第19讲 抛物线的简单几何性质（培优讲义）新高二数学人教A版

第19讲 抛物线的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 抛物线的简单几何性质 2 知识点02 直线与抛物线的位置关系 3 剖题型・讲技巧 3 题型1 抛物线的简单性质 3 题型2 直线与抛物线的位置关系 4 题型3 抛物线的弦长 5 题型4 抛物线的焦点弦 6 释疑惑·重难拓展 7 题型1 抛物线的中点弦问题 7 题型2 抛物线的定值问题 7 题型3 抛物线的定点问题 9 知高考•真题探源 10 练好题·提分培优 11 课标要点 1．掌握四种标准抛物线的几何性质，能准确写出取值范围、对称轴、顶点、焦点、准线 2．会判断直线与抛物线位置关系，分斜率存在、不存在两类讨论，区分相切与平行对称轴两种仅有一个交点的情况。 3．熟练运用联立方程判别交点个数，掌握相交弦长计算公式，结合韦达定理完成线段长度求解。 知识点01 抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 练习 1．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 2．已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 知识点02 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系 (1)直线的斜率存在时 设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程. ①若, 当时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当时,直线与抛物线相离,无交点． ②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)直线的斜率不存在时 设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点． 2、直线与抛物线相交弦的弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为,则或 练习 3．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 题型1 抛物线的简单性质 【例1】在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【变式1-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】2025年8月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型2 直线与抛物线的位置关系 方法技巧 联立直线与抛物线方程，整理出一元方程后分两类讨论。 斜率存在时，若二次项系数不为0，依靠判别式Δ判断：Δ>0相交两点、Δ=0相切、Δ<0无交点； 若二次项系数为0，直线平行对称轴，仅有一个交点，该情况不属于相切。 斜率不存在时，对照竖直线横坐标与抛物线范围，直接判断交点数量；牢记：仅有一个交点不能直接判定直线与抛物线相切。 【例3】过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【例4】过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【变式2-3】若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 题型3 抛物线的弦长 【例5】若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【例6】直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【变式3-1】直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【变式3-2】若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式3-3】已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 题型4 抛物线的焦点弦 【例7】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【例8】已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【变式4-3】已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 释疑惑·重难拓展 题型1 抛物线的中点弦问题 方法技巧 点差法求解：设两个交点坐标，分别代入抛物线方程后两式作差，结合中点坐标、直线斜率建立等式，快速求出直线解析式。 点差法得到直线后，必须联立方程检验判别式，保证直线与抛物线存在两个真实交点，排除无交点的无效直线。 【例1】已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例2】设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 【变式1-1】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式1-2】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为__________________. 【变式1-3】已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程. 题型2 抛物线的定值问题 方法技巧 设带有参数的动直线或动点坐标，写出待求目标表达式，例如斜率乘积、线段长度和、向量数量积等。 联立直线与抛物线，借助韦达定理替换、，整体代入目标式进行化简。 若化简后参数全部消去，剩余常数即为所求定值，解题过程无需解出参数具体取值。 【例3】已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【例4】已知抛物线C：，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.若直线l过焦点F，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值. 【变式2-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， . (1)求 的方程: (2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值. 【变式2-2】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点. (1)若点为抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)若动圆过点，且圆心在抛物线上运动，点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 【变式2-3】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 题型3 抛物线的定点问题 方法技巧 设含参数的动直线方程，联立抛物线得到交点对应的韦达关系式。 结合垂直、共线、线段相等、角度相等等题干条件化简式子，对式子进行参数分离处理。 将式子整理为参数的多项式形式，令参数全部系数等于 0，解方程组得到固定点坐标；最后代入原式验证，确认该点不受参数变化影响。 【例5】设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【例6】已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【变式3-1】已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【变式3-2】已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【变式3-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 3．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 3．已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 4．已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 5．设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 8．过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 9．已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 三、填空题 10．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 11．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 12．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 四、解答题 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 14．已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 15．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 抛物线的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 抛物线的简单几何性质 2 知识点02 直线与抛物线的位置关系 3 剖题型・讲技巧 4 题型1 抛物线的简单性质 5 题型2 直线与抛物线的位置关系 7 题型3 抛物线的弦长 10 题型4 抛物线的焦点弦 12 释疑惑·重难拓展 15 题型1 抛物线的中点弦问题 15 题型2 抛物线的定值问题 18 题型3 抛物线的定点问题 23 知高考•真题探源 28 练好题·提分培优 35 课标要点 1．掌握四种标准抛物线的几何性质，能准确写出取值范围、对称轴、顶点、焦点、准线 2．会判断直线与抛物线位置关系，分斜率存在、不存在两类讨论，区分相切与平行对称轴两种仅有一个交点的情况。 3．熟练运用联立方程判别交点个数，掌握相交弦长计算公式，结合韦达定理完成线段长度求解。 知识点01 抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 练习 1．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 2．已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【答案】 【详解】抛物线 的准线为，，， ， 是过且与C 的对称轴垂直的直线，且l交C于A，B两点，且， ，，，， 当时，，； 当时，，. 故答案为：. 知识点02 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系 (1)直线的斜率存在时 设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程. ①若, 当时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当时,直线与抛物线相离,无交点． ②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)直线的斜率不存在时 设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点． 2、直线与抛物线相交弦的弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为,则或 练习 3．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 题型1 抛物线的简单性质 【例1】在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 【例2】（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 【变式1-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 【变式1-2】设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    【变式1-3】2025年8月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后， 得到的三条曲线与组合而成的图形， 其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为， 根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为， 则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得. 故选：C. 题型2 直线与抛物线的位置关系 方法技巧 联立直线与抛物线方程，整理出一元方程后分两类讨论。 斜率存在时，若二次项系数不为0，依靠判别式Δ判断：Δ>0相交两点、Δ=0相切、Δ<0无交点； 若二次项系数为0，直线平行对称轴，仅有一个交点，该情况不属于相切。 斜率不存在时，对照竖直线横坐标与抛物线范围，直接判断交点数量；牢记：仅有一个交点不能直接判定直线与抛物线相切。 【例3】过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 【例4】过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点， 符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线， 故选：D 【变式2-1】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2-2】（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式2-3】若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1) (2) 和 【分析】 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 题型3 抛物线的弦长 【例5】若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 【例6】直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 【变式3-1】直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】，解得或， 则. 【变式3-2】若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 【变式3-3】已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 【答案】A 【详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线方程为， 代入抛物线方程整理得，，， ， 则， 所以，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 而没有固定的最小值，因为当直线的斜率变化时， 可以取到不同的值，不存在固定的最小值. 题型4 抛物线的焦点弦 【例7】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 【例8】已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 【变式4-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【变式4-2】直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【详解】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则，， 所以焦点弦长，已知，代入得， 中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 因此距离为. 【变式4-3】已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】设点，则，解得，所以， 因此，所以直线， 与抛物线方程联立可得，即， 所以，， 所以， 因此，， 所以. 释疑惑·重难拓展 题型1 抛物线的中点弦问题 方法技巧 点差法求解：设两个交点坐标，分别代入抛物线方程后两式作差，结合中点坐标、直线斜率建立等式，快速求出直线解析式。 点差法得到直线后，必须联立方程检验判别式，保证直线与抛物线存在两个真实交点，排除无交点的无效直线。 【例1】已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 【例2】设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 【答案】2 【详解】由题意可知，则直线为， 设，由题意得， 相减得：， 因为E为线段的中点，所以，即， 因为E在直线上，所以， 又因为，所以. 【变式1-1】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 【变式1-2】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为__________________. 【答案】 【详解】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 【变式1-3】已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，动点到点的距离比它到直线的距离小2， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则，两式相减得，整理得， 因为的中点为，所以， 则， 所以直线的方程为，即. 又直线过点，故直线与抛物线相交，满足条件. 题型2 抛物线的定值问题 方法技巧 设带有参数的动直线或动点坐标，写出待求目标表达式，例如斜率乘积、线段长度和、向量数量积等。 联立直线与抛物线，借助韦达定理替换、，整体代入目标式进行化简。 若化简后参数全部消去，剩余常数即为所求定值，解题过程无需解出参数具体取值。 【例3】已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 【例4】已知抛物线C：，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.若直线l过焦点F，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值. 【答案】证明见解析 【详解】抛物线C：的焦点，依题意，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为， 由，得，， 设，则， 因此， 因为的中点，则点M，直线的斜率为， 则直线MN的方程为，令，得，则点N， 于是，， 所以，为定值. 【变式2-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， . (1)求 的方程: (2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当 轴时，，所以， 所以点坐标为 ， 因为，所以， 所以的方程为； （2）设，而,则以为直径的圆的圆心为， 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 则， ， 设直线被以为直径的圆所截得的弦长为， 则 ， 因为当 在 上运动时，直线 被以 为直径的圆所截得的弦长为定值， 所以 ，得 ，此时即， 即此时弦长为定值 【变式2-2】（17.5定长弦）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点. (1)若点为抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)若动圆过点，且圆心在抛物线上运动，点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，4 【分析】 【详解】（1）设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，， 即，故抛物线的方程是. （2）设圆心，点. 因为圆过点，则可设圆的方程为. 令，得，则 所以. 设抛物线的方程为， 因为圆心在抛物线上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值. 故存在一条抛物线，使为定值4. 【变式2-3】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【分析】 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）略 题型3 抛物线的定点问题 方法技巧 设含参数的动直线方程，联立抛物线得到交点对应的韦达关系式。 结合垂直、共线、线段相等、角度相等等题干条件化简式子，对式子进行参数分离处理。 将式子整理为参数的多项式形式，令参数全部系数等于 0，解方程组得到固定点坐标；最后代入原式验证，确认该点不受参数变化影响。 【例5】设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 【分析】 【详解】（1）由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 【例6】已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】 【详解】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 【变式3-1】已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【答案】(1)x2＝4y； (2)； (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； （2）设，由消去y得， 解得， 则. （3）设直线l的方程为，点， 由消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 【变式3-2】已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当时，，故直线过定点. 【分析】 【详解】（1）的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； （2）略 【变式3-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2) 证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为，则，化简得． 所以两点的横坐标为，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得，， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足， 所以，即，过定点. 综上所述，直线过定点． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，点P的横坐标为1，且，则， ∴抛物线的方程为： （2）略 1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    3．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离也为5， 即点的横坐标为4，代入可得， 因此. 2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线方程为， 设，则，得， 又，可得， 所以. 3．已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【详解】由可得,将代入方程，解得, ，可得轴，从而点的纵坐标为2或， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，依题意，即，解得. 所以直线的斜率为. 4．已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则， 因为，不妨令在第一象限，则， 所以直线的方程为， 由，解得，所以，则轴， 所以. 故选：B 5．设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 6．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 7．已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 二、多选题 8．过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 9．已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 三、填空题 10．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 11．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【分析】 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 12．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 四、解答题 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 14．已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 15．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $