专题4.7 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、最值、周期性、对称性、奇偶性及单调性等高考要求，按知识点内在逻辑分模块梳理，通过考点系统梳理、解题方法指导、高考真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破重点难点，体现复习教学的系统性与针对性。 讲义以“举一反三”为特色，每个题型设例题与变式训练，配合分层练习题，注重培养学生的数学眼光（如图象识别中直观想象）、数学思维（如单调性参数问题的逻辑推理）。通过专题突破策略，如将复杂三角函数化为标准形式分析性质，在有限时间内提升复习效率，助力学生掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供实用指导。

专题4.7 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能画出三角函数的图象 (2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值 (3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 三角函数的图象与性质 新课标I卷：第7题，5分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第9题，6分 全国甲卷（文数）：第13题，5分 全国一卷：第4题，5分 全国二卷：第15题，13分 全国一卷：第13题，5分 北京卷：第16题，13分 天津卷：第16题，14分 命题规律分析 1、三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，是三角函数模块的核心内容，是高考高频的热点必考考点，兼具基础性与综合性，突出直观想象、数学运算与逻辑推理等数学素养。 从近三年的高考情况来看，高考对三角函数的图象与性质的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在选择题、填空题、解答题中都有考查，具体题型/分值分布如下：单选题、多选题第4~9题中考查，分值5分或6分；填空题第11~13题中考查，分值5分；有时也会在解答题第15~16题中考查，分值13分或15分；试题整体难度中等或偏下。 从近三年的高考考情来看，高考对三角函数的图象与性质的考查方向比较稳定，主要有四大考查方向：①三角函数的图象的识别与判断；②三角函数的定义域、值域与最值的求解；③三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性的判断及应用；④三角函数的图象与性质的综合应用，常结合三角恒等变换、零点、不等式等考查。在选择、填空题中①②③④都有可能考查，在解答题中主要考查④，复习时要加强这方面的训练。 考点1 三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略 1．三角函数的定义域的求解思路 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)）， 求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【方法技巧与总结】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型1 三角函数图象的识别与判断】 【例1】（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 【例2】（2026·江西宜春·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【题型3 三角函数的单调性与单调区间】 【例3】（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据三角函数的单调性求参数】 【例4】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【变式4-1】（2026·新疆喀什·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 三角函数的奇偶性、周期性与对称性】 【例5】（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【题型6 三角函数的零点问题】 【例6】（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·福建福州·模拟预测）当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式6-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数性质的综合应用】 【例7】（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【变式7-1】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，点是图象的一个对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最大值和单调递增区间. 【变式7-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 【变式7-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．（2026·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数的所有零点的和是（    ） A．5 B．4 C． D． 8．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为， C．的对称中心为， D．的对称轴为， 10．（2026·山东德州·三模）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．在上单调递减 C．在区间上的最小值为 D．若，，则 11．（2026·山东·模拟预测）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 三、填空题 12．（2026·四川自贡·三模）已知（）的图象关于点中心对称，则__________. 13．（2026·山西·模拟预测）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，__________． 14．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 四、解答题 15．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 17．（2026·广西桂林·一模）已知分别是函数 图象上相邻的两个最高点和最低点. (1)求的解析式： (2)若的图象的对称中心只有一个落在区间上，求的取值范围. 18．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 19．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能画出三角函数的图象 (2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值 (3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 三角函数的图象与性质 新课标I卷：第7题，5分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第9题，6分 全国甲卷（文数）：第13题，5分 全国一卷：第4题，5分 全国二卷：第15题，13分 全国一卷：第13题，5分 北京卷：第16题，13分 天津卷：第16题，14分 命题规律分析 1、三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，是三角函数模块的核心内容，是高考高频的热点必考考点，兼具基础性与综合性，突出直观想象、数学运算与逻辑推理等数学素养。 从近三年的高考情况来看，高考对三角函数的图象与性质的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在选择题、填空题、解答题中都有考查，具体题型/分值分布如下：单选题、多选题第4~9题中考查，分值5分或6分；填空题第11~13题中考查，分值5分；有时也会在解答题第15~16题中考查，分值13分或15分；试题整体难度中等或偏下。 从近三年的高考考情来看，高考对三角函数的图象与性质的考查方向比较稳定，主要有四大考查方向：①三角函数的图象的识别与判断；②三角函数的定义域、值域与最值的求解；③三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性的判断及应用；④三角函数的图象与性质的综合应用，常结合三角恒等变换、零点、不等式等考查。在选择、填空题中①②③④都有可能考查，在解答题中主要考查④，复习时要加强这方面的训练。 考点1 三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略 1．三角函数的定义域的求解思路 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)）， 求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【方法技巧与总结】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型1 三角函数图象的识别与判断】 【例1】（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项. 【解答过程】已知， ， 因此是奇函数，图象关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B； 当时：，故； 同时，因此负数正数， 即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合. 故选：C. 【变式1-1】（2026·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【解答过程】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 【变式1-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】要解决这个问题，我们需要根据函数的图象求出和，进而求出的值。 【解答过程】因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以． 因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以，即． 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：D. 【变式1-3】（2026·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据时，函数值的正负可排除A；根据函数的奇偶性可排除C；根据函数的定义域可排除D. 【解答过程】由图可知：的定义域为，图象关于轴对称，则为偶函数． 对于A，当时，， 此时，与图不符，故A错误； 对于C，的定义域为， ， 则不是偶函数，故C错误； 对于D，在有意义，故D错误， 故选：B． 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 【例2】（2026·江西宜春·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当时，； 当时，， 所以的值域为． 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题直接求函数定义域即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 【变式2-2】（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【解答过程】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 【变式2-3】（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【解题思路】先化简函数，根据点为函数图象的一个对称中心求出，再根据在上的最大值为2结合三角函数最值求出，两者结合即可推出的最小值. 【解答过程】 ， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为. 故选：C. 【题型3 三角函数的单调性与单调区间】 【例3】（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可. 【解答过程】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 【变式3-1】（2026·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可. 【解答过程】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间， 由，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：A. 【变式3-2】（2026·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数图象确定周期，从而可求出，再利用最低点代入可求出，再由正弦函数的单调增区间即可求解. 【解答过程】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 【变式3-3】（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合三角函数的最值点可得，再结合正弦函数单调性运算求解. 【解答过程】因为，则， 若函数在处取得最小值， 则，解得，可得， 又因为，则， 令，解得， 所以在区间上的单调递减区间为. 故选：C. 【题型4 根据三角函数的单调性求参数】 【例4】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【解题思路】由函数的图象关于直线对称，可得；由函数在区间上单调递减，可得，从而得，即可得答案. 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值， 所以, 所以, 解得， 解得. 又因为. 故选：B. 【变式4-1】（2026·新疆喀什·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【解答过程】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得 ，结合，得的取值范围为． 故选：D． 【变式4-2】（2026·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据题意求出，再根据求出 ，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围. 【解答过程】由题意可知，则， 因，则， 则，， 因在上单调递增， 结合正弦函数图象性质可得，解得， 故的取值范围是. 故选：B.    【变式4-3】（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，最后结合求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，即， 又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，． 令得，又，所以； 令得； 当时，，不合题意． 综上，的取值范围为． 故选：D. 【题型5 三角函数的奇偶性、周期性与对称性】 【例5】（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角函数的周期性与奇偶性的定义，逐项求解判断即可. 【解答过程】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 故选：B. 【变式5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦曲线对称轴的公式，可得当时满足，结合题目给定的的取值范围，即可计算得到符合条件的的值. 【解答过程】由于正弦曲线的对称轴为， 已知的图象关于对称， 所以将 代入可得：， 整理可得：，又因为，取 ，得. 故选：B. 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可. 【解答过程】对于，最小正周期为，故A不符合题意； 对于，最小正周期为，故B不符合题意； 对于，最小正周期为，故C符合题意； 对于，最小正周期为，故D不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【解答过程】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 【题型6 三角函数的零点问题】 【例6】（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】方法一求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数，方法二先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点即可． 【解答过程】方法一：，， 由题可知，或， 解得，，或，故有3个零点． 方法二：令， 即，，解得，， 分别令，解得，，， 所以函数在的零点的个数为3. 故选：C． 【变式6-1】（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过对分正负讨论，结合正弦函数的零点规律，确定的区间范围，进而求出的取值范围. 【解答过程】当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：； 当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：， 综上所述，的取值范围是. 故选：D． 【变式6-2】（2026·福建福州·模拟预测）当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【解答过程】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 故选：C. 【变式6-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 【题型7 三角函数性质的综合应用】 【例7】（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，单调递增区间为 【解题思路】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简,即可求解最值和单调性. 【解答过程】（1）已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. （2）由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为. 【变式7-1】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，点是图象的一个对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最大值和单调递增区间. 【答案】(1) (2)； 【解题思路】（1）根据对称中心结合正弦函数性质可得，即可得函数的解析式； （2）利用诱导公式以及倍角公式可得，结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间. 【解答过程】（1）由题意可知：， 且，则， 可得，解得， 所以. （2）因为， 当，即时，函数取到最大值， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【变式7-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 【答案】(1) (2)值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【解题思路】（1）结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. （2）先利用两角和差的正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解值域和单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以. 故 . （2） . 当时，， 所以，故的值域为. 由，解得，所以的单调递增区间为； 由，解得，所以的单调递减区间为. 【变式7-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果； （2）借助正弦函数最值求解参数，再求解三角不等式即可. 【解答过程】（1）因为 ， 所以， 令，所以， 所以的对称轴方程为. （2）由题意知，， 因为的最大值为1，即，所以， 由， 即，所以， 所以，即. 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦型函数最小正周期求解即可. 【解答过程】由题意得. 故选：B. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【解答过程】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 故选：A. 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可. 【解答过程】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 故选：A. 4．（2026·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正弦函数，余弦函数的周期公式及图像分别判断各选项即可求解． 【解答过程】对于A，的最小正周期为，当时，， 由余弦曲线的图像知，该函数单调递减，故A不合题意； 对于B，，为偶函数， 结合正弦曲线的图像知，没有周期性，故B不合题意； 对于C，，最小正周期为，故C不合题意； 对于D，， 最小正周期为，当时，， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，故D符合题意． 故选：D. 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【解答过程】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得： ；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 故选：C. 6．（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【解答过程】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数f(x)在上单调递增. 故选：B. 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数的所有零点的和是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】将函数的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，数形结合作出与的图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【解答过程】令，则 则函数的所有零点即函数与图象上所有交点的横坐标. 作出与图象如图所示： 由图可知，与共有5个交点， 因为当时，，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余4个交点都关于点对称， 所以所有零点的和是. 故选：C. 8．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【解答过程】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 故选：C. 二、多选题 9．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为， C．的对称中心为， D．的对称轴为， 【答案】AC 【解题思路】由函数的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可. 【解答过程】对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，函数的单调递增区间满足， 解得，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，函数的对称中心满足， 解得，此时，所以对称中心为， 故C正确； 对于D，函数的对称轴满足， 解得，故D错误. 故选：AC. 10．（2026·山东德州·三模）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．在上单调递减 C．在区间上的最小值为 D．若，，则 【答案】AB 【解题思路】利用正弦函数中心对称的性质求出参数，再结合正弦函数的单调性、值域性质和三角恒等变换逐一判断各选项. 【解答过程】对于A：正弦函数的图像关于点对称， 因此满足，即， 所以，即，又，所以，A正确； 对于B：由A，，正弦函数的单调递减区间为， 由，得， 时，递减区间为，区间，因此在单调递减，B正确； 对于C：当时，， 当，即时取最小值，不是，C错误； 对于D：由得， 又，故， 所以， 因为，所以， D错误. 故选：AB. 11．（2026·山东·模拟预测）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，先根据函数的零点与和差的正弦公式求出，然后根据换元法和正弦函数的性质求出值域；对于B，利用诱导公式进行化简即可；对于C，先化简的表达式，然后令其为0，求出零点，进而验证；对于D，先根据诱导公式和二倍角的余弦公式化简，然后结合二次函数的性质求出最大值. 【解答过程】因为函数的一个零点是，所以. 即，展开化简得， 即，所以，即. 由于，所以. 所以. 当时，，所以，A错误； ，B正确； 所以. 因为，所以令，即， 所以，即， 因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确； ，由于， 所以，所以，所以. 所以当时，，此时取最大值为1， 所以的最大值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·四川自贡·三模）已知（）的图象关于点中心对称，则__________. 【答案】 【解题思路】利用中心对称的性质求出，结合余弦函数对称性求出即可. 【解答过程】由（）的图象关于点中心对称， 得，，解得， 而，则，， 所以. 故答案为：. 13．（2026·山西·模拟预测）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，__________． 【答案】4 【解题思路】先根据偶函数的恒成立性质求出的取值集合，再结合最小正周期最大的要求确定的最小正值，最后代入计算函数值. 【解答过程】因为函数 是偶函数，所以对任意 ，均满足 ， 即：， 化简得 ， 该式对任意恒成立，因此 ，得  ， 的最小正周期   ， ，要使最大，需取最小正值，即 时 ， 此时，代入得：. 故答案为：. 14．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，求得或，取或，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【解答过程】因为函数的图象经过点， 可得，解得或， 取，可得或， 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意； 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意， 综上可得，实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【解答过程】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【解答过程】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 17．（2026·广西桂林·一模）已知分别是函数 图象上相邻的两个最高点和最低点. (1)求的解析式： (2)若的图象的对称中心只有一个落在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）采用五点作图对应的方法可求得解析式； （2）利用整体代换法可求得的对称中心，结合落在区间内的对称中心个数可构造不等式组求得结果. 【解答过程】（1），，，； 为相邻的两个最高点和最低点， 的最小正周期，， ，则， ，又，， . （2）令，解得， 的对称中心为， 的对称中心只有一个落在区间上， ，解得， 即的取值范围为. 18．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求解. （2）由（1）结合已知求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值，利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）依题意，， 由，得， 所以函数的最小正周期，单调递增区间为. （2）由（1）得，即， 在锐角中，，，则，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 设边上的高为，则，因此， 所以的最大值为. 19．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为 ，根据对称中心间距确定周期 从而求出 ，最后代入 计算函数值. （2）根据自变量 的范围求出相位 的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最大值和最小值的点并求解. 【解答过程】（1） 根据题意，解得，即， 因为，所以，则， ． （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $