1.2集合间的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集、Venn图及子集性质等核心知识点。课堂导入通过预习导学环节，先回顾集合元素特性、元素与集合关系、常用数集符号等旧知，再引导学生填写新知概念，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料特色在于设置合作探究、典例精析和当堂达标模块，通过问题链引导学生探究子集与真子集区别、空集特殊性，培养数学思维。典例含参数问题强化分类讨论，提升推理能力，Venn图直观呈现集合关系，助力学生用数学眼光观察和语言表达，适合自主学习与课堂教学结合。

1.2《集合间的基本关系》精品导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 集合间的基本关系 课 时 第 1 课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 【课标要求】 1. 理解子集、真子集的概念，掌握子集与真子集的表示方法； 2. 理解集合相等的含义，能判断两个集合是否相等； 3. 了解空集的概念及其特殊性，能用Venn图表示集合间的关系。 ⭐ 【重点难点】 学习重点 学习难点 子集、真子集的概念；空集的含义 判断集合间的包含与相等关系；空集的特殊性 📖 【预习导学（参考答案）】 请认真阅读教材第7~9页，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾 1. 集合中元素的三个特性： 、 、 。 2. 元素与集合的关系： 属于（ ）、不属于（ ） 3. 常用数集符号： 自然数集 、整数集 、有理数集 、实数集 。 ◆ 二、新知初探 知识点1：子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的________，记作________或________，读作"A包含于B"（或"B包含A"）。 知识点2：真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的________，记作________（或________）。 知识点3：集合相等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B________，记作________。 知识点4：空集 ________的集合叫做空集，记为________。规定：空集是任何集合的________。 知识点5：Venn图 用平面上封闭曲线的________来代表集合的图称为Venn图，它可以直观地表示集合间的关系。 知识点6：子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，即________； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么________。 ◆ 三、预习疑惑 🔍 【合作探究】 ◆ 探究一：子集与真子集的区别与联系 【问题1】观察下列各组集合，说说集合A与集合B有什么关系？ （1）A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5} （2）A = {x | x是两条边相等的三角形}，B = {x | x是等腰三角形} （3）A = {x | x² = 1}，B = {-1, 1} 【思考】子集与真子集有什么区别？A⊆B与A⫋B能否同时成立？ ◆ 探究二：空集的特殊性 【问题2】集合{0}与∅是同一个集合吗？它们之间有什么关系？ 【问题3】请写出集合{a}的所有子集，其中哪些是真子集？ 【问题4】若一个集合有n个元素，它有多少个子集？多少个真子集？ 💡 【典例精析】 例1 判断下列各组集合之间的关系： （1）A = {2, 4, 6}，B = {x | x是小于8的正偶数} （2）A = {x | x < 0}，B = {x | x < 1} （3）A = {x | x = 3k, k∈N}，B = {x | x = 6m, m∈N} 【解析】 （1）因为B = {2, 4, 6}，所以A = B； （2）因为所有小于0的数都小于1，但存在小于1的数（如0.5）不小于0，所以A⫋B； （3）因为6m = 3·(2m)，所以B中元素都是A中元素，但3∈A且3∉B，所以B⫋A。 例2 已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 【解析】 分两种情况讨论： ① 当B = ∅时，有m + 1 > 2m - 1，解得m < 2，此时满足B⊆A； ② 当B ≠ ∅时，需满足： ⎧ m + 1 ≤ 2m - 1 ⎨ m + 1 ≥ -2 ⎩ 2m - 1 ≤ 5 解得2 ≤ m ≤ 3。 综上，m的取值范围是m ≤ 3。 【点睛】不要漏掉B = ∅的情况！空集是任何集合的子集。 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10分钟） 1. 已知集合M = {a, b, c}，则集合M的真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列关系中正确的是（ ） A. ∅ = {0} B. ∅ ∈ {0} C. 0 ⊆ ∅ D. ∅ ⫋ {0} 3. 已知集合P = {x | x² = 4}，Q = {x | x = 2}，则P与Q的关系是（ ） A. P = Q B. P ⊆ Q C. Q ⫋ P D. P ⫋ Q 4. 集合{1, 2, 3}的子集个数为________，真子集个数为________。 5. 写出集合{正方形, 菱形, 矩形, 平行四边形}之间的一个包含关系：________。 📝 【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业（参考答案） 子集（⊆）→ 真子集（⫋）→ 集合相等（=） 空集∅：任何集合的子集 Venn图：直观表示集合关系 性质：A⊆A；若A⊆B且B⊆C，则A⊆C 必做题：教材P9 练习第1、2、3题 🌟 【学习反思】 今日收获： ________________________________________________ ________________________________________________ 存在困惑： ________________________________________________ ________________________________________________ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2《集合间的基本关系》精品导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 集合间的基本关系 课 时 第 1 课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 【课标要求】 1. 理解子集、真子集的概念，掌握子集与真子集的表示方法； 2. 理解集合相等的含义，能判断两个集合是否相等； 3. 了解空集的概念及其特殊性，能用Venn图表示集合间的关系。 ⭐ 【重点难点】 学习重点 学习难点 子集、真子集的概念；空集的含义 判断集合间的包含与相等关系；空集的特殊性 📖 【预习导学（参考答案）】 请认真阅读教材第7~9页，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾 1. 集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性 2. 元素与集合的关系： 属于（∈）、不属于（∉） 3. 常用数集符号： 自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R ◆ 二、新知初探 知识点1：子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的________，记作________或________，读作"A包含于B"（或"B包含A"）。 【答案】任意一个；子集；A⊆B；B⊇A 知识点2：真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的________，记作________（或________）。 【答案】真子集；A⫋B；B⫌A 知识点3：集合相等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B________，记作________。 【答案】任何一个；相等；A = B 知识点4：空集 ________的集合叫做空集，记为________。规定：空集是任何集合的________。 【答案】不含任何元素；∅；子集 知识点5：Venn图 用平面上封闭曲线的________来代表集合的图称为Venn图，它可以直观地表示集合间的关系。 【答案】内部 知识点6：子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，即________； 【答案】A⊆A （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么________。 【答案】A⊆C ◆ 三、预习疑惑（略） 🔍 【合作探究（参考答案）】 ◆ 探究一：子集与真子集的区别与联系 【问题1】观察下列各组集合，说说集合A与集合B有什么关系？ （1）A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5} 答：A⫋B（A是B的真子集） （2）A = {x | x是两条边相等的三角形}，B = {x | x是等腰三角形} 答：A = B（两条边相等的三角形就是等腰三角形） （3）A = {x | x² = 1}，B = {-1, 1} 答：A = B 【思考】子集与真子集有什么区别？A⊆B与A⫋B能否同时成立？ 答：子集包括A = B的情况，真子集要求A≠B。A⊆B与A⫋B不能同时成立。 ◆ 探究二：空集的特殊性 【问题2】集合{0}与∅是同一个集合吗？它们之间有什么关系？ 答：不是同一个集合。{0}含有一个元素0，∅不含任何元素。关系：∅⫋{0} 【问题3】请写出集合{a}的所有子集，其中哪些是真子集？ 答：子集有∅、{a}；真子集有∅ 【问题4】若一个集合有n个元素，它有多少个子集？多少个真子集？ 答：子集有2ⁿ个；真子集有2ⁿ - 1个（去掉集合本身） 💡 【典例精析】 例1 判断下列各组集合之间的关系： （1）A = {2, 4, 6}，B = {x | x是小于8的正偶数} （2）A = {x | x < 0}，B = {x | x < 1} （3）A = {x | x = 3k, k∈N}，B = {x | x = 6m, m∈N} 【解析】 （1）因为B = {2, 4, 6}，所以A = B； （2）因为所有小于0的数都小于1，但存在小于1的数（如0.5）不小于0，所以A⫋B； （3）因为6m = 3·(2m)，所以B中元素都是A中元素，但3∈A且3∉B，所以B⫋A。 例2 已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 【解析】 分两种情况讨论： ① 当B = ∅时，有m + 1 > 2m - 1，解得m < 2，此时满足B⊆A； ② 当B ≠ ∅时，需满足： ⎧ m + 1 ≤ 2m - 1 ⎨ m + 1 ≥ -2 ⎩ 2m - 1 ≤ 5 解得2 ≤ m ≤ 3。 综上，m的取值范围是m ≤ 3。 【点睛】不要漏掉B = ∅的情况！空集是任何集合的子集。 ✏️ 【当堂达标（参考答案）】 （建议用时：10分钟） 1. 已知集合M = {a, b, c}，则集合M的真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】3个元素的集合，真子集个数 = 2³ - 1 = 7个，分别是：∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c} 2. 下列关系中正确的是（ ） A. ∅ = {0} B. ∅ ∈ {0} C. 0 ⊆ ∅ D. ∅ ⫋ {0} 【答案】D 【解析】空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}正确。A错（∅不含元素）；B错（集合间用⊆不用∈）；C错（元素与集合间用∈不用⊆） 3. 已知集合P = {x | x² = 4}，Q = {x | x = 2}，则P与Q的关系是（ ） A. P = Q B. P ⊆ Q C. Q ⫋ P D. P ⫋ Q 【答案】C 【解析】P = {-2, 2}，Q = {2}，所以Q是P的真子集，即Q⫋P 4. 集合{1, 2, 3}的子集个数为________，真子集个数为________。 【答案】8；7 【解析】子集：2³ = 8个；真子集：8 - 1 = 7个 5. 写出集合{正方形, 菱形, 矩形, 平行四边形}之间的一个包含关系：________。 【答案】{正方形} ⫋ {菱形} ⫋ {平行四边形}（答案不唯一） 【解析】也可写：{正方形} ⫋ {矩形} ⫋ {平行四边形} 📝 【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业（参考答案） 子集（⊆）→ 真子集（⫋）→ 集合相等（=） 空集∅：任何集合的子集 Venn图：直观表示集合关系 性质：A⊆A；若A⊆B且B⊆C，则A⊆C 必做题：教材P9 练习第1、2、3题 选做题参考答案： A={1,2}，B⊆A ① B=∅时：a=0 ② B={1}时：a=2 ③ B={2}时：a=1 综上，a∈{0,1,2} 🌟 【学习反思】 今日收获： ________________________________________________ ________________________________________________ 存在困惑： ________________________________________________ ________________________________________________ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 学科网（北京）股份有限公司 $