2.1《一元二次方程》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念及一般形式，以已学的一元一次方程、分式方程为基础，通过“三要素”判别（整式方程、一元、最高次2）构建知识支架，为后续解法学习奠定基础。 以数学抽象、逻辑推理、数学建模为核心素养，设计判别四步流程图、分层训练及实际应用题（如靠墙围菜园），课中辅助教师教学，课后通过要点回顾和拓展题帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

配 套 讲 义 2.1 一元二次方程（概念 · 第 1 课时） 配套教材：苏科版（2024）九年级数学上册 一、学习目标（核心素养） 数学抽象：能从实际问题抽象出一元二次方程，识别其一般形式 . 逻辑推理：掌握一元二次方程的“三要素”判别（整式方程、只含一个未知数、最高次为 2）. 数学运算：能把方程化为一般形式，并指出二次项系数 、一次项系数 、常数项 （）. 数学建模：经历“实际问题到方程模型”的建模过程，体会方程与生活的联系. 二、知识回顾（已学 / 本课 / 未学） 阶段 内容 说明 阶段 内容 说明 已学 一元一次方程、分式方程 解法：去分母 / 移项 / 合并 / 系数化 1 已学 直接开平方法 为后续解法打基础 本课 一元二次方程的概念与一般形式 重点：三要素 + 化一般式 未学 一元二次方程的解法、根与系数关系 后续课时依次学习 学情提示：易把“二次项系数 ”漏掉；分式方程“去分母”与一元二次方程“化一般式”易混，注意区分. 三、学习导航 读“方法梳理”，记住判别四步与“三要素”； 遮住解答，独立算典例精讲三道题； 按 A 到 B 到 C 顺序做分层训练，不会先看方法小结； 拓展提高量力而行，新定义题重在理解规则； 用“本讲要点回顾”自查掌握情况. 四、方法梳理 判别四步（判断到一元到最高次 2 到化一般式）： 步骤 操作 关键 步骤 操作 关键 ① 是不是整式方程 含 、根号下含未知数则否 ② 是不是只含一个未知数 含 两个元则否 ③ 未知数最高次是不是 2 化简后看最高次（乘积先展开） ④ 化为一般形式 先去括号、移项、合并，再读 （） ▶ 方法提醒 • a≠0 是“一元二次”的前提，缺它退化成一次方程； • 化一般式：先去括号，再移项使右边为 0，最后合并同类项； • 遇乘积形式（如 (x+1)(x-2)）先展开再判次数. 图 概念判别四步流程图 图 方程家族思维导图 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 三要素判别；② 化一般式读系数；③ 含参讨论抓 a≠0 且次数为 2. ▶ 学习难点 · 如何突破 含参题先把“次数=2”与“二次项系数不为 0”列成两个条件，分别求解再取交集. 例1 概念辨析——判断下列方程是否为一元二次方程 【例题】判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由：① ；② ；③ ；④ . 【审题·思路】逐个核对“三要素”：整式、一元、最高次 2. 【突破】① 整式、一元、二次，是；② 含 不是整式，否；③ 含 两个未知数，否；④ 展开：，化简得 ，是一次方程，否. 【解答】解：① 是；② 否（分式）；③ 否（二元）；④ 否（化简后为一次方程）. ▶ 方法小结 先数“元”再数“次”，最后看是否整式；乘积形式先展开化简再判. 【变式】若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是____. 【分析】二次项系数不为 0，即 .【解答】解：. 例2 化为一般形式并指出各项系数 【例题】把方程 化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 【审题·思路】目标形式 ：去括号，移项，合并. 【突破】左边 ，移右边得 ，合并得 . 【解答】解：一般形式为 ▶ 方法小结 移项要变号；合并后才读系数；a=3,b=-5,c=-1，注意符号. 【变式】方程 的一般形式为____，其中 ____，____，____. 【解答】解：展开 ，移项合并得 ；. 例3 含参数讨论（难点突破：二次项系数不为 0 且次数为 2） 【例题】关于 的方程 是一元二次方程，求 的值. 【审题·思路】“一元二次”需同时满足：未知数最高次为 2，且二次项系数不为 0. 【突破】由次数条件 得 ；又二次项系数 得 ；取交集得 . 【解答】解： ▶ 方法小结 含参讨论两步：先由“次数=2”求候选值，再用“二次项系数不为 0”剔除，最后取交集. 【变式】关于 的方程 是一元二次，则 满足____. 【分析】 即 .【解答】解：. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 【解答】解：选 B. 2. 把 化为一般形式，指出 . 【解答】解：展开 ，得 ；. ★★ B层 · 能力提升 3. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 ____. 【解答】解：由 得 ；又 得 ；故 . 4. 已知方程 的常数项 ，则一次项系数是____. 【解答】解：一次项系数为 . ★★★ C层 · 拓展挑战 5. 关于 的方程 有一根为 ，求 及另一根. 【解答】解：代入 得 ，；又二次项系数 得 ，故 ；方程为 ，另一根 . 七、附加拓展提高（六大题型选讲） 题型一 含参讨论（分类讨论） 【例题】关于 的方程 是一元二次，求 的范围. 【分析】二次项系数 .【解答】解：. 【变式】若 是一元二次，求 . 【分析】 且 .【解答】解：. 【巩固】若方程 是一元二次，则 满足____. 【解答】解：，即 . 题型二 实际应用型（实景照片 + 数形结合） 实景：靠墙围矩形菜园（生活背景） 图 矩形菜园示意（数形结合） 【例题】用长 24 m 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙为一边），面积为 .设与墙垂直的边长为 m，列方程. 【审题】已知：篱笆长 24 m、面积 ；所求：与墙垂直的边长 ；等量关系：面积 = 长乘宽；设元：与墙垂直边长 ，则与墙平行边长 ；列方程：. 【分析】由面积关系直接列式.【解答】解：，即 . 【变式】若菜园面积为 ，则方程为____. 【解答】解：，即 . 实景：人群聚集（传染病传播背景） 【巩固】某种传染病初期有 1 人患病，每人每轮传染 人，两轮后共有 121 人患病.列出关于 的方程：____. 【解答】解：，即 . 题型三 新定义型（零常数项一元二次方程） 【新定义】能化为 且常数项 的方程，称为“零常数项一元二次方程”. 【例题】判断 、、 是否为零常数项一元二次方程. 【分析】化为一般式看 是否为 0 且 .【解答】解：① ，，是；② ，是；③ 即 ，，否. 【变式】已知关于 的方程 是零常数项一元二次方程，求 的范围. 【分析】 且常数项已为 0.【解答】解：. 【巩固】已知关于 的方程 是零常数项一元二次方程，求 . 【解答】解： 且 ，故 . 八、参考答案与详细解析 六 · A层 1：选 B.A 含 不是整式；C 含两个元；D 最高次为 3. 六 · A层 2：，移项得 ，. 六 · B层 3：；；故 . 六 · B层 4：方程 ，一次项系数为 . 六 · C层 5：代 得 ，结合 得 ；方程为 ，因式分解 ，另一根 . 七 · 题型一：例题 ；变式 ；巩固 . 七 · 题型二：例题 ；变式 ；巩固 . 七 · 题型三：例题 ① 是 ② 是 ③ 否；变式 ；巩固 . 九、方法总结 ① 判别“一元二次”：整式、一元、最高次 2，三步缺一不可；② 化一般式：去括号，移项，合并，读 （）；③ 含参讨论：次数=2 求候选，系数不为 0 剔除，取交集. 十、本讲要点回顾 □ 我能说出一元二次方程的“三要素”：____、____、____. □ 我会把方程化为一般形式并读出 ：____. □ 含参讨论时，我会同时抓住“次数=2”和“____”两个条件. ▶ 本讲回顾方向 ① 哪类方程最容易判错（分式？二元？乘积未展开？）； ② 化一般式时，符号、移项是否常错； ③ 含参题是否总记得“二次项系数不为 0”这一刀. — 讲义完 — 学科网（北京）股份有限公司 $