专题 1.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）这一核心知识点，前承一元二次方程一般形式、根的判别式及求根公式，后接常见代数式变形、解题思路与易错点，构建从基础回顾到定理应用的完整学习支架。 资料亮点在于知识梳理突出韦达定理适用前提与符号易错点，培养严谨数学思维。题型分层设计，从基础求两根和积到综合与几何、函数结合，助力学生用数学眼光解决实际问题。同步检测全面，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 1.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 2 【知识点四】常用解题思路总结 3 【知识点五】易错点深度点拨 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直接求两根和、两根积 3 【题型 2】求对称代数式的值 3 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 4 【题型 4】利用根与系数关系与一元二次方程的解求值（整体思想） 5 三.思路点拨与题型精析（综合提升） 5 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值证明 5 【题型 6】韦达定理与几何综合求值证明 6 【题型 7】韦达定理与函数综合求值证明 6 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理与解读 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2. 根的判别式： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根； （3）：方程没有实数根。 3. 求根公式：当时，一元二次方程的实数根为：。 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理内容 若一元二次方程的两个实数根为，则：， 2. 适用前提（重中之重） （1）方程必须是一元二次方程，即；（2）方程必须有实数根，即。 关键提醒：使用韦达定理前，必须先判断方程是否有实数根，无实数根时，根与系数的关系无意义！ 3. 特殊形式结论 （1）若方程为（二次项系数为1），则，； （2）当时，方程有一个根为0，两根之和； （3）当时，两根互为相反数，即。 4. 定理简单推导 由一元二次方程求根公式，设方程的两根：， 推导两根和： 推导两根积： 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 已知为方程两根，不解方程求代数式的值，常用变形： 1. 2. 3. 4. 5. 【知识点四】常用解题思路总结 1. 求值类问题：先判判别式→求两根和与积→代数式整体代入变形求解，全程不解方程。 2. 求系数问题：已知一根优先用两根积/和求另一根，再代入求系数，步骤更简便。 3. 构造方程问题：固定模板，可根据需求整理为整数系数方程。 4. 综合问题：系数含参数时，先由确定参数取值范围，再用韦达定理解题。 【知识点五】易错点深度点拨 1. 忽略适用条件：未判断直接使用韦达定理，无实数根时定理不成立，解题必错。 2. 符号混淆错误：两根和公式为，极易遗漏负号，是最高频易错点。 3. 非一般形式直接套用：使用定理前必须将方程整理为标准形式，不可直接套用原式系数。 4. 代数式变形出错：混淆与，忘记减去。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接求两根和、两根积 【例题1】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【变式1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【变式3】（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）设是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【题型 2】求对称代数式的值 【例题2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． （1）求k的值； （2）求的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1） （2） （3） （4） 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 【例题3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【变式1】（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【题型 4】利用根与系数关系与一元二次方程的解求值（整体思想） 【例题4】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 三.思路点拨与题型精析（综合提升） 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值证明 【例题5】（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【题型 6】韦达定理与几何综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【题型 7】韦达定理与函数综合求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； （3）P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【变式1】（2025·江苏苏州·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______________． 【变式3】（2024·四川绵阳·三模）如图，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，CD交y轴于点M．△ABD沿直线BD翻转，A点恰好落在y轴的点E处，BE交CD于点F．EM＝3，DM＝4．双曲线过点C． （1）分别求出直线BE和双曲线的解析式； （2）把直线BE向上平移n个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n的值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 5．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 9．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 13．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 14．（2026·四川成都·一模）已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 15．（2026·宁夏银川·三模）一元二次方程的两根为和，则________． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的一元二次方程．若该方程的两个实数根满足，则的值为___________ 17．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与轴交于点，与双曲线相交于两点，若，则的值为___________． 18．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若方程的两根，是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·四川·期末）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的方程有实数根，． （1）求k的取值范围； （2）已知点、，若，求k的值； （3）若，则m的最小值为______（直接写出答案）， 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，，，是关于的一元二次方程的两个根，且． （1）请直接利用根与系数的关系写出：_____，_____；（分别用含的式子表示） （2）求a，b的值； （3）、两点分别从、出发，点以每秒2个单位的速度沿着向终点运动，点以每秒1个单位的速度沿着向终点运动，（有一个点到达终点时两点同时停止运动），求经过多长时间后？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 2 【知识点四】常用解题思路总结 3 【知识点五】易错点深度点拨 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直接求两根和、两根积 3 【题型 2】求对称代数式的值 5 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 7 【题型 4】利用根与系数关系与一元二次方程的解求值（整体思想） 9 三.题型精析（综合提升） 11 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值证明 11 【题型 6】韦达定理与几何综合求值证明 14 【题型 7】韦达定理与函数综合求值证明 18 三.同步检测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.知识梳理与解读 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2. 根的判别式： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根； （3）：方程没有实数根。 3. 求根公式：当时，一元二次方程的实数根为：。 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理内容 若一元二次方程的两个实数根为，则：， 2. 适用前提（重中之重） （1）方程必须是一元二次方程，即；（2）方程必须有实数根，即。 关键提醒：使用韦达定理前，必须先判断方程是否有实数根，无实数根时，根与系数的关系无意义！ 3. 特殊形式结论 （1）若方程为（二次项系数为1），则，； （2）当时，方程有一个根为0，两根之和； （3）当时，两根互为相反数，即。 4. 定理简单推导 由一元二次方程求根公式，设方程的两根：， 推导两根和： 推导两根积： 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 已知为方程两根，不解方程求代数式的值，常用变形： 1. 2. 3. 4. 5. 【知识点四】常用解题思路总结 1. 求值类问题：先判判别式→求两根和与积→代数式整体代入变形求解，全程不解方程。 2. 求系数问题：已知一根优先用两根积/和求另一根，再代入求系数，步骤更简便。 3. 构造方程问题：固定模板，可根据需求整理为整数系数方程。 4. 综合问题：系数含参数时，先由确定参数取值范围，再用韦达定理解题。 【知识点五】易错点深度点拨 1. 忽略适用条件：未判断直接使用韦达定理，无实数根时定理不成立，解题必错。 2. 符号混淆错误：两根和公式为，极易遗漏负号，是最高频易错点。 3. 非一般形式直接套用：使用定理前必须将方程整理为标准形式，不可直接套用原式系数。 4. 代数式变形出错：混淆与，忘记减去。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接求两根和、两根积 【例题1】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． 解：（1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若方程的两个实数根分别为、，则，． 解：、是一元二次方程的两个根， ，， ． 【变式3】（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）设是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个实数根，则，，由此求解即可． 解：是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 【题型 2】求对称代数式的值 【例题2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． （1）求k的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）65 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 解：（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； （2）解：原式， 当时，原式， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 【变式2】（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （3）先计算，再代入，求解； （4）先由完全平方公式得到，再计算，然后再代入求值． （1）解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ，，。 ∴根据根与系数的关系得，， （2）解：根据根与系数的关系得，； （3）解：； （4）解：， ∴． 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 【例题3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时，，方程有两个实数根， ∴． 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 解：（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为 【题型 4】利用根与系数关系与一元二次方程的解求值（整体思想） 【例题4】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值证明 【例题5】（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 解：（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 （2）①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 解：（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【题型 6】韦达定理与几何综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 解：（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·安徽·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 解：（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 【题型 7】韦达定理与函数综合求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； （3）P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【答案】（1）；（2）平移后的直线与双曲线只有一个交点；（3）或或或 【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 解：（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 【变式1】（2025·江苏苏州·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系可得出a+b，ab=﹣3，进而可得出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，此题得解． 解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b，ab=﹣3， ∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣3）． 设直线l的函数表达式为y=mx+n（m≠0）， 将A（，0），B（0，﹣3）代入y=mx+n， 得：， 解得：， ∴直线l的函数表达式为y=6x﹣3． 故选：A． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【变式2】（2024·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______________． 【答案】0 【分析】联立两个函数表达式得：，即，利用根与系数的关系得出，故． 解：联立两个函数表达式得： ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键． 【变式3】（2024·四川绵阳·三模）如图，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，CD交y轴于点M．△ABD沿直线BD翻转，A点恰好落在y轴的点E处，BE交CD于点F．EM＝3，DM＝4．双曲线过点C． （1）分别求出直线BE和双曲线的解析式； （2）把直线BE向上平移n个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出DE，再利用折叠的性质，矩形的性质求出点E的坐标，设，得到，根据勾股定理求出，，设出直线BE和双曲线的解析式，分别将点B、E的坐标代入直线解析式，点C的坐标代入双曲线解析求解； （2）根据（1）得直线BE向上平移n个单位长度所得的直线，把它代入双曲线解析式得到方程，再利用平移后的直线与双曲线只有一个交点，进而得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别来求解． 解：（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∵矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，EM＝3，DM＝4，如图， ∴轴， ∴在中， ． 由折叠的性质可得，． ∵在矩形ABCD中，， 又， ∴四边形OMDA、四边形OMCB都是矩形， ∴，， ∴， ∴． 设， 则． ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴，． 设直线BE的解析式为， 把点和点的坐标代入得 ， 解得， ∴直线BE解析式为：； 设反比例函数解， 把点代入得， ∴双曲线的解析式为：； （2）解：根据（1）得直线BE向上平移n个单位长度所得的直线为 ， 将它代入双曲线解析式得， 整理得． ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（不符合题意舍去）， 故n的值为． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和双曲线解析式，勾股定理，折叠的性质，一元二次方程的判别式．理解相关知识是解答关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 解：∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 4．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 5．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 8．（2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 9．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，继而，那么，再代入求解即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 13．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系，根据已知两根计算两根之和与两根之积，从而构造一元二次方程的一般式即可． 解：设一元二次方程为 ，根据根与系数的关系，有 ，， 已知 ，， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 ， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2026·四川成都·一模）已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为，得，再将点代入中，即可得出k的值． 解：设方程的两根分别为，则， ， 点在正比例函数的图象上， 将点代入，得 ． 15．（2026·宁夏银川·三模）一元二次方程的两根为和，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，代入化简计算即可得到结果． 解：是一元二次方程的根， ， 整理得 ， 将代入得： 的两根为和， ， 原式． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的一元二次方程．若该方程的两个实数根满足，则的值为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 先根据一元二次方程有两个实数根可得，再求出，然后将待求式整理为，整体代入求值即可. 解：∵一元二次方程的实数根是， ∴，， 解得. ∴， 即， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 所以的值是. 故答案为：. 17．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与轴交于点，与双曲线相交于两点，若，则的值为___________． 【答案】1或 【分析】根据题意，令直线解析式与双曲线解析式相等，整理得到，设其两个解分别为，，再根据根与系数的关系得到，最后根据，得到，进而即可求出的值．本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，同时解题方法中涉及到一元二次方程根与系数的关系，通过数形结合的方法求解的值是解决本题的关键． 解：依题意，设，， 令，整理得到， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 18．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系及两点间的距离公式，设，进而求出，求出，将一次函数表达式代入反比例函数表达式整理后，根据根与系数关系进一步求出，即可求出结论． 解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 解：（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若方程的两根，是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值． 【答案】（1）；（2）4． 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及矩形的性质，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，列出关于k的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值． 解：（1）解：∵方程有实数根， ， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·四川·期末）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的方程有实数根，． （1）求k的取值范围； （2）已知点、，若，求k的值； （3）若，则m的最小值为______（直接写出答案）， 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）首先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后得到，，然后得到，，代入，得到，然后代入和解方程即可求解； （3）将代入，整理得到，然后代入得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）∵关于x的方程有实数根，． ∴ 解得； （2）∵关于x的方程有实数根，， ∴， ∴， ∵、， ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得或 ∵ ∴应舍去 ∴； （3）将代入得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为 ∵ ∴抛物线开心向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∵ ∴当时，m有最小值，此时． ∴m的最小值为． 【点拨】此题考查了二次函数的性质，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，，，是关于的一元二次方程的两个根，且． （1）请直接利用根与系数的关系写出：_____，_____；（分别用含的式子表示） （2）求a，b的值； （3）、两点分别从、出发，点以每秒2个单位的速度沿着向终点运动，点以每秒1个单位的速度沿着向终点运动，（有一个点到达终点时两点同时停止运动），求经过多长时间后？ 【答案】（1），；（2），；（3）经过秒或2秒时，． 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的运用，利用根与系数的关系求得直角三角形的边是解决问题的关键． （1）利用根与系数的关系即可得解； （2）利用根与系数的关系，结合勾股定理可先求出的值，再求得、的值即可； （3）设经过秒后，求得，，利用勾股定理建立方程即可得解． 解：（1）解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ； 故答案为：；； （2）解：在中， ， 变形得：， ，， ， 解得，，（负数不符合题意，故舍去）， 原方程可化为， ， ，； （3）解：设运动时间为， ，， ， ，， ，， ， ， ，， 经过秒或2秒时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $