素养拓展05 椭圆、双曲线的离心率题型与技巧全归纳（思维导图+8大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

素养拓展05 椭圆、双曲线的离心率题型与技巧全归纳 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 即时即练 1．已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为__________. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 4．（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 知识点02 双曲线的几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 即时即练 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为_____. 2．（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 3．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与在第一、二象限分别交于两点，且，，则的离心率为______． 知识点03 常用几何技巧 1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系. 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程. ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系. 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值 联想到| 12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程. ★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程. 题型01 利用a、b、c的关联式 1．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南大理·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．. 4．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南保山·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型02 利用勾股定理 1．（25-26高二上·广西北海·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点P，其中．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知为双曲线的两个焦点，过原点的直线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型03 利用正弦定理 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 4．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 题型04 利用余弦定理 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（    ） A．7 B． C． D． 3．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南·阶段检测）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形，的两边，分别交该椭圆于，两点.若，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05 利用双余弦定理 1．（24-25高二上·河南·期中）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西大同·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型06 利用相似 1．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与y轴交于点M，与双曲线C的右支交于点P，，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）设椭圆 的左右焦点分别为，，点在椭圆外，过的直线交椭圆于，两点，且是线段的中点，如图所示，若直线，的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为为右支上一点，的垂直平分线过点，线段与轴交于点，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 题型07 点差法、斜率乘积 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 7．（24-25高二上·重庆·阶段检测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型08 离心率的取值范围 1．（25-26高二上·海南·期末）若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东聊城·期末）焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北·阶段检测）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．3 4．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 15．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展05 椭圆、双曲线的离心率题型与技巧全归纳 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 即时即练 1．已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】/ 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，结合椭圆的定义构造齐次式可得. 【详解】因为，且为等腰直角三角形， 所以，所以， 由椭圆的定义可知，，整理得， 即该椭圆的离心率为. 故答案为： 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再根据椭圆的定义可得的关系式，从而求解. 【详解】连接，为等边三角形，且，又因为， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 解得. 4．（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】先设，再由椭圆的定义及在直角三角形的勾股定理得，最后在直角三角形中由勾股定理可得. 【详解】设，因为，所以，如图： 再由椭圆的定义得：，. 又因为，所以在直角三角形中，， 所以，，解得. 同理在直角三角形中，，， 所以，，即. 故答案为：. 知识点02 双曲线的几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 即时即练 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为_____. 【答案】 【分析】由已知建立关系，结合得关系求解. 【详解】设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距分别为， 由题知，，于是， 则，即 . 故答案为：. 2．（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 3．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 【答案】 【分析】利用双曲线定义结合条件求出，再由余弦定理即可得到的方程，即可求其离心率. 【详解】如图，设．则．由双曲线定义可得．即， 所以，，又，． 在中，由余弦定理得， 解得，故的离心率． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与在第一、二象限分别交于两点，且，，则的离心率为______． 【答案】 【分析】由双曲线的定义结合余弦定理求解即可. 【详解】 因为，所以， 又，所以， 由双曲线的定义可知，，， 所以，，，， 因为，所以， 所以，即. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故离心率. 知识点03 常用几何技巧 1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了. 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理. 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系. 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程. ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系. 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值 联想到| 12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程. ★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程. 题型01 利用a、b、c的关联式 1．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线关于轴对称的性质，结合“一条渐近线的倾斜角是另一条两倍”的条件求出渐近线的斜率，再通过斜率与和的关系计算出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设一条渐近线的倾斜角为，则另一条为，且，因此，； 由得：，离心率为，且， 代入，，即离心率为. 故选： 2．已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为坐标原点，如图所示： 由题意知，为等腰三角形，因为，所以， 在中，，，则， 所以离心率． 3．（25-26高二上·云南大理·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【分析】先根据题意求出，；再根据椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案. 【详解】如图，由题可知，，又因为，， 故，.又因为， 故， 故选：B. 4．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 5．（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中几何关系，求得点的坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率. 【详解】 由图可知，若为等边三角形，由对称性，不妨设， 将点代入椭圆，得，又因为， 得，分子分母同除以，得， 整理得，解得或（因为，故舍去）， 则. 故选：A. 6．（25-26高二上·云南保山·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可求得点的坐标，由，从而可得答案 【详解】依题意，设，则，， ， 又，，， ，即， ． 设该椭圆的离心率为e，则， 椭圆的离心率． 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点Q，连接，根据条件及等腰三角形的性质，可得的长，根据双曲线的定义，可得，根据a，b，c的关系，化简整理，即可求得答案. 【详解】取中点Q，连接，如图所示，    因为，Q为的中点， 所以， 因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以， 则，所以， 由双曲线定义得，则，即， 又，整理得， 左右同除以，得，即， 解得或（舍）. 故选：C 8．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 题型02 利用勾股定理 1．（25-26高二上·广西北海·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合双曲线的定义求得，再由，利用勾股定理求解. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且， 由双曲线的定义得，解得 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 解得 ，即 ， 故选：B 2．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义、勾股定理结合几何图形列出等式计算即可. 【详解】设的焦距为，则 ，所以离心率． 故选：A． 3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点P，其中．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件，利用椭圆和抛物线的性质求出关系即可求出椭圆的离心率. 【详解】由题意可得抛物线的准线过椭圆的左焦点， 如图，过点P作PM垂直于x轴于点M，作PQ垂直于准线于点Q，由抛物线的定义知， 已知，由椭圆的定义可得， 则，，因为， 代入化简得即， 故选：D 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可. 【详解】连接， 因，且为线段的中点，则四边形为矩形， 则， 因，则， 则，， 在中利用勾股定理得，，则， 故椭圆的离心率为. 故选：C． 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知为双曲线的两个焦点，过原点的直线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的对称性和已知条件得到四边形是矩形，再由双曲线的定义求出的边长，利用勾股定理求出离心率即可. 【详解】连接，由对称性不妨设为双曲线左焦点，在第一象限， 因为关于原点对称，且关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为， 由双曲线的定义可知， 则，， 在中由勾股定理可得，即， 所以， 所以双曲线的离心率， 故选：D 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，则，， 由为直径的圆经过点，得，在中，由勾股定理得， ，整理得，解得， 所以的离心率. 故选：B 题型03 利用正弦定理 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用正弦定理，再结合双曲线定义及两角和差的正弦公式计算化简即可求解. 【详解】 依题意得， 则的离心率为 故选：B. 2．已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率. 【详解】设O为坐标原点，由，得，又两渐近线关于轴对称，所以 直线斜率为，则， 令，则， 中，由正弦定理得， 即，解得，故， 所以的离心率 故选：B 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 4．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出的外接圆与内切圆半径，根据构造齐次式，求椭圆的离心率. 【详解】如图： 的外接圆半径：. 设，，所以. 所以. 又，所以. 由得. 又，所以， 又，所以. 故选：B 5．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：①， 在中，由正弦定理得：②， 又，则， 所以得：， 又，则，即； 设（），由双曲线的定义得：，，， 由得：，解得：， 所以，， 在中，由勾股定理得：， 整理得：，即双曲线的离心率， 故选：C. 题型04 利用余弦定理 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及已知条件求出，，利用余弦定理得到与的关系，进而求出离心率. 【详解】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理建立关系式，进而求出离心率. 【详解】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，所以. 在中，由余弦定理得，，即，解得，即. 因为点在双曲线上，所以，即，所以. 故双曲线的离心率为：. 故选：B. 3．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 4．（24-25高二上·云南·阶段检测）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形，的两边，分别交该椭圆于，两点.若，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用余弦定理求出，再借助椭圆的定义求出离心率. 【详解】令椭圆的半焦距为c，连接，由是等边三角形，， 得，则， 因此，所以该椭圆的离心率为. 故选：D    5．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 6．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可. 【详解】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，， 因为，所以， 而，可得， 因为，所以， 所以， 化简得，故离心率． 题型05 利用双余弦定理 1．（24-25高二上·河南·期中）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故， 故选：A 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理列式得到，再根据离心率公式即可求出. 【详解】 设， 两点位于双曲线C的右支上，根据双曲线的定义得，即， ，即， 又是等腰三角形，，即，， 又的周长为，，，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又和互补，， 即，化简得， ，又，. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·山西大同·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，根据双曲线的对称性可知，由双曲线的定义结合余弦定理求解. 【详解】如图，设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，因为，点为的中点，所以根据双曲线的对称性可知，，（关键：双曲线的对称性的应用）． 根据，不妨设，则， 所以，，（双曲线定义的应用） 又，所以，解得，因此，，，．在中，， 在中，， 故，可得． 故选：A． 题型06 利用相似 1．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与圆相切于点，连接，则，由中位线的性质可得出，结合双曲线的定义可得出，利用勾股定理可得出、的关系，即可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设直线与圆相切于点，连接，则，    因为，则， 因为为的中点，所以为的中点，所以， 由双曲线的定义可得，所以， 由勾股定理可得，即，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与y轴交于点M，与双曲线C的右支交于点P，，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，利用三角形相似列式求解，结合双曲线定义可得，再由勾股定理列式求解． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由，则，∴，即， 又，， 即，得，又，∴， 又，∴，即， 得，等号两边同除以，又离心率， 得，由，解得. 故选：D． 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）设椭圆 的左右焦点分别为，，点在椭圆外，过的直线交椭圆于，两点，且是线段的中点，如图所示，若直线，的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值. 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，而，点为线段的中点， 由为的中点，得，取线段的中点，连接，如图： 则，即， 因此，， 设点、，则点， 于是，两个等式作差得，整理得， 因此， 所以椭圆的离心率为. 故选： 4．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为为右支上一点，的垂直平分线过点，线段与轴交于点，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】过M作MP垂直x轴，交x轴于点P，则，根据条件，可得，根据勾股定理，可得点M的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设焦距，因为的垂直平分线过点，所以， 因为，所以，则， 过M作MP垂直x轴，交x轴于点P，则， 所以，则，所以， 则，即， 因为点M在双曲线E上，所以， 因为离心率，所以， 则，整理得， 解得或（舍），所以. 故选：A 题型07 点差法、斜率乘积 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 2．（25-26高二上·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，设出点的坐标，再利用斜率坐标公式及双曲线方程求出离心率. 【详解】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【分析】依题意，，， 设点，则，即， 依题意，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 7．（24-25高二上·重庆·阶段检测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定，再结合列出等式即可求解. 【详解】如图：    设为的中点，两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则， 即可得：， 解得： 所以，则， 平方后得， 即， 解得：或. 由条件， 因为，所以不合题意. 所以. 故选：D 题型08 离心率的取值范围 1．（25-26高二上·海南·期末）若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出点到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与，的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为 ， 则，解得， 因为点到椭圆焦点的距离范围是， 则，即，得， 所以，又，故 ， 所以该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 2．（25-26高二上·山东聊城·期末）焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设出双曲线的渐近线方程，且有圆心到直线距离，结合双曲线的方程与性质，即可求得离心率的取值范围. 【详解】由题意设双曲线的方程为，渐近线为，圆心，半径， 整理渐近线方程得或， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 综上，离心率的取值范围为， 故选：A. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可. 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 5．（25-26高二上·河北·阶段检测）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 6．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，， ， 又， 所以， 又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点， 所以， 即，， 可得， 又， 所以双曲线离心率的取值范围是 故选：C 7．（24-25高二上·陕西·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案. 【详解】设与y轴交于点，连接，则，得到， 因为，故P点在双曲线右支上，且， 故，而， 故， 在中，，即，故， 由，且三角形内角和为， 故，则， 即，即，所以的离心率的取值范围为， 故选：A. 1．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解. 【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 2．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形的几何特征，得到双曲线渐近线的斜率，再结合双曲线的离心率公式即可求得. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为为等边三角形，所以， 而双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即， 所以离心率． 3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】首先得出和的关系，然后求出点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于的方程即可求解. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即， 因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为， 又，则点的横坐标为，所以， 在中，，由可得，， 由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率. 故选：C 4．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件得出，利用余弦定理构造方程得出，联立得出，进而求出离心率． 【详解】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点，则 ， 是椭圆上的点，由椭圆定义， 故， 直线斜率为，故倾斜角为，在中，， ， 代入可得，解得， 故，解得， 故． 5．已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中位线性质得出的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算即可. 【详解】由椭圆方程，可得，即长半轴, 如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点， 则是的中位线，得； 因为，椭圆半焦距. 所以的周长为：. 由，可得：， 代入，得，即，故椭圆离心率. 6．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性不妨设在第一象限，根据轴求得，根据求得，再根据可得，故可求离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，由对称性不妨设在第一象限. 由题设有，因，故，故， 故，故，因为，故， 故，而， 因为，故， 整理得，故，故（负根舍去）， 故选：D. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 8．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以， 所以，因为直线与直线互相垂直， 所以，所以在中，，所以， 所以，所以，所以或（舍去）， 所以的离心率为. 故选：C. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 10．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则， 所以， 又点、在双曲线上，得，两式相减得， 可得，因为，所以， 因此. 故选：A 11．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得：，且. 所以. 结合双曲线的定义，，. 在中，. 由余弦定理，， 整理得：，所以. 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等边的边长为，根据椭圆的定义，求得和，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 13．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出、，结合勾股定理可求得结果. 【详解】如下图所示： 由，不妨设，则，， 于是，，设，则， 由双曲线的定义得， 即，解得，因此，解得， ，，由勾股定理得， 即，解得，所以该双曲线的离心率为. 故选：B 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性和已知条件得到四边形的性质，再由双曲线的定义和已知条件得到与的不等式，在中利用勾股定理求出离心率. 【详解】连接， 因为关于原点对称，且关于原点对称， 所以四边形是平行四边形， 又因为，则四边形为矩形， 则， 因为， 由双曲线的定义得， 则，， 在中，由勾股定理得，，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 15．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 16．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算离心率的范围. 【详解】因为是钝角三角形，且，所以为钝角， 则，则，则， 则，得， 故椭圆的离心率的取值范围是.    故选：B 17．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由可知、均为直角三角形，结合题干，并利用勾股定理求出a、c关于m的表达式，再利用离心率定义即可． 【详解】因为，所以，即， 得，设，则，， 又，所以，即为直角三角形， 根据椭圆的定义，由，可得， 由，可得， 在中，，所以， 解得，所以，， 在中，，由勾股定理得， 也即，解得， 所以． 故选：D．    18．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义求解即可 【详解】因为的平分线交线段于点，所以， 由正弦定理得，. 又因为， 所以，即. 不妨设，则， 则，解得， 所以. 故选：A. 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】如图： 设，，的中点为点， ，两式相减得， 化简得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以. 故选：A 20．（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可求出点坐标，然后代入椭圆，求解离心率. 【详解】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为. 如图：    将代入椭圆方程，结合，得 化简为关于离心率的方程为 即，解得. 由于椭圆离心率，故，即. 故选：B 21．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法探究的关系，求椭圆的离心率. 【详解】设，，则，两式相减得：， 所以. 因为，所以. 又的重心为，且重心在直线上，所以. 所以， 所以. 故选：B 22．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围. 【详解】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即. 所以. 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D 23．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【详解】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D 24．已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的等量关系，设出线段长，利用勾股定理以及余弦定理，表示出，利用离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由，则，可设，，其中， 由椭圆的定义可得，， 由，则，可得， 即，解得， 则，，在中，， 易知共线，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以离心率. 故选：C. 25．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 26．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $