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，． (1)求； (2)若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长． ①边上的高为；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 9．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 真题实战 1．（2025年新高考2卷真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 3．（2025年新高考1卷第11题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 5．（2026年新高考1卷第16题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 6．（2024年新高考2卷第15题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 7．（2026年新高考2卷第17题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 8．（2024年新高考1卷第15题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $