25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字问题与几何问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程解决数字与几何问题”，通过知识回顾复习方程解法及应用题步骤，新课导入衔接方程模型意义，搭建从旧知到新知的学习支架，助力学生理解实际问题转化过程。 其亮点是以装裱、道路宽度等实际情境为例，培养数学眼光观察数量关系，通过审题设元、列解方程、验根步骤训练推理意识与运算能力，体现数学思维，用方程模型解决问题发展模型意识，分层练习助学生巩固，教师可提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字问题与几何问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 数字问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 几何问题 8. 对接中考 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2. 能从实际问题(如数字问题、几何图形、存在性问题)中抽象出数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 学习目标 知识回顾 解一元二次方程有哪些方法？ 列一元二次方程解应用题的步骤？ ①审题 ②设出未知数 ③找等量关系 ④列方程 ⑤解方程 ⑥验根 ⑦答 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 新课导入 同一元一次方程、二元一次方程(组)一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 新课讲解 知识点1 数字问题 例 1. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 解：设个位数字为x，则十位数字是(x-3)，因此这个两位数是10(x-3)+x. 根据题意，得x2=10(x-3)+x. 整理，得x2-11x+30=0，解得x1=5，x2=6. 当x=5 时，x-3=2；当x=6 时，x-3=3. 答：这个两位数是25 或36. 这里用到间接设未知数法 新课讲解 2. 有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数字是[10 (x－2) + x]. 根据题意，得10 (x－2) +x=3x (x－2)整理， 得3x2－17x+20=0 解得， x1=4, x2= (不合题意，舍去) 当x=4时，x－2=2， ∴这个两位数是24. 例 新课讲解 练一练 1. 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 新课讲解 练一练 2. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的新的两位数乘原来的两位数的积为1 855，求原来的两位数. 解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为8-x. 根据题意，得(10x+8-x)×［10(8-x)+x］＝1 855， 整理，得x2-8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5. 当x=3时，个位数字为8-x=5；当x=5时，个位数字为8-x=3. 答：原来的两位数为35或53. 新课讲解 归纳 数字 问题 1. 两位数 = 十位上的数字 × 10 + 个位上的数字； 2. 三位数 = 百位上的数字 × 100 + 十位上的数字 ×10 + 个位上的数字 3. 软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作品，是长，宽 的矩形.为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？#1 新课讲解 知识点2 几何问题 例 解：设上下边衬的宽度是 ，则左右边衬的宽度是 ， 依题意得 ， 则 ， 解得， （不合题意，舍去）. 因此，此作品上下边衬的宽度是 . 新课讲解 例 设道路的宽为 x m，根据题意， 得(20－x)(32－x) =540， 解得 x1=50(不符合题意，舍去)， x2=2. 答：道路的宽为 2 m. 设道路的宽为 x m， 根据题意，得 32×20－(20x+32x－x2) =540， 解得 x 1=50(不符合题意，舍去)，x 2=2. 答： 道路的宽为 2 m. 道路面积为长32 m的横向道路面积与长20 m的纵向道路面积的和减去重叠部分的小正方形的面积 4. 如图，在宽为 20 m，长为 32 m的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽 . 解法一：利用平移法，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积. 解法二：利用分割法，把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，即草坪面积=矩形面积－道路面积. 新课讲解 例 5. 如图，某农场要建一个矩形 ABCD 的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另外三边用木栏围成，木栏长40 m. (1)若养鸡场的面积为 168 m2，求养鸡场垂直于墙 的一边 AB 的长 . (2)养鸡场的面积能否达到 210 m2 ？请说明理由 . 解：(1) 设养鸡场垂直于墙的一边AB 的长为 x m， 则另一边BC 的长为(40－2x) m，根据题意，得 x(40－2x) =168，解得 x1=14， x2=6. 因为墙长 25 m， 所以 0 m<BC ≤ 25 m，即 0<40－2x ≤ 25， 解得7.5 ≤ x<20，∴ x=14. 答：养鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 14 m. (2) 养鸡场的面积不能达到 210 m2. 理由如下： 设养鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 y m，则另一边 BC 的 长为(40－2y) m， 根据题意，得 y(40－2y) =210，整理，得 y 2－20y+105=0. 因为 Δ =b 2－4ac=(－20) 2－4× 1× 105=－20<0， 所以 一元二次方程 y 2－20y+105=0 没有实数根 . 故养鸡场的面积不能达到 210 m2. 新课讲解 练一练 1. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3 m，相邻的一边减少了2 m ，剩余部分是面积为30 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长为 ( ) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m C 解：设正方形空地的边长为x m. 根据题意，得(x-2)(x-3)=30. 解得x1=8，x2=-3（舍去）， 所以原正方形空地的边长为8 m. 新课讲解 练一练 2. 如图，有一块矩形硬纸板长50 cm、宽30 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子. 当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600 cm2 ？ 解：设剪去正方形的边长为x cm. 根据题意，得2x(50-2x)+2x(30-2x)=600. 整理，得x2-20x+75=0，解得x1=15，x2=5. 当x=15 时，30-2x=0，不符合题意，舍去； 当x=5 时，30-2x=20，符合题意. 答：当剪去正方形的边长为5 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为600 cm2. 新课讲解 练一练 3. 如图，矩形 ABCD 中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度沿AB边向点 B 移动，点 Q以 2 cm/s 的速度沿CD边向点 D 移动.（当点P到达点B时，Q也停止移动） (1)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 PBCQ 的面积为33 cm2？ (2)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为10cm？ A B C Q P D 解：(1)设经过 x s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2， 依题意得×6×(16-3x+2x)=33，解得 x=5， 所以经过 5 s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2. (2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm， 依题意得 62+(16-3y-2y)2=102， 整理得 25y2-160y+192=0， 解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意， 所以经过 1.6 s 或 4.8 s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm . 新课讲解 归纳 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 课堂小结 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 当堂小练 1. 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和． 解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2). 依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14， ∴x+2=14或 x+2=-12， ∴x+(x+2)=±26． 答：这两个偶数的和为±26． 当堂小练 2. 一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2296，则这个两位数是多少？ 解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x)， 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8，x2=2. 当x=8时，这个两位数是82； 当x=2时，这个两位数是28. 答：这个两位数是82或28. 当堂小练 A. B. C. D. 3. 一个直角三角形的两条直角边长相差 ，面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可列出方程为 ( ) D 当堂小练 4. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？ D C A E B 1 4 解：存在. 设AE=x，则BE=4-x. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=1+x2. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE2=1+(4-x)2. 因为∠DEC=90°，所以DE2+CE2=DC2, 即1+x2+1+(4-x)2=42. 解得x1=2+，x2=2-. 所以在AB上存在点E，使得∠DEC是直角. 当堂小练 5. 如图，用长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB)的长方形花圃 . (1) BC的长可用含x的代数式表示为 _________m. (2)当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为 63 m2 ？ (3)围成的花圃面积能否为80 m2 ？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由. (30－3x) 解：(2) 根据题意，得 x(30－3x) =63， 解得 x 1=7， x 2=3. 当 x=7 时，30－3x=9<10，符合题意； 当 x=3 时，30－3x=21>10，不符合题意，舍去 . 答：当 AB 的长是 7 m时，围成的花圃面积为 63m2. (3) 不能 . 理由如下： 根据题意，得 x(30－3x) =80，整理，得 3x 2－30x+80=0. 因为 Δ =b 2－4ac=(－30) 2－4× 3× 80=－60<0， 所以该方程没有实数根. 故围成的花圃面积不能为80 m2. 当堂小练 6. 如图，在长方形ABCD中，AB=5 cm，BC=6 cm，点P从点A 开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动， 与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C 以2 cm/s的速度移动.当点Q运动到点C时， 两点停止运动，设运动时间为t s. (1)BQ=______cm，PB=_____cm. (用含t的代数式表示) (2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2 ？ 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 2t (5-t) 解：存在，理由如下： 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2). 当五边形APQCD的面积等于26 cm2时，△PBQ的面积为30-26=4(cm2) ， ∴(5-t)×2t×=4，解得t1=4，t2=1. ∵2t<6，∴t<3. ∴t=4不符合题意，舍去. 即当t=1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2. 对接中考 如图，老李想用长为 70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC 上留一个 2 m宽的门(建在 EF 处，另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 . 解：(1) 设矩形 ABCD 的边 AB=x m，则边 BC=70－2x+2=(72－2x) m. 根据题意，得 x(72－2x) =640. 整理，得 x 2－36x+320=0，解得 x 1=16， x 2=20. 当 x=16 时，72－2x=72－32=40； 当 x=20 时，72－2x=72－40=32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈. 注意需加上门的宽度 对接中考 如图，老李想用长为 70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC 上留一个 2 m宽的门(建在 EF 处，另用其他材料) . (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈？ (2) 羊圈的面积能达到 650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 . 解：(2) 不能 . 理由如下： 根据题意，得 x(72－2x) =650. 整理，得 x 2－36x+325=0. 因为Δ =b 2－4ac=(－36) 2－4× 1× 325=－4<0， 所以 该方程没有实数根 . 所以羊圈的面积不能达到 650 m2. 拓展与延伸 1. 如图①，在 中， ， ，.在矩形 中，，， 在矩形的左侧， 与在一条直线上，且点与点重合.现以 的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当 运动到如图②所示的位置时，与矩形 重叠部分的面积为，此时 运动了多少秒?1 解：在中， ， ， . 易得斜边上的高为 . 题图②中点在线段 上. 设运动了，与交于点，则 ， . ， ， 是等腰直角三角形. 根据题意，得 ，解得， (不合题意，舍去). 运动了 . 拓展与延伸 2. 如图，在中， ，，.点从点开始沿边向点 以的速度匀速运动，同时点从点开始沿 边向点以 的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 . (1) ___后，的面积为 . (2) 几秒后，的长度为 ？ (3) 的面积能否为 ？请说明理由. 1 解：(2) 由题意，得，， . 由，得 ， 整理，得 ， 解得（不合题意，舍去）， . 答：后，的长度为 . (2) 不能.理由如下： 由题意，得， 整理，得. ， 此方程无实数根， 的面积不能为 . $