专题 2.4 用一元二次方程解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决实际问题，系统梳理解应用题的“审设列解验答”步骤，衔接增长率、传播裂变、几何面积、销售利润等核心问题类型，通过公式模型与解题技巧构建学习支架。 资料以知识梳理结合题型精析为特色，例题与变式题覆盖不同情境，同步检测全面。通过几何面积平移法培养推理意识，销售利润问题强化模型意识，助力教师授课与学生课后查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题 2.4 用一元二次方程解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读与基础题型精析 1 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 3 【题型 2】传播问题 3 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 3 【题型 3】图形面积问题（1） 4 【题型 4】图形面积问题（2） 5 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 6 【题型 5】销售与利润问题 6 二.题型精析（综合提升） 7 【知识点六】高频易错点汇总 7 【知识点七】握手、单循环比赛问题 7 【题型 6】握手与循环比赛问题 7 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 8 【题型 8】一元二次方程与一次函数、反比例函数综合 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 10 （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 11 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 12 一.知识梳理解读与基础题型精析 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1. 审：审题——读懂题意，找出已知量、未知量，梳理题目中的等量关系。 2. 设：设未知数——一般直接设所求量为；复杂题型可间接设未知数，统一单位。 3. 列：列方程——根据核心等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：解方程——选用因式分解法、公式法求解方程，得到两个根。 5. 验：双重检验（关键步骤）① 检验根是否满足方程；② 检验根是否符合实际情境（长度、人数、增长率不能为负，人数为整数等），舍去不合理的根。 6. 答：规范作答——完整写出答案，对应题目问题。 核心易错点：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个根符合题意，必须验根舍根，不验根直接扣分！ 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 1. 通用公式：设基数为，平均增长率为，增长次数为，最终量为：；平均下降率公式： 初中常考：连续两年增长/下降，即。 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 模型规律：传染源1个，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数量： 【题型 2】传播问题 【例题2】（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： （1）请列出该方程； （2）请解出x的值． 【变式1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． （1）填空：根据题意，可列方程： ； （2）我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 解题技巧：利用“平移法”，将不规则空白道路、边框拼接为规则矩形，简化计算，避免重复减面积出错。 【题型 3】图形面积问题（1） 【例题3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． （1）求长和宽各增加了多少米？ （2）扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【变式3】（25-26八年级下·北京通州·期末）如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【题型 4】图形面积问题（2） 【例题4】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为，求的长； （2）矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； （3）当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【变式1】（2023·广西贺州·一模）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中有一格点，若的面积为，则这张方格纸的面积等于_______．   【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 1. 核心公式：（1）单件利润 = 售价 - 进价；（2）总利润 = 单件利润 × 销售数量 【题型 5】销售与利润问题 【例题5】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． （1）设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； （2）若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． （1）若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ （2）该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 二.题型精析（综合提升） 【知识点六】高频易错点汇总 1. 忘记验根舍根：实际问题中负数、超范围数值、非整数均需要舍去，是最大失分点。 2. 增长率次数混淆：两年增长是平方，不是乘以2，禁止写成。 3. 面积问题重复减空：十字道路必须用平移法，避免重复减去交叉重叠部分。 4. 利润问题数量关系错：涨价销量减少、降价销量增加，对应数量变化切勿写反。 5. 单循环与双循环混淆：握手、单循环球赛除以2；互赠礼物、双循环比赛不除以2。 【知识点七】握手、单循环比赛问题 1. 通用模型：个人两两握手（单循环比赛），总次数： 【题型 6】握手与循环比赛问题 【例题6】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； （2）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； （3）若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 【例题7】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【变式1】（24-25九年级上·江西萍乡·开学考试）若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【变式3】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）△ABC是一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零料．请你利用三角形零料裁出一块矩形白铁皮，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 活动一：若裁出的矩形白铁皮的面积为零料面积的，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时矩形铁皮的边长． 活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答： ①是否能够使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的？请判断并说明理由； ②猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值．直接写出结论，不必说理． 【题型 8】一元二次方程与一次函数、反比例函数综合 【例题8】（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点在反比例函数的图象上，点在x轴正半轴上，且满足，若的面积为，，则的值等于______． 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值． 三.同步检测 （一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段检测）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川德阳·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 8．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 9．（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 13．（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 （1）每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 14．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： （1）的长为_________； （2）若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 17．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） （1）用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； （2）若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； （3）水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 用一元二次方程解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读与基础题型精析 1 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 4 【题型 2】传播问题 4 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 6 【题型 3】图形面积问题（1） 6 【题型 4】图形面积问题（2） 9 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 12 【题型 5】销售与利润问题 12 二.题型精析（巩固提升） 15 【知识点六】高频易错点汇总 15 【知识点七】握手、单循环比赛问题 15 【题型 6】握手与循环比赛问题 15 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 18 【题型 8】一元二次方程与一次函数、反比例函数综合 22 三.同步检测 27 （一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 27 （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 30 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 32 一.知识梳理解读与基础题型精析 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1. 审：审题——读懂题意，找出已知量、未知量，梳理题目中的等量关系。 2. 设：设未知数——一般直接设所求量为；复杂题型可间接设未知数，统一单位。 3. 列：列方程——根据核心等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：解方程——选用因式分解法、公式法求解方程，得到两个根。 5. 验：双重检验（关键步骤）① 检验根是否满足方程；② 检验根是否符合实际情境（长度、人数、增长率不能为负，人数为整数等），舍去不合理的根。 6. 答：规范作答——完整写出答案，对应题目问题。 核心易错点：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个根符合题意，必须验根舍根，不验根直接扣分！ 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 1. 通用公式：设基数为，平均增长率为，增长次数为，最终量为：；平均下降率公式： 初中常考：连续两年增长/下降，即。 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】（1）；（2）万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 解：（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 【答案】 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为万元，三月份的产值为，进而列出方程求解即可． 解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：x值为． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 解：（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 模型规律：传染源1个，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数量： 【题型 2】传播问题 【例题2】（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： （1）请列出该方程； （2）请解出x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． （1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 【变式1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． （1）填空：根据题意，可列方程： ； （2）我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 解题技巧：利用“平移法”，将不规则空白道路、边框拼接为规则矩形，简化计算，避免重复减面积出错。 【题型 3】图形面积问题（1） 【例题3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． （1）求长和宽各增加了多少米？ （2）扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】（1）长增加了，宽增加了；（2） 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 解：（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 【变式3】（25-26八年级下·北京通州·期末）如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 解：解设画框的宽度为，由题意可知，         ．         解得，．             ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 【题型 4】图形面积问题（2） 【例题4】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为，求的长； （2）矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； （3）当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）的长为或；（2）矩形菜园的面积不可能是，理由如下： 根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是； （3）当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）设边长为，则，根据矩形菜园的面积为列方程求解即可； （2）根据题意得到，整理后利用判别式判断即可； （3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设边长为，则， ∵矩形菜园的面积为， ∴， 整理得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴的长为或； （2）略 （3）解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，， ∵， ∴当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 【变式1】（2023·广西贺州·一模）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 解：设段的长为， 篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆， 垂直于墙的三段篱笆总长为， 在上有两扇宽为的小门（不用篱笆）， 平行于墙的边的长度为 ，即， 花圃的面积为， 可列方程为 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中有一格点，若的面积为，则这张方格纸的面积等于_______．   【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用。 先设正方形网格中小正方形的边长为，根据大正方形与的面积关系，列方程求解，即可得到方格纸的面积． 解：设正方形网格（小正方形）的边长为x，则   ， 整理得 ， ∴方格纸的面积． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）这个茶园的长为，宽为；（2）当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 解：（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 1. 核心公式：（1）单件利润 = 售价 - 进价；（2）总利润 = 单件利润 × 销售数量 【题型 5】销售与利润问题 【例题5】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． （1）设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； （2）若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】（1）（，且x为整数）；（2）售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． （1）若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ （2）该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】（1）每件应降价元；（2）不能，理由见分析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 解：（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 二.题型精析（巩固提升） 【知识点六】高频易错点汇总 1. 忘记验根舍根：实际问题中负数、超范围数值、非整数均需要舍去，是最大失分点。 2. 增长率次数混淆：两年增长是平方，不是乘以2，禁止写成。 3. 面积问题重复减空：十字道路必须用平移法，避免重复减去交叉重叠部分。 4. 利润问题数量关系错：涨价销量减少、降价销量增加，对应数量变化切勿写反。 5. 单循环与双循环混淆：握手、单循环球赛除以2；互赠礼物、双循环比赛不除以2。 【知识点七】握手、单循环比赛问题 1. 通用模型：个人两两握手（单循环比赛），总次数： 【题型 6】握手与循环比赛问题 【例题6】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； （2）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； （3）若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】（1）3；15；（2）10人；（3）不可能；理由见分析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 解：（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设有x个足球队参赛，每两个队之间进行一场比赛，则总比赛场数，根据计划安排15场比赛即可建立方程． 解：设有个足球队参赛，根据题意得，， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】（1）有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛；（2）小江说的有道理，理由见分析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 解：（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 【例题7】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【答案】（1），；（2）①；②18 【分析】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，正确掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）①根据菱形的性质“邻边相等”，可得方程有两个相等的实数根，即，即可求解；②根据题意，可得是方程的一个实数根，从而求出m的值，再通过解方程求出，即可求出的周长． 解：（1） 解： 或， ，； （2）解：①是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ，即，解得，（不符合题意，舍去）， 当时，是菱形； ②由题可得，是方程的一个实数根， ，解得， 则原方程为，解得，， ， 的周长为：． 【变式1】（24-25九年级上·江西萍乡·开学考试）若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，解一元二次方程，先求出一元二次方程的两个根，进而求出菱形的边长，即可得出结果． 解：， 解得：，， ∵菱形的对角线互相垂直平分 ∴， ∴菱形的周长为． 故选B． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求出的值，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 解：四边形是边长为的菱形， ，，，， ， ， 对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）△ABC是一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零料．请你利用三角形零料裁出一块矩形白铁皮，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 活动一：若裁出的矩形白铁皮的面积为零料面积的，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时矩形铁皮的边长． 活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答： ①是否能够使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的？请判断并说明理由； ②猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值．直接写出结论，不必说理． 【答案】活动一：图见分析，；活动二：①不能，理由见分析；②，理由见分析 【分析】活动一：设长方形的长，则宽为，根据面积为，列出方程求解即可； 活动二：①零料面积的，即为，由裁剪方法得：，整理得：，根据根的判别式，即可判断；②利用配方法对整理得：即可得出结论． 解：活动一：设长方形的长，则宽为，由题意，得， 化简，得，解得，． 经检验，，都符合题意． 因此只要在等腰直角三角形的直角边上截取长方形的一边等于即可， 画出符合题意的裁剪示意图如下： 故此时矩形铁皮的边长为：． 活动二：①不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的，理由如下； 零料面积的，即为， 由裁剪方法得：， 整理得：， ， 故方程无解， 故不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的； ②猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值为，理由如下： ， 故当时，矩形白铁皮的面积取到最大值为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合建立等式求出矩形的长与宽． 【题型 8】一元二次方程与一次函数、反比例函数综合 【例题8】（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3）24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 解：（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式及一次函数的性质，先利用一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再结合一次函数的图象与性质进行判断即可． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， ∴一次函数过一、二、三象限， ∴一次函数的图象不经过第四象限． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点在反比例函数的图象上，点在x轴正半轴上，且满足，若的面积为，，则的值等于______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据等腰三角形的性质，得出，进而可得，设，勾股定理求得或，进而根据等腰三角形的性质结合坐标系，即可求解． 解：如图所示，设，过点作轴于点，      ∵，的面积为， ∴ ∴ 设，， ∴ 解得：或 ∴或 则或 ∴或 则或 ∵ ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，等腰三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值． 【答案】（1）；（2）4或16 【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得； （2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得． 解：（1）由题意，将点代入一次函数得：， ， 将点代入得：， 解得 ， 则反比例函数的表达式为； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为， 联立， 整理得：， 一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点， 关于的一元二次方程只有一个实数根， ， 解得：或16， 的值为4或16． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键． 三.同步检测 （一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则主干、支干和小分支的总数是个分支，即可列方程． 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段检测）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程． 解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利1650元， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 5．（25-26九年级上·四川德阳·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 解：由题意得，， ∴， ∵，的面积为， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据月平均增长率的定义，从7月到9月，销售量连续增长两次，每次增长率为x，因此9月销售量是万台，据此列方程即可． 解：设月平均增长率为x，则8月销售量为万台，9月销售量为万台． 根据题意，9月销售量为36万台， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 9．（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 【答案】5 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键． 解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）安全区域的宽度为1米；（2）每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 解：（1）解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【答案】（1）三个连续的自然数是4，5，6；（2） 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设这三个连续的自然数分别为， 根据题意可列方程为， 求出的值，即可得出答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两数之积大于20的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：（1）解：∵两数的积的最大值是30且三个自然数是连续的，设这三个数是，x，，则， 解得（舍去），， ∴较大的两个数是5和6． 则三个连续的自然数是4，5，6． （2）树状图如下： ∴ 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】（1）当长度是时，矩形花园的面积为；（2）不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 解：（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 13．（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 （1）每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）元，件；（2）每件衬衫应降40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 解：（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 14．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】（1）360个；240个；（2）80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 解：（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 【答案】（1）， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2） （3）或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 解：（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： （1）的长为_________； （2）若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 解：（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 17．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） （1）用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； （2）若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； （3）水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】（1），；（2）元；（3），， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 解：（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $