专题2.5 一元二次方程 章节复习 讲义 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程章节复习，系统梳理概念及解法（直接开平方法、配方法等）、解法选择、根与系数关系、应用（传播、增长率等问题），通过思维导图和知识梳理构建完整知识支架，衔接前后学习脉络。 资料设计亮点突出，23个题型讲练含典例与变式，培养推理能力，中考真题与分层训练（基础夯实、培优拔高）兼顾不同学生，应用题型联系现实情境，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

专题2.5 一元二次方程（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 一元二次方程的概念及解法 3 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 5 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 5 知识点四 一元二次方程的应用 6 题型讲练 8 题型一 由一元二次方程的定义求参数 8 题型二 由一元二次方程的解求参数 9 题型三 解一元二次方程——直接开平方法 9 题型四 解一元二次方程——配方法 9 题型五 配方法的应用 9 题型六 公式法解一元二次方程 10 题型七 因式分解法解一元二次方程 10 题型八 换元法解一元二次方程 10 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 11 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 11 题型十一 解分式方程(化为一元二次) 12 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 12 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用） 12 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 13 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 13 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 14 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 14 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 15 题型十九 工程问题(一元二次方程的应用) 16 题型二十 行程问题(一元二次方程的应用) 17 题型二十一 图表信息题(一元二次方程的应用) 17 题型二十二 其他问题(一元二次方程的应用) 18 题型二十三 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 19 中考真题演练 19 难度分层训练 21 【基础夯实】 21 【培优拔高】 22 知识点一 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点四 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 题型二 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么__________． 题型三 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：． （2）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点，求的值． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 题型四 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（） A． B． C． D． 【变式训练】解方程： (1)； (2)． 题型五 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 题型六 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 题型七 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）解方程：； 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）解方程： (1)； (2)． 题型八 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【变式训练】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【变式训练】（25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十一 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【变式训练】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．若，则n的值为（    ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）关于的方程的两根为1和5，则________． 【变式训练】关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【变式训练】（25-26九年级上·重庆永川·期中）每年秋冬季都是流感的高发季，有3人患了流感，经过两轮传染后共有243人患流感，每轮传染平均一个人传染____________人． 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京顺义·期末）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【变式训练】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______．    【变式训练】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期末）“千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． (1)求该店11、12月份的月增长率 (2)春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的72万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率． (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加1套，售价每套可降低4元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【变式训练】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 题型十九 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【变式训练】为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 题型二十 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【变式训练】随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 题型二十一 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【变式训练】根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 题型二十二 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． 题型二十三 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·期末）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，乐陵市某学校九年级举行了足球比赛，比赛以单循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场，设共有x个班级参加比赛，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川广安·期末）“川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到广安参加比赛称为广安板楯蛮队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了广安板楯蛮队外，还有___________支球队． 【真题演练1】（2025·重庆潼南·中考真题）从，，三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最小的数是； ②若，且三个数中最小的数是，则或； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第次操作的结果是，，则的值为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【真题演练2】（2025·重庆九龙坡·中考真题）已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练3】（2025·北京房山·中考真题）平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为________．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为________． 【真题演练5】（2025·重庆·中考真题）荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元． (1)求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元? (2)今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元? 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（   ） A． B．4 C． D． 2．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件16元涨到每件25元，则平均每次上涨的百分率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，， 于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，速度为每秒2个单位长度，两点同时出发，当点Q运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式， (3)在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 一元二次方程（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 一元二次方程的概念及解法 3 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 5 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 5 知识点四 一元二次方程的应用 6 题型讲练 8 题型一 由一元二次方程的定义求参数 8 题型二 由一元二次方程的解求参数 9 题型三 解一元二次方程——直接开平方法 10 题型四 解一元二次方程——配方法 11 题型五 配方法的应用 12 题型六 公式法解一元二次方程 13 题型七 因式分解法解一元二次方程 14 题型八 换元法解一元二次方程 14 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 16 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 17 题型十一 解分式方程(化为一元二次) 18 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 19 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用） 20 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 21 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 22 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 23 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 25 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 26 题型十九 工程问题(一元二次方程的应用) 28 题型二十 行程问题(一元二次方程的应用) 30 题型二十一 图表信息题(一元二次方程的应用) 31 题型二十二 其他问题(一元二次方程的应用) 32 题型二十三 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 35 中考真题演练 36 难度分层训练 44 【基础夯实】 44 【培优拔高】 46 知识点一 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点四 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可． 此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且． 解， 得或， ∴或． ∵， ∴， 因此． 题型二 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程根的定义，将代入原方程，通过移项即可求出目标代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ ∴ 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，熟悉如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后，方程左右两边相等，是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴代入得，即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：． （2）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程与求反比例函数解析式； （1）根据，得解答即可． （2）把点代入解析式中计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， 解得，． （2）解：根据题意，得， ， 解得． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 题型四 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ∴移项得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上，得 变形得 【变式训练】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）化简后采用配方法求解即可； （2）化简后采用配方法求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解： 题型五 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 题型六 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】由公式法求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，． 题型七 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）解方程：； 【答案】 【分析】因式分解法解方程即可. 【详解】解：， ， 或， 解得. 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程中的看作一个整体，利用因式分解法解此方程； （2）利用因式分解法解此方程． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，． 题型八 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程： （1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，即可求得答案； （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，即可求得答案． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以. 把代入已知方程，得，故所求方程为. （2）设所求方程的根为，则， 所以. 把代入方程． 得. 去分母，得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：在方程中，，，． ， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，由方程有两个相等的实数根可得根的判别式，联立求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 整理得， 解得． 【变式训练】（25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式为”的性质，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ，，， ， 整理得：， 解得：． 题型十一 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 【变式训练】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．若，则n的值为（    ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，找到规律并用“裂项法”进行求解是本题的关键． 首先根据规律探索找到的关系式，然后写出，利用“裂项法”进行化简，最终列等式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，，… ∴， ∴， ∴， ， ∴，即：， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴n的值为4049， 故选：C． 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）关于的方程的两根为1和5，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的两根为1和5， ∴，， 解得，， ∴． 【变式训练】关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题．设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x，根据传染模型，2轮后总患者数为，列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x． ∵ 初始患者1人， 第一轮后总患者数为：， 第二轮后总患者数为： ． 又∵ 2轮后总患者数为100， ∴ ， 解得，（舍）， 故每轮传染中平均1个患者传染的人数为9人． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆永川·期中）每年秋冬季都是流感的高发季，有3人患了流感，经过两轮传染后共有243人患流感，每轮传染平均一个人传染____________人． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 设每轮传染中平均一个人传染x人，则第一轮传染后，患病人数为人，第二轮传染后，患病人数为，根据题意，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，则第一轮传染后，患病人数为人，第二轮传染后，患病人数为，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：每轮传染平均一个人传染8人． 故答案为：8． 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京顺义·期末）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查增长率问题的数学模型，掌握（为初始量，为年平均增长率，为增长年数，为最终量）是解题关键． 根据年平均增长率的变化规律，结合初始量、增长年数和最终量列出方程即可． 【详解】解：∵ 2020年全国生活垃圾无害化处理能力为亿吨，年平均增长率为， 又∵2020年到2025年共经过5年，且2025年处理能力约为亿吨， ∴经过5年增长后，处理能力可表示为亿吨， ∴可列方程为， 故选C． 【变式训练】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【答案】该商场对释迦果两次调价的平均降价率为 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用； 根据两次降价后的价格建立方程求解，需注意降价率的取值范围在0到1之间． 【详解】解：设该商场对释迦果两次调价的平均降价率为x， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该商场对释迦果两次调价的平均降价率为． 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______．    【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 【答案】或 【分析】本题考查用一元二次方程解决数字问题，正确表示两个连续整数并列出方程是解题的关键 设较小的整数为，则较大的整数为，根据积为132建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设较小的整数为，则较大的整数为 ， 解得：，或． 当时，，和为 当时，，和为． 故答案为： 或． 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期末）“千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． (1)求该店11、12月份的月增长率 (2)春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 【答案】(1)11、12月的月增长率为 (2)每箱售价应为90元 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设月增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设每箱售价为元，根据题意列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设月增长率为， 解得：，（舍去） 答：11、12月的月增长率为； （2）解：设每箱售价为元， ， 解得：， ∵让顾客得到优惠， ∴， 答：每箱售价应为90元． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的72万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率． (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加1套，售价每套可降低4元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为； (2) 购买的这种健身器材的套数为200套． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2023年的32万人增加到2025年的72万人，列出一元二次方程，求解即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得，， 解得：， ∴该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得， 解得，， 当时，售价元，符合题意； 当时，售价元，不符合题意，舍去． ∴购买的这种健身器材的套数为200套． 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 题型十九 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【变式训练】为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月 【分析】设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可． 【详解】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，由题意，得 x（x﹣5）=6（x+x﹣5）， 解得：x1=2（舍去），x2=15． ∴乙队单独完成这项工程需要15﹣5=10个月 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月． 题型二十 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【变式训练】随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 题型二十一 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 【变式训练】根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】 时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 题型二十二 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解整根方程、整根关联方程、特征值的定义是解题的关键． （1）根据“特征值”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的特征值，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：在关于的一元二次方程中， ， ∴“整根方程”的“特征值”是． 故答案为：． （2）解：∵关于的一元二次方程是关于的一元二次方程的“整根关联方程”， ， ， 解得：； （3）解：对于方程， ， 对于方程， ， ∵方程是方程的“整根关联方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或， ∵、均为正整数， ∴不符合题意， ， ， 故的值为 2 ． 题型二十三 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·期末）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，乐陵市某学校九年级举行了足球比赛，比赛以单循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场，设共有x个班级参加比赛，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出其等量关系． 单循环赛中，比赛总场次为，根据“共比赛了45场”,列出方程，即可解题． 【详解】解：∵每个班级之间均比赛一场， ∴总场次为， 又∵总场次为45， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川广安·期末）“川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到广安参加比赛称为广安板楯蛮队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了广安板楯蛮队外，还有___________支球队． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设除了广安板楯蛮队外还有x支球队，则总球队数为支，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设除了广安板楯蛮队外还有x支球队，则总球队数为支． 根据题意得，， 解得或（舍去）， ∴还有4支球队． 故答案为4． 【真题演练1】（2025·重庆潼南·中考真题）从，，三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最小的数是； ②若，且三个数中最小的数是，则或； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第次操作的结果是，，则的值为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的求解以及规律探究，关键是根据操作定义列出代数式，再分别对三个说法进行分析验证． 【详解】解：对于①，当，，时， ，，， 三个数为，最小数是，故①正确； 对于②，当，，时， ，，． 若，则，判别式，无实根； 若，则，判别式，无实根； 若，则，即，解得或． 当时，，，，最小数为； 当时，，，，最小数为，故②正确； 对于③，计算第一次操作的和：． 同理，第二次操作的和， 即每次操作后三个数的和不变，故第次操作的和仍为，③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 【真题演练2】（2025·重庆九龙坡·中考真题）已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、方程有无数解的条件、因式分解等知识． ①代入，写出多项式、的表达式，对因式分解后，分析方程的解；只要其中一个因式为有实数解，即可判定方程有实数解． ②代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ③代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ④对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，则，． 方程即． 因有解，故方程有实数解，①正确； ②若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确； ③若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，③错误； ④由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故④错误． 综上，正确的说法为①②，共2个． 故选：B． 【真题演练3】（2025·北京房山·中考真题）平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 【答案】 1 【分析】根据平行四边形的性质即可确定；过点B作，过点作轴于点，过点作于点，四边形的面积为4，可得，则可得直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，得出直线的解析式为，设点B的坐标为，再利用列出方程即可求解． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∵点B与点C在直线， ∴； 根据题意，过点B作，过点作轴于点，过点作于点， ∵四边形是菱形（），， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 由（1）可知，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设点B的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为________．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，解一元二次方程，分类讨论，根据题意可得，，，利用上述关系进行解答即可，熟读题意，找到题中的数量关系，熟练利用分类讨论的思想解题是关键． 【详解】解：∵若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1， ， ， ，， 即，， ∵， ∴，即， 要使“拆解数”M最大，则取， ， “拆解数”M的最大值为； ∵， ∴千位数字,百位数字,十位数字,个位数字， 要求P的最小值，， 可假设取最小值为，即， ∴，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 为整数 为的倍数， 要求P的最小值，， 尽可能小， ①当时，为的倍数，， ， 只能等于3，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 该方程无实数根， 不成立； ②当时，为的倍数， ， 只能取， 此时，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 解得， 则或， 综上所述，当时，可取最小值为， 故答案为：；． 【真题演练5】（2025·重庆·中考真题）荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元． (1)求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元? (2)今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元? 【答案】(1)种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件 (2) 【分析】本题考查分式方程与一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，根据题意，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件， 故可得方程， 解得，符合题意要求， 故种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件． （2）解：去年月、销售量为件， 令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件， 种产品销售量为件，种产品销售量不变，为件， 根据题意，得出方程 ， 化简得， 解得（舍去）， 故对种产品每件售价降低50元． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义要求二次项系数不为0，结合两个不相等的实数根对应判别式大于0，据此列不等式可求出m的取值范围，再结合各选项即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根． ∴， 解得且，即选项A符合题意． 2．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件16元涨到每件25元，则平均每次上涨的百分率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，利用连续两次涨价后价格 原价平均每次涨价百分率)，列出一元二次方程，解取正值即可得到结论． 【详解】解：设平均每次上涨的百分率为x， 根据题意得：， 两边同除以16得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴平均每次上涨的百分率为． 3．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查非负数的性质、一元二次方程的根的判别式的应用．关键是先利用非负数的性质求出、的值，再根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，进而联立求解的取值范围． 【详解】：解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴关于的一元二次方程为， ∵该方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知：，， ． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据一元二次不等式的范围是，可得方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵一元二次不等式的范围是， ∴一元二次方程的解为，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，； ，； … ，； ∴原式 ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，， 于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，速度为每秒2个单位长度，两点同时出发，当点Q运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式， (3)在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2) (3)不存在，见解析 【分析】（1）由含的直角三角形性质以及勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，由含的直角三角形性质求出，，即可得出结果； （3），，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵点P从点D出发，沿线段向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，速度为每秒2个单位长度， ∴， 过点作于，如图所示： ， ， ， ， ， ； （3）解：不存在，理由如下： ∵，， ∴， 化简得到， ， ∴方程无解， 故在运动过程中不存在某一时刻t，使得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull