2.1一元二次方程的概念（讲义，2知识5题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义（整式方程、单未知数、最高次数2）、解的概念及一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），构建从定义理解到一般形式转化，再到方程识别、参数求解、系数确定、根的估算的递进式学习支架。 该资料以“知识点+即学即练+题型分类”为特色，典例与变式精选各地期中真题，通过定义辨析培养抽象能力，参数求解强化推理意识，根的估算提升数据意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺。

第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的定义 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2. 核心三要素（缺一不可）：① 整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数，根号下不含未知数）；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数是2（二次项系数不能为0）。 3. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，通常也称为一元二次方程的根。 即学即练 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 知识点二 一元二次方程的一般形式 1. 关于x的一元二次方程的一般形式是：（其中a、b、c是常数，且）。 2. 一元二次方程的各部分名称： ①：二次项，a叫做二次项系数（a≠0，否则方程变为一次方程）； ②：一次项，b叫做一次项系数（b可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）； ③：常数项（c可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）。 3. 注意：将一元二次方程化为一般形式时，需将所有项移到等号左边，合并同类项，使右边为0，且二次项系数通常化为正数（方便后续计算）。 即学即练 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 题型01 一元二次方程的识别 / （1）定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程； （2）解法：先整理化简式子，满足三个条件：单未知数、最高次2次、整式方程. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据定义求参数取值 / （1）解法：列两个条件，未知数最高次数等于2，二次项系数不为0，联立求解参数； （2）易错：只满足次数要求，遗漏二次项系数不能为0的限制. 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 3．（2026·辽宁鞍山·二模）若是方程的一个根，则的值为__________． 题型03 写出一元二次方程一般形式 / （1）一般式：； （2）解法：去括号、移项、合并同类项，按降幂排列； （3）易错：移项不变号；排列顺序混乱；未统一整理标准格式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 题型04 确定方程各项系数 / （1）解法：化为一般形式后，对应找出二次项、一次项、常数项系数，包含前面符号； （2）易错：漏掉系数正负号；常数项判断出错. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东江门·月考）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 题型05 利用方程根的概念估算 / （1）解法：将根代入方程等式成立，结合数值范围估算根的取值区间； （2）易错：代入计算运算失误；估算区间判断偏差. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的定义 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2. 核心三要素（缺一不可）：① 整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数，根号下不含未知数）；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数是2（二次项系数不能为0）。 3. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，通常也称为一元二次方程的根。 即学即练 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 知识点二 一元二次方程的一般形式 1. 关于x的一元二次方程的一般形式是：（其中a、b、c是常数，且）。 2. 一元二次方程的各部分名称： ①：二次项，a叫做二次项系数（a≠0，否则方程变为一次方程）； ②：一次项，b叫做一次项系数（b可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）； ③：常数项（c可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）。 3. 注意：将一元二次方程化为一般形式时，需将所有项移到等号左边，合并同类项，使右边为0，且二次项系数通常化为正数（方便后续计算）。 即学即练 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一次项为：， ∴一次项系数是． 题型01 一元二次方程的识别 / （1）定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程； （2）解法：先整理化简式子，满足三个条件：单未知数、最高次2次、整式方程. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 题型02 根据定义求参数取值 / （1）解法：列两个条件，未知数最高次数等于2，二次项系数不为0，联立求解参数； （2）易错：只满足次数要求，遗漏二次项系数不能为0的限制. 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 3．（2026·辽宁鞍山·二模）若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 题型03 写出一元二次方程一般形式 / （1）一般式：； （2）解法：去括号、移项、合并同类项，按降幂排列； （3）易错：移项不变号；排列顺序混乱；未统一整理标准格式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型04 确定方程各项系数 / （1）解法：化为一般形式后，对应找出二次项、一次项、常数项系数，包含前面符号； （2）易错：漏掉系数正负号；常数项判断出错. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可确定对应系数． 【详解】解：∵原方程为 移项整理得一般形式： ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东江门·月考）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 题型05 利用方程根的概念估算 / （1）解法：将根代入方程等式成立，结合数值范围估算根的取值区间； （2）易错：代入计算运算失误；估算区间判断偏差. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $