第19讲 椭圆的简单几何性质（思维导图+3知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第19讲 椭圆的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 椭圆的简单几何性质及求标准方程 题型02 椭圆的离心率 题型03 直线与椭圆的位置关系 题型04 弦长及面积问题 题型05 中点弦问题 题型06 椭圆中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.椭圆的几何性质 2.直线与椭圆位置关系 3.椭圆的离心率 4.椭圆的弦长、中点弦 1. 掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养. 2. 尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养. 3. 尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题,提升数学建模的核心素养. 4. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,提升数学运算的核心素养. 5. 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 6. 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系 学习难点：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 即时即练 1．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图： (1)； (2). 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 【方法总结】 1、由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. 2、椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 即时即练 1．对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【方法总结】 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 知识点03 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 即时即练 1．已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【方法总结】 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 题型01 椭圆的简单几何性质及求标准方程 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 8．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 10．（多选题）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1、由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. 2、椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置;②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 题型02 椭圆的离心率 1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西九江·期末）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: （1）若已知a,c,可直接代入e=求得. （2）若已知a,b,则使用e=求解. （3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解. （4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围). 2、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 题型03 直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 3．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 4．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【技巧归纳】 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 题型04 弦长及面积问题 1．已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆上两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆交于P，Q两点，且，求直线的斜率． 3．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 4．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的斜率． 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形． (1)求的方程． (2)设直线：与交于，两点． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求四边形的面积． 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【技巧归纳】 1、三角形面积问题 直线方程： 2、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 题型05 中点弦问题 1．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 题型06 椭圆中的定点、定值问题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 2．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 4．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 5．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 (1)求椭圆E的方程； (2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 【技巧归纳】 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期中）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26高二上·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 14．（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为_____________． 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 18．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 19．（25-26高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由. 20．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 21．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 22．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 23．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 24．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆C: 点B₁，B₂分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的右焦点，且. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点 F且斜率不为0的直线交椭圆 C于A，B两点，问x轴上是否存在定点 P，使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等?若存在 求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 25．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，同时也是抛物线的焦点.若点是曲线与在第一象限的交点，且，点的横坐标为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求椭圆的标准方程； (3)设椭圆的左、右顶点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），记直线、的斜率分别为、，证明：为定值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 椭圆的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 椭圆的简单几何性质及求标准方程 题型02 椭圆的离心率 题型03 直线与椭圆的位置关系 题型04 弦长及面积问题 题型05 中点弦问题 题型06 椭圆中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.椭圆的几何性质 2.直线与椭圆位置关系 3.椭圆的离心率 4.椭圆的弦长、中点弦 1. 掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养. 2. 尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养. 3. 尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题,提升数学建模的核心素养. 4. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,提升数学运算的核心素养. 5. 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 6. 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系 学习难点：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 即时即练 1．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形. 【详解】（1）将化为标准方程为：， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为， 椭圆图象如下：    （2）将化为标准方程为：， 因为，所以椭圆的焦点落在轴上， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为， 椭圆图象如下：    2．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. （2）根据给定条件，由离心率求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. 【详解】（1）当椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. （2）令椭圆长半轴长为a，半焦距为c，由，得， 由离心率，得，即，因此椭圆短半轴长， 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 【方法总结】 1、由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. 2、椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 即时即练 1．对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【答案】答案见解析 【分析】联立直线与椭圆方程，消元，求出，再分、、三种情况讨论，即可得解. 【详解】由，消去并整理得③， 此方程的实数解的个数由它的判别式决定，， 当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交. 当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切. 当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离. 综上，可得： 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆有一个公共点； 当或时，直线与椭圆没有公共点. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据半焦距及离心率可计算得,进而确定椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. （2）过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程,可得, 根据韦达定理，有. . 【方法总结】 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 知识点03 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 即时即练 1．已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 【方法总结】 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 题型01 椭圆的简单几何性质及求标准方程 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有，且， 故选：C 2．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 4．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 5．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据焦点位置确定椭圆标准方程形式，再利用椭圆定义求，结合面积公式求，进而得到标准方程. 【详解】因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 7．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 8．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆的方程为，将代入可求得结果. 【详解】由题意可设椭圆的方程为. 又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程， 得，解得（舍去）. 故所求的椭圆方程为. 故选：B. 9．（多选题）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 【答案】BCD 【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算的值即可确定选项. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误. 由椭圆的标准方程为，得， 故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确. 椭圆的离心率，故选项D正确． 故选：BCD． 10．（多选题）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的对称性求得结果. 【详解】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上． 故选：ABC. 【技巧归纳】 1、由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. 2、椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 题型02 椭圆的离心率 1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 2．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件依次求得的值，从而确定正确答案. 【详解】依题意，短半轴， 由，解得. 故选：A 3．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为， 由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即， 故椭圆的离心率为. 4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 5．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 6．（25-26高二上·江西九江·期末）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得出相似关系，求出，即可求出离心率. 【详解】由题意易得， 因为，所以，即，化简得， 故，所以. 故选：A 7．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为，所以，得到， 又，所以，得到，所以，又，故， 故选：C. 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在短轴端点时最大，结合离心率定义分析即可得解. 【详解】记短轴的一个端点为，由椭圆性质可知，当点在短轴端点时最大， 所以，要使满足的点恰好有4个，则， 即，所以， 又，所以. 故选：B 【技巧归纳】 1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: （1）若已知a,c,可直接代入e=求得. （2）若已知a,b,则使用e=求解. （3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解. （4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围). 2、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 题型03 直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 3．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由椭圆短轴长、离心率、可得答案； （2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理判断可得答案. 【详解】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 4．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以的标准方程为． （2）设在轴上的截距为，则的方程为，    由，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 【技巧归纳】 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 题型04 弦长及面积问题 1．已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，进而利用弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆上两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆交于P，Q两点，且，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解斜率即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 故椭圆C的标准方程为. （2）当过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 当过点的直线l的斜率不存在时，设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得， 如图，设交点， 则恒成立，    则 ， 整理得， 可得，解得. 3．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. 【详解】（1）由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. （2）由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 4．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）依题意写出过点，的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意，可得，解得 椭圆的标准方程为． （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为， 点，所在直线方程为． 联立，消去并整理得． 设，，则，， ． 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意求出椭圆的基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合韦达定理得到，，利用弦长公式求出弦长，利用点到直线的距离公式求出距离，再表示出三角形面积，进而建立方程，求解直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意得直线与坐标轴的交点为，， 得到，，即椭圆C的标准方程为. （2）当直线AB的斜率不存在时，不符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 如图，作出符合题意的图形，且设，， 由，得到 可得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 ， 设点P到直线AB的距离为，由点到直线的距离公式得， 所以， 而的面积为，得到，解得． 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形． (1)求的方程． (2)设直线：与交于，两点． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据三角形的周长及三角形为直角三角形可得，进而可得方程； （2）（ⅰ）直接根据根与系数的关系可得；（ⅱ）将四边形的面积转化为两个三角形面积的和，进而转化为计算可得. 【详解】（1）因为是周长为的直角三角形，再由椭圆的定义可得，即. 又因为为直角三角形，且为上顶点，所以为等腰直角三角形，故. 又由，即，代入，解得. 故的方程为. （2）（ⅰ）将直线：代入，消去x得， ，. 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，且与异号， 所以.. 所以 . 所以四边形的面积为. 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 【技巧归纳】 1、三角形面积问题 直线方程： 2、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 题型05 中点弦问题 1．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设出点坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】由直线l与抛物线交于A，B两点，设， 由弦AB的中点为，得，则直线的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 5．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 【技巧归纳】 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 题型06 椭圆中的定点、定值问题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 2．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 4．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 5．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 (1)求椭圆E的方程； (2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线，与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）由题知，，， ∴椭圆E的方程为； （2）（i）联立知 ∴， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的性质可得， 所以， ∴周长为； （ii）设，， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立与得， ∴，， 设直线与联立得， 设，， 故， 又，所以， 同理， 由题知A、B关于原点对称，故， 所以， 所以， 即 整理得， 即， 又，所以整理并化简得：， 解得，故过， 当直线的斜率为0时，由题意知直线即是轴， 所以直线亦过， 综上所述，直线恒过. 【技巧归纳】 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 2．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】将椭圆方程变形得，则. 所以，所以该椭圆焦点为. 对于A，，A错误； 对于B，椭圆焦点位于轴上，不位于轴上，B错误； 对于C，，且焦点位于轴上，，所以短轴长为2， 符合题意，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【详解】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D 5．（25-26高二上·广东·期中）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于轴对称，进而可得点在椭圆上，因此可得椭圆的短轴长. 【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 6．（25-26高二上·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 7．已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为坐标原点，如图所示： 由题意知，为等腰三角形，因为，所以， 在中，，，则， 所以离心率． 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 9．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以， 故椭圆C的方程为． 故选：C． 10．已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求解. 【详解】设，则，两式作差可得， 因为，又， 所以，所以的离心率为. 故选：D 11．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图结合题设可得，，据此可得答案. 【详解】由题可得，从而. 因，则，又由题可得， 则. 故选：A 12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆上动点与两顶点连线的斜率之积与椭圆参数的关系，结合离心率公式求解. 【详解】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且. 直线的斜率，直线的斜率. 由题意知，直线与的斜率之积为， 即. 由于点在椭圆上，满足， 变形得. 代入斜率之积的表达式得，即. 椭圆的离心率. 13．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 14．（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为_____________． 【答案】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，所以长轴长为． 故答案为：． 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴上的焦点可确定，已知离心率可进一步确定，再由确定后即可确定椭圆方程； （2）可将的面积转化为两个等底三角形的面积之和，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出直线与椭圆的两个交点横坐标之差的绝对值作为高，再应用三角形面积公式，即可得解. 【详解】（1）由题可知，又，故，又因为，可得， 故椭圆的标准方程为. （2）    设直线与轴的交点为点， 则. 联立直线与椭圆，整理得. 得，则，则 =. 18．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 19．（25-26高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和椭圆的定义来确定的轨迹方程. （2）先求出直线的方程，再联立直线的方程与椭圆的方程，通过判断方程解的个数来确定直线与椭圆的位置关系. 【详解】（1）圆心，半径. 线段的垂直平分线交半径于点. 点在圆上，. . 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，则. . 的轨迹方程为. （2） 因为直线是线段的垂直平分线，所以直线的斜率 又直线过，所以直线方程：， 联立， 可得，即，只有一个解. 直线与椭圆相切. 20．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 故E的方程为． （2），联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故，    21．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    22．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由右焦点得出，再根据离心率求出关系式得出，可得椭圆方程. （2）将角度相等转化为斜率之和为0，联立直线与椭圆方程，用韦达定理化简条件等式，求出关系，可得定点. 【详解】（1）由得，而， 则， 因此椭圆的方程为：. （2）设，，联立 ， 得， 则， 由韦达定理得， 由，得，即：， 代入，，整理得：， 即， 所以， 化简得：， 所以， 故直线恒过定点，且时满足，符合题意. 23．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 24．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆C: 点B₁，B₂分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的右焦点，且. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点 F且斜率不为0的直线交椭圆 C于A，B两点，问x轴上是否存在定点 P，使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等?若存在 求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在P点坐标为 【分析】小问1根据题目条件可以求出a,b从而求出椭圆方程；小问2先设出这个方程并联立椭圆方程，求出直线与椭圆的交点的关系，再设定点的坐标并让条件成立，再运用交点的关系，求出定点坐标. 【详解】（1）由题意可得，又因为，所以为等腰直角三角形， 因此，则，故椭圆方程为. （2）设过点 F且斜率不为0的直线方程为， 设交点坐标为， 联立直线方程和椭圆方程得出， 化简得，根据韦达定理得， 设定点使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等， 又因为点 F与点P都在x轴上，故直线与直线的倾斜角互为相反数， 即，化简得， 又A，B点在直线上，故， 化简得，再根据韦达定理得， 当时，，则点坐标为； 当时，与为全等三角形且为直角三角形，故坐标为也满足条件， 综上所述存在P点坐标为使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等.    25．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，同时也是抛物线的焦点.若点是曲线与在第一象限的交点，且，点的横坐标为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求椭圆的标准方程； (3)设椭圆的左、右顶点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），记直线、的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）根据点以及右焦点的坐标代入椭圆方程即可求解； （3）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）由抛物线的定义知：，所以，故. （2）由在抛物线上，得，因为在第一象限，所以， 又的焦点，所以，解得，故 （3） 如图所示，设，，直线， 则，得， 显然，，， 因为，所以 所以 又因为，即， ，故为定值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $