第02讲 集合间的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，核心内容包括子集、真子集、集合相等、空集的概念及性质，通过Venn图直观呈现。课堂导入从已学集合概念出发，结合具体实例引出包含关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于题型系统分类，涵盖7类必考题型，从基础概念判断到含参数应用，例题与训练题匹配且附解题技巧。通过实例抽象集合关系培养数学眼光，逻辑推理解决参数问题发展数学思维，规范符号语言表达提升数学语言能力，助力学生自主学习与教师教学评估。

第二讲 集合间的基本关系 【学习目标】 1.知道集合之间包含与相等的关系，能写出给定集合的子集. 2.明确空集的概念. 【学习重点】集合间的基本关系. 【学习难点】含参数的集合间基本关系的应用. 知识必掌握： 一 子集与真子集 1．子集的概念 2．真子集的概念 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 三 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 必考题型全归纳： 题型1 判断两个集合是否相等 知识点 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等。符号表示:A＝B;图形表示： 例1下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 题型训练1 1．下列各组中的M，P表示同一集合的是（　　） A．M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）} B．M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）} C．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1} D．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1} 2．下列各组集合表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{x|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 题型2 空集的概念 知识点 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 例2下列集合表示空集的是（　　） A．{x∈R|x2+1＝0} B．{∅} C．{0} D．0 题型训练2 1．已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝　　． 2．下列表述错误的是（　　） A．∅⊆{0} B．{0，1}⊆{1，0} C．{π}⊆R D．∅＝{∅} 题型3 子集的概念及个数 知识点：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B，图形表示： 【解题技巧】假设非空集合A中含有n个元素，则有： A的子集个数为；A的真子集的个数为；A的非空子集的个数为A的非空真子集的个数为。 例3一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（　　） A．16 B．31 C．32 D．64 题型训练3 1．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 3．已知集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}，则集合M的真子集的个数为（　　） A．29﹣1 B．28﹣1 C．25 D．24+1 4．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的子集个数为 　　． 题型4 真子集的概念及个数 知识点：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⫋B。 符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，且 x∈B使x∉A，则A⫋B。 例4集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 题型训练4 1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 2.设集合A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，则集合A的真子集个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．15 3．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则A的真子集共有个（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 题型5非空（真）子集的概念及个数 例5集合{2，4，6}的非空子集的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 题型训练5 1.数集{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为（　　） A．32 B．31 C．30 D．29 2．已知A＝{1，2}，B＝{1，2，6，7，8}，且A⊈C⊆B，满足这样的集合C的个数（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 题型6 集合间的关系判断 例6 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（　　） A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A 题型训练6 1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，则下列说法正确的是（　　） A．A⊈B B．B⊆A C．A⊆B D．A∈B 2．设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，则A与B的关系为（　　） A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 3．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（　　） A．A⫋B B．A＝B C．B∈A D．B⊆A 4．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，则集合A与B的关系是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．不确定 5．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则（　　） A．B∈A B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 6．设集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}，N＝{x|x＝2n，n∈Z}，则（　　） A．M⫋N B．N⫋M C．M∈N D．N∈M 7.已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ） A． B． C． D． 题型7根据集合间的关系求参数 例7已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，B＝{0，1}，且B⊆A，则a＝（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．1或﹣1 D．0 题型训练7 1.已知集合A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或土4 2．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　） A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜2} D．{a|a≤2} 3．设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜1 B．a≤1 C． D． 4．已知a为实数，A＝[1，4），B＝[a，+∞），若A⊆B，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 5．已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值构成的集合是（　　） A． B．{﹣2，0} C． D． 6．集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（　　） A． B．0＜a＜4 C．a＜0或a≥4 D．或0＜a＜4 7.若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，4] D．[0，4] 8．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 巩固提升练习： 一、单选题 1．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若集合，，且，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．或或0 5．设，．若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．设集合且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，若，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 8．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．若集合，且，则实数的取值为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 10．（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（　　） A． B． C． D． 11．若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 12．设集合，集合，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 13．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 14．已知集合，，若，求实数m的取值范围． 15．设，，B不为空集，，求的值. 16．已知集合，，若,求实数m的取值范围． 17．设集合，，已知，求实数的取值范围． 18．已知全集为实数集，集合，.  (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 19．设，，，求m的取值范围. 20．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 21．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 22．设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围 23．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 24．设集合，，且． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求集合A的子集的个数． 25．已知 (1)若求实数a的取值范围 (2)若，求实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 集合间的基本关系 【学习目标】 1.知道集合之间包含与相等的关系，能写出给定集合的子集. 2.明确空集的概念. 【学习重点】集合间的基本关系. 【学习难点】含参数的集合间基本关系的应用. 必掌握知识点： 一 子集与真子集 1．子集的概念 2．真子集的概念 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 三 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 必考题型全归纳： 题型1 判断两个集合是否相等 知识点：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等。符号表示:A＝B;图形表示： 例1 下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 【答案】B 解：对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错； 对B，由集合元素的无序性可知，M＝N，B对； 对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；故选：B． 题型训练1 1．下列各组中的M，P表示同一集合的是（　　） A．M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）} B．M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）} C．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1} D．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1} 【答案】C 解：A．M中有两个元素，P中有一个元素，∴M≠P； B．有序数对（3，1）≠（1，3），∴M≠P； C．M＝{y|y≥﹣1}，P＝{t|t≥﹣1}，∴M＝P； D．M的元素是实数，P的元素是有序数对，∴M≠P． 故选：C． 2．下列各组集合表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{x|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 【答案】C 解：对于选项A， M＝{（3，2）}中的元素为（3，2）， N＝{（2，3）}中的元素为（2，3）， 故M≠N； 对于选项B，M＝{（x，y）|x+y＝1}的元素为（x，y）， N＝{x|x+y＝1}的元素为x， 故M≠N； 对于选项C， M＝{4，5}＝{5，4}＝N， 故正确； 对于选项D， M＝{1，2}的元素为1，2 N＝{（1，2）}的元素为（1，2）， 故M≠N； 故选：C． 题型2 空集的概念 知识点： 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 例2下列集合表示空集的是（　　） A．{x∈R|x2+1＝0} B．{∅} C．{0} D．0 【答案】A 解：对于A，∵方程x2+1＝0无实根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝∅，故A正确， 对于B，∵集合{∅}中有一个元素∅，∴不是空集，故B错误， 对于C，∵集合{0}中有一个元素0，∴不是空集，故C错误， 对于D，0不是集合，故D错误，故选：A． 题型训练2 1．已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝　0　． 【答案】0． 解：集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝0．故答案为：0． 2．下列表述错误的是（　　） A．∅⊆{0} B．{0，1}⊆{1，0} C．{π}⊆R D．∅＝{∅} 【答案】D 解：对于A，∅⊆{0}，故A正确； 对于B，{0，1}⊆{1，0}，故B正确；对于C，{π}⊆R，故C正确； 对于D，∅∈{∅}，故D错误． 故选：D． 题型3 子集的概念及个数 知识点：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B，图形表示： 【解题技巧】假设非空集合A中含有n个元素，则有：A的子集个数为； A的真子集的个数为；A的非空子集的个数为A的非空真子集的个数为。 例3一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（　　） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】C 解：∵一个集合有5个元素，∴这个集合的子集个数共有：25＝32．故选：C． 题型训练3 1．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 解：∵A＝{2，3}，∴A的子集个数为22＝4．故选：B． 2．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}， ∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C． 3．已知集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}，则集合M的真子集的个数为（　　） A．29﹣1 B．28﹣1 C．25 D．24+1 【答案】A 解：不等式0≤x﹣1≤8可化为1≤x≤9，集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以集合M中的元素个数为9，故其真子集的个数为29﹣1个． 故选：A． 4．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的子集个数为 　64　． 【答案】64． 解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的子集个数为：26＝64． 故答案为：64． 题型4 真子集的概念及个数 知识点：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⫋B。 符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，且 x∈B使x∉A，则A⫋ B。 例4集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 解：x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5； x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3； ∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0； ∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}； ∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}； ∴该集合的真子集个数为7．故选：C． 题型训练4 1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 解：由题意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C． 2.设集合A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，则集合A的真子集个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 解：因为A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，所以A＝{1，2，3}， 所以集合A的真子集个数是23﹣1＝7．故选：B． 3．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则A的真子集共有个（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}， 所以集合A的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C． 题型5 非空（真）子集的概念及个数 例5集合{2，4，6}的非空子集的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B 解：根据非空子集个数公式为2n﹣1＝23﹣1＝7．故选：B． 题型训练5 1.数集{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为（　　） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】C 解：数集{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为25﹣2＝30． 故选：C． 2．已知A＝{1，2}，B＝{1，2，6，7，8}，且A⊈C⊆B，满足这样的集合C的个数（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】∵A⫋C⊆B，∴1∈C，2∈C，又∵c⊆B，除了1，2外， 余下的元素构成的集合为{6，7，8}的非空子集， 故满足条件的集合C的个数为23﹣1＝7，故选：B． 题型6 集合间的关系判断 例6已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（　　） A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A 【答案】D 解：由集合A＝{x|﹣1＜x＜6]，B＝{x|2＜x＜3}， 选项A．A，B两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确． 由条件可得B⊆A，A⊄B，且A≠B，所以选项B，C错误，选项D正确．故选：D． 题型训练6 1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，则下列说法正确的是（　　） A．A⊈B B．B⊆A C．A⊆B D．A∈B 【答案】C 解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，∴A⊆B， 故选：C． 2．设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，则A与B的关系为（　　） A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 【答案】C 解：∵集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，∴A⊆B．故选：C． 3．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（　　） A．A⫋B B．A＝B C．B∈A D．B⊆A 【答案】A 【解答】解：集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，1，2，3，4，5}， 则A⫋B．故选：A． 4．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，则集合A与B的关系是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．不确定 【答案】B 解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，∴A⊆B．故选：B． 5．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则（　　） A．B∈A B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 【答案】C 解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则B⊆A．故选：C． 6．设集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}，N＝{x|x＝2n，n∈Z}，则（　　） A．M⫋N B．N⫋M C．M∈N D．N∈M 【答案】A 【解答】解：因为集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}表示的元素为4的倍数， 集合N＝{x|x＝2n，n∈Z}表示的元素为2的倍数，则M⫋N，故选：A． 7.已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】由图可知：，，由选项可知：，故选：D. 题型7根据集合间的关系求参数 例7已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，B＝{0，1}，且B⊆A，则a＝（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．1或﹣1 D．0 【答案】A 解：∵B⊆A，∴a＝0或a2﹣1＝0， 若a＝0，则集合A＝{1，0，﹣1}，符合题意， 若a2﹣1＝0，则a＝±1，又元素的互异性，则a≠1，故a＝﹣1，此时集合A＝{1，﹣1，0}，符合题意，∴a＝0或﹣1，故选：A． 题型训练7 1.已知集合A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或土4 【答案】C 解：∵A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x2＝16或x2＝4x，则x＝﹣4，0，4． 又当x＝4时，4x＝16，A集合出现重复元素，因此x＝0或﹣4．故选：C． 2．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　） A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜2} D．{a|a≤2} 【答案】B 解：因为集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，当B⊆A时，则a≥2， 故选：B． 3．设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜1 B．a≤1 C． D． 【答案】A 解：∵，∵N＝{x|x＞a}，M⊆N， ∴a＜1． 故选：A． 4．已知a为实数，A＝[1，4），B＝[a，+∞），若A⊆B，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 【答案】C 解：因为A＝[1，4），B＝[a，+∞），A⊆B，所以a≤1．故选：C． 5．已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值构成的集合是（　　） A． B．{﹣2，0} C． D． 【答案】A 解：A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{2，﹣3}，①当a＝0时，B＝{x|ax﹣1＝0}＝∅， B⊆A成立； ②当a≠0时，B＝{x|ax﹣1＝0}＝{2}或B＝{x|ax﹣1＝0}＝{﹣3}， 解得a＝或a＝﹣；综上所述，实数a的值构成的集合是{﹣，0，}； 故选：A． 6．集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（　　） A． B．0＜a＜4 C．a＜0或a≥4 D．或0＜a＜4 【答案】B 解：因为集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则当A＝∅时，Δ＝a²﹣4a＜0，即0＜a＜4， 当A＝{1}时，，无解，故a的取值范围为0＜a＜4，故选：B． 7.若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，4] D．[0，4] 【答案】D 解：由题意不等式ax2﹣ax+1＜0无实解，a＝0时，不等式为1＜0，无实解． a≠0时，，解得0＜a≤4，综上，a∈[0，4]．故选：D． 8．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 解：（1）当a＝0时，方程ax2﹣3x+2＝0化为﹣3x+2＝0，解集非空； 当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝（﹣3）2﹣8a＜0，解得a＞． ∴使A是空集的a的取值范围是（）； （2）当a＝0，集合A中有一个元素； 当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝（﹣3）2﹣8a＞0，解得a＜． 综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{0}∪[）． 巩固提升练习： 一、单选题 1．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案. 【详解】当时,即,时成立; 当时,满足,解得; 综上所述:. 故选:C. 2．设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解． 【详解】由题意如图：    有，所以.故选：A 3．设，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴结合即可得到参数范围. 【详解】因为，所以利用数轴表示，如图，可知．    故选：B. 4．若集合，，且，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．或或0 【答案】D 【分析】根据子集的定义可判断. 【详解】解：当时，可得，符合题意， 当时，， 当时，， 综上，的值为或或. 故选：D. 5．设，．若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程可求得集合；根据包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】由得：或，； 当时，，此时满足； 当时，由得：，即， ，或，解得：或； 综上所述：实数组成的集合为.故选：C. 6．设集合且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，由集合交集定义可解. 【详解】由题意知，所以，或， 当时，得，不符合题意； 当时，得，或， 当，不符合题意，时，，符合题意. 故选：B 7．已知集合，若，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 【答案】B 【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解. 【详解】解：由集合， 对于方程， 当时，此时方程无解，可得集合，满足； 当时，解得，要使得，则满足，可得， 所以实数的值为或. 故选：B. 8．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系列不等式，即可得结果. 【详解】由题设，，又且， 所以，即. 故选：C 二、多选题 9．若集合，且，则实数的取值为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】解出集合,根据，讨论集合,解出实数的值即可. 【详解】，又， 当，则， 当，则， 当，则． 故选： 10．（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由包含关系，，按的取值分类讨论即可. 【详解】，，即， 由集合中元素的互异性知，，即且. 当时，，， 验证：当时，，； 当时，，. 当时，（舍），或 验证：当时，，,. 综上，或.故选：BCD. 11．若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案. 【详解】当，即时，； 当，即时，，      要使，须有，解得，即， 综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7，故选：ABC 12．设集合，集合，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，可得或或，进而可求出的值． 【详解】因为， 所以或或， 则或或， 解得或或.故选：ACD. 三、解答题 13．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根； （2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 14．已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】讨论和两种情况，根据子集关系，列不等式，即可求解. 【详解】当时，时，， 即； 当时，， 解得，即， 故实数的取值范围是. 15．设，，B不为空集，，求的值. 【答案】答案见解析 【分析】由B是A的非空子集，分别研究、、时a、b的值即可求得结果. 【详解】因为，， 所以①当时，则， 所以， ②当时，则， 所以， ③当时，则， 所以， 综述：①当即时，， ②当即时，， ③当即时，. 16．已知集合，，若,求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，列出关于端点的不等式组，即可求解. 【详解】 解得， 故. 的取值范围是． 17．设集合，，已知，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】讨论集合和两种情况，根据子集关系，列不等式组，即可求解. 【详解】当时，，即时，符合题意； 当时， 由，借助数轴表示如图所示． 则，解得. 综上所述，实数m的取值范围是或. 18．已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【详解】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 19．设，，，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组，从而求得的范围. 【详解】∵，，， ∴，解得. 即m的取值范围是. 20．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 21．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 22．设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据，列出不等式即可得到结果. （2）根据，分与进行讨论，列出不等式，即可得到结果. （1） 因为， 所以， 即a的取值范围是； （2） 因为， 若，则； 若，则， 综上所述：． 23．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． （2）解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 24．设集合，，且． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求集合A的子集的个数． 【答案】(1){或} (2) 【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解； （2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数． 【详解】（1）当即时，，符合题意； 当时，有，解得． 综上实数的取值范围是或； （2）当时，，所以集合的子集个数为个． 25．已知 (1)若求实数a的取值范围 (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，即得； （2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∴实数a的取值范围为； （2）∵，， ∴，解得， 故实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $