专题08反比例函数暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题08反比例函数暑假预习讲义 · 概念掌握：理解反比例函数定义，熟记三种表达式，分清正比例与反比例函数；明确自变量取值范围，能从实际问题中识别反比例函数模型。 · 图像与性质：掌握描点法画反比例函数双曲线；区分k>0、k<0时图像所在象限、增减性；理解双曲线无限贴近坐标轴但不相交，掌握图像两种对称性。 · 基础计算：根据点坐标求k与函数解析式；已知x求y、已知y求x；会利用k的几何意义计算图像上点与坐标轴围成三角形、矩形面积。 · 综合运用：联立一次、反比例函数求交点；借助图像比较函数值大小、求解不等式；针对行程、工程、面积类实际问题建立反比例函数模型解题。 · 数学思想：运用数形结合思想，依靠图像分析函数变化；建模思想，提取实际问题中的反比例等量关系；分类讨论思想，分k正负研究图像性质。 · 分层学习 基础层：熟记定义、图像基础特征，完成代入求值、求解析式简单习题； 提高层：灵活使用k几何意义，结合图像比较函数值，求解两个函数交点； 拓展层：独立处理复杂实际应用题，结合几何、不等式解决综合题型。 · 预习与课堂重点 预习标注易混淆知识点，课堂针对性纠错：忽略x≠0、正反比例增减性记混、不分k正负讨论、面积计算漏乘、实际问题忽略自变量取值限制，掌握函数解答题通用解题步骤。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.双曲线分布象限求参数范围 9.判断反比例函数的增减性 10.判断反比例图象所在象限 11.由求参数反比例函数增减性 12.比较反比例函数值/自变量大小 13.由比例系数求特殊图形面积 14.求反比例函数解析式 15.反比例函数与几何综合 16.由图形面积求比例系数 17.一次函数与反比例函数交点问题 18.实际问题与反比例函数 强化题 解答题9题 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 形式 解析式 主要用途 分式形式 y= (k 求解析式、常规计算 乘积形式 xy=k (k 判断变量是否成反比例关系 负指数形式 y=kx−1 (k 函数类型判定题 3. 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 函数类型 解析式 自变量次数 k符号要求 图像形状 正比例函数 y=kx(k≠0) x次数为 1 k>0、k<0 过原点直线 反比例函数 y=(k≠0) x次数为 - 1 k>0、k<0 双曲线，不过原点 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 . 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数图像与核心性质（重难点） k > 0：图象在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 增大而减小。 k < 0：图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 增大而增大。 对称性：关于原点、直线 y=x、y=-x对称。 关键易错注解 1.增减性必须强调在每一个象限内，不能直接说 “k>0时，y随x增大而减小”；跨象限不满足增减规律； 2.|k|越大，双曲线离坐标原点越远；|k|越小，双曲线越靠近原点； 3.图像永远不过原点，x、y均不能取 0。 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 知识点08:本章高频易错点（课堂重点纠错） 1.忽略自变量x≠0，画图、取值时出现x=0； 2.描述增减性漏掉 “在每个象限内”，跨区间判断增减出错； 3.使用k几何意义求面积忘记加绝对值，求k不结合象限判断正负； 4.混淆正反比例函数增减规律，k>0、k<0性质记反； 5.实际应用题忽略x>0，取值包含负数； 6.联立函数求交点，解方程后忘记检验； 7.误以为双曲线会和坐标轴相交。 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 【跟踪专练1】下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【跟踪专练2】从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】已知函数是反比例函数，则_______． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【跟踪专练2】已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【跟踪专练3】反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（   ） A． B．1 C．或1 D．或 题型4.求反比例函数值 【典例】点是反比例函数上的一点，当时，______． 【跟踪专练1】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【跟踪专练1】反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【跟踪专练3】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 题型6.判断反比例函数图象 【典例】在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】已知，则函数和图象大致是（     ）． A．B． C． D． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】已知反比例函数（k为常数，），从，，3，这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 __． 【跟踪专练1】如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【跟踪专练2】如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 题型8.双曲线分布象限求参数范围 【典例】如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【跟踪专练1】已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型9.判断反比例函数的增减性 【典例】反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 【跟踪专练1】已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，，则_____（填、或）． 【跟踪专练3】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 【跟踪专练1】反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【跟踪专练2】在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 【跟踪专练3】在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型11.由求参数反比例函数增减性 【典例】如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【跟踪专练1】，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【跟踪专练3】若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 题型12.比较反比例函数值或自变量大小 【典例】已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【跟踪专练1】若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【跟踪专练3】已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型13.由比例系数求特殊图形面积 【典例】已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是________． 【跟踪专练1】如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【跟踪专练2】如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【跟踪专练3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型14.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图象经过点，则k的值为______． 【跟踪专练1】点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 题型15.反比例函数与几何综合 【典例】如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1）______； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为______ 【跟踪专练1】如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为3，则的值是___________ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 题型16.由图形面积求比例系数 【典例】如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【跟踪专练3】反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型17.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 【跟踪专练3】如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型18.实际问题与反比例函数 【典例】小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/． 【跟踪专练1】物理中，当用电器两端电压保持不变时，用电器中的电流（单位：A）与用电器的电阻（单位：）成反比例关系，其函数解析式为（为非零常数）．某同学绘制了该电路的图象（如图所示，横轴为电阻，纵轴为电流），已知图象经过点．下列说法正确的是（   ） A．电压 B．当时，电流 C．电阻每增大，电流就减小 D．若电流的取值范围是，则电阻的取值范围是 【跟踪专练2】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 【跟踪专练3】如图①所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化(如图②)，射向光敏电阻的激光(恒定)被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（   ） 小贴士： 电路电流，电路总功率，其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．随增大而减小 C．当烟雾浓度增大时，电流表Ⓐ的示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 解答题 1．已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 2．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 3．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 4．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 5．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 6．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 7．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 8．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08反比例函数暑假预习讲义 · 概念掌握：理解反比例函数定义，熟记三种表达式，分清正比例与反比例函数；明确自变量取值范围，能从实际问题中识别反比例函数模型。 · 图像与性质：掌握描点法画反比例函数双曲线；区分k>0、k<0时图像所在象限、增减性；理解双曲线无限贴近坐标轴但不相交，掌握图像两种对称性。 · 基础计算：根据点坐标求k与函数解析式；已知x求y、已知y求x；会利用k的几何意义计算图像上点与坐标轴围成三角形、矩形面积。 · 综合运用：联立一次、反比例函数求交点；借助图像比较函数值大小、求解不等式；针对行程、工程、面积类实际问题建立反比例函数模型解题。 · 数学思想：运用数形结合思想，依靠图像分析函数变化；建模思想，提取实际问题中的反比例等量关系；分类讨论思想，分k正负研究图像性质。 · 分层学习 基础层：熟记定义、图像基础特征，完成代入求值、求解析式简单习题； 提高层：灵活使用k几何意义，结合图像比较函数值，求解两个函数交点； 拓展层：独立处理复杂实际应用题，结合几何、不等式解决综合题型。 · 预习与课堂重点 预习标注易混淆知识点，课堂针对性纠错：忽略x≠0、正反比例增减性记混、不分k正负讨论、面积计算漏乘、实际问题忽略自变量取值限制，掌握函数解答题通用解题步骤。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.双曲线分布象限求参数范围 9.判断反比例函数的增减性 10.判断反比例图象所在象限 11.由求参数反比例函数增减性 12.比较反比例函数值/自变量大小 13.由比例系数求特殊图形面积 14.求反比例函数解析式 15.反比例函数与几何综合 16.由图形面积求比例系数 17.一次函数与反比例函数交点问题 18.实际问题与反比例函数 强化题 解答题9题 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 形式 解析式 主要用途 分式形式 y= (k 求解析式、常规计算 乘积形式 xy=k (k 判断变量是否成反比例关系 负指数形式 y=kx−1 (k 函数类型判定题 3. 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 函数类型 解析式 自变量次数 k符号要求 图像形状 正比例函数 y=kx(k≠0) x次数为 1 k>0、k<0 过原点直线 反比例函数 y=(k≠0) x次数为 - 1 k>0、k<0 双曲线，不过原点 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 . 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数图像与核心性质（重难点） k > 0：图象在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 增大而减小。 k < 0：图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 增大而增大。 对称性：关于原点、直线 y=x、y=-x对称。 关键易错注解 1.增减性必须强调在每一个象限内，不能直接说 “k>0时，y随x增大而减小”；跨象限不满足增减规律； 2.|k|越大，双曲线离坐标原点越远；|k|越小，双曲线越靠近原点； 3.图像永远不过原点，x、y均不能取 0。 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 知识点08:本章高频易错点（课堂重点纠错） 1.忽略自变量x≠0，画图、取值时出现x=0； 2.描述增减性漏掉 “在每个象限内”，跨区间判断增减出错； 3.使用k几何意义求面积忘记加绝对值，求k不结合象限判断正负； 4.混淆正反比例函数增减规律，k>0、k<0性质记反； 5.实际应用题忽略x>0，取值包含负数； 6.联立函数求交点，解方程后忘记检验； 7.误以为双曲线会和坐标轴相交。 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 【跟踪专练1】下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 【跟踪专练2】从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题主要考查了了反比例函数的定义， 根据题意得出关系式，再根据关系式得出答案. 【详解】解：根据题意，得，即， 所以水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是反比例函数关系. 故答案为：反. 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 【跟踪专练2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】已知函数是反比例函数，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，其指数为，因此令指数部分等于，求解即可得出结果，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 【跟踪专练2】已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关于y轴对称的点的特征，先根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点关于y轴的对称点为，再代入，计算即可． 【详解】解：与关于y轴的对称， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（   ） A． B．1 C．或1 D．或 【答案】A 【分析】根据反比例函数定义，得到，求得，再根据反比例函数图形性质，得到，即可确定m的值． 【详解】解：为反比例函数， ， ，， 又反比例函数的图像在第二，四象限， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握：反比例函数的一般形式为或，，图像过一、三象限，，图像过二、四象限． 题型4.求反比例函数值 【典例】点是反比例函数上的一点，当时，______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．把代入解析式求出，再根据即可求解． 【详解】解：将代入得，， 当时，． 故答案为：2． 【跟踪专练1】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于反比例函数，图象上的点横纵坐标乘积一定等于，只需计算各点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数中，若点在该反比例函数图象上，需满足， A、，满足，因此该点在函数图象上； B、，不满足条件； C、，不满足条件； D、，不满足条件． 【跟踪专练2】对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，先计算 时的函数值，再根据反比例函数 时，在每个象限内随增大而减小的性质，结合的取值范围确定的取值范围. 【详解】解：当时，， 由于反比例函数中， 因此在每个象限内，随增大而减小, 当 且时， 分两种情况讨论： ① 当时，; ②当时，， 的取值范围为或, 故答案为：或. 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， 解得 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键． 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入，则， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 题型6.判断反比例函数图象 【典例】在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】已知，则函数和图象大致是（     ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】已知反比例函数（k为常数，），从，，3，这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 __． 【答案】 【分析】要使图象在第二、四象限，则，找出满足条件的个数，即可得出概率． 【详解】解：依题意共有4种，要使图象在二、四象限，则，满足条件的有3种， 因此概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【跟踪专练1】如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 【跟踪专练2】如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【详解】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了反比例函图象与一次函数图象与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点是解题的关键． 题型8.双曲线分布象限求参数范围 【典例】如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 【跟踪专练1】已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 题型9.判断反比例函数的增减性 【典例】反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 【答案】减小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 故答案为：减小． 【跟踪专练1】已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质（），判断各选项的正确性. 【详解】解：∵ 反比例函数，， ∴ 图象分别位于第一、三象限，故D正确. A、当时，，∴ 图象不经过点，A错误； B、当时，在每一象限内随的增大而减小，但未指定象限， B错误； C、 当时，，不成立，C错误； 故选D 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，，则_____（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 又∵，是双曲线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据得出函数经过第二、四象限，再结合，即可作答． 【详解】解：∵函数的， ∴函数经过第二、四象限， ∴当时，函数图象位于第二象限． 故答案为：二 【跟踪专练1】反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图像，时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图像的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴该反比例函数经过第二、四象限． 故选：B． 【跟踪专练2】在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 【答案】C 【分析】先根据矩形面积公式推导得到关于的函数表达式，再结合边长的实际意义确定，的取值范围，即可判断函数图像所在象限． 【详解】解：∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，由题意得，整理得，该函数为反比例函数， 又∵，表示矩形的边长，边长为正实数， ∴， 可得， ∴函数图像只位于平面直角坐标系的第一象限． 【跟踪专练3】在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象，绝对值的化简，掌握反比例函数图象是解决问题的关键．需分和两种情况进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第一象限的图象； 当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第二象限的图象． 故选：B． 题型11.由求参数反比例函数增减性 【典例】如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 【跟踪专练1】，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【跟踪专练2】已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 【跟踪专练3】若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 题型12.比较反比例函数值或自变量大小 【典例】已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 【跟踪专练1】若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 【跟踪专练3】已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 题型13.由比例系数求特殊图形面积 【典例】已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 【跟踪专练3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 题型14.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图象经过点，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解m即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点， ∴ 解得， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．：作交轴于，由该菱形的周长为和面积为，可求菱形边长和高，利用勾股定理可求，则B点坐标可求，进而解析式可求． 【详解】解：作交轴于， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形面积为， ∴， ， ∴， ， ∴，代入反比例函数， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 题型15.反比例函数与几何综合 【典例】如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1）______； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为______ 【答案】 5 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由点，，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可得知， ，， （2）结合轴，，，，则，分别然后代值求解得出的值，根据待定系数法求出直线的解析式，根据直线与反比例函数有交点求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）∵点，，在函数的图象上， ∴，，，， 得， ，， ∴， 故答案为：5 （2）连接，如图所示： 由（1）得， ，， ∵轴，，，． ∴ ∵反比例函数与有交点, ∴，则； ∴，则； ∴，则； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵有交点， ∴， ∴， 的取值范围为， 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 【答案】A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为3，则的值是___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，． ∵的面积为，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 题型16.由图形面积求比例系数 【典例】如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，可得，据此求出k的值是多少即可． 【详解】解：∵的面积是4， ∴， ∴， 解得， 又∵双曲线的图象经过第二、四象限， ∴， 即k的值是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 【跟踪专练3】反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据点B、E的位置和坐标求得k值的取值范围，即可解答． 【详解】解：设,则， ∵正方形的面积为11， ∴，即 ∵由图象可知，点在双曲线第二象限的一支的上方， ∴， ∵点的坐标为，且点在双曲线第四象限的一支的上方， ∴， ∴， 则的值可能是， 故选：B． 题型17.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合；观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围即是不等式的解集． 【详解】解：由图象知，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， 故不等式的解集为：或； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】本题考查不等式的解集与函数图像交点的问题，不等式的解集为一次函数的图像在反比例函数的图像下方对应的自变量x的取值，根据图像即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴由图像可得，不等式的解集为或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是正确理解题意． 根据图象，得出，的符号，从而判断的符号，由此可判断①； 根据，在反比例函数的图象上，可得到、关系式，由此可判断②； 先根据，在直线，从而可求得，，由此可判断③、④． 【详解】解：由图象知，，， ∴，故①错误； 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴，故②正确； 又直线的解析式为， ∴， ∴，，故③、④正确， 综上所述，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 题型18.实际问题与反比例函数 【典例】小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/． 【答案】175 【分析】先确定函数的解析式为，再代入求解即可． 【详解】解：设所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数解析式为， 根据题意，得, 解得， 故， 当时， ． 【跟踪专练1】物理中，当用电器两端电压保持不变时，用电器中的电流（单位：A）与用电器的电阻（单位：）成反比例关系，其函数解析式为（为非零常数）．某同学绘制了该电路的图象（如图所示，横轴为电阻，纵轴为电流），已知图象经过点．下列说法正确的是（   ） A．电压 B．当时，电流 C．电阻每增大，电流就减小 D．若电流的取值范围是，则电阻的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A：将代入中，得， 解得，故该选项不合题意； B：函数解析式为，当时，，故该选项不合题意； C：设，则，不是定值，故该选项不合题意； D：由图像可知，随着的增大，减小，当时，；当时，； ∴当时，，故该选项符合题意． 故选：D ． 【跟踪专练2】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 【答案】2 【分析】根据题意设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出比例系数，确定函数解析式，再将代入解析式求出的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为． 由图象可知，函数图象经过点． 将代入，得． 解得． 函数关系式为． 当时，． 解得． 【跟踪专练3】如图①所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化(如图②)，射向光敏电阻的激光(恒定)被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（   ） 小贴士： 电路电流，电路总功率，其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．随增大而减小 C．当烟雾浓度增大时，电流表Ⓐ的示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 【答案】C 【分析】首先根据反比例函数图象为双曲线，判断光敏电阻阻值与光照强度的图象并非反比例函数图象；接着结合图象，光照强度增大时光敏电阻阻值减小的规律；再分析烟雾浓度增大的影响，烟雾浓度增大使光照强度减小，光敏电阻阻值变大，电路总电阻变大，依据欧姆定律判断出电路中电流变小，电流表的示数变小；最后根据光照强度增大时光敏电阻阻值减小，电路总电阻减小，结合电功率公式，判断出电源电压不变时，电路总功率随总电阻减小而增大． 【详解】解：反比例函数的图象为与坐标轴永不相交的双曲线，观察图②的曲线，与轴有交点，因此该图象不是反比例函数图象，A选项正确． 由图②的图象可知，当光照强度增大时，光敏电阻的阻值逐渐减小，B选项正确． 当烟雾浓度增大时，射向光敏电阻的激光被遮挡，光照强度减小，由图②可得光敏电阻的阻值变大，则总电阻变大．电源电压不变，根据电路电流，电路中的电流变小，即电流表的示数变小，因此C选项错误． 当光照强度增大时，光敏电阻的阻值减小，总电阻减小．电源电压不变，根据电路总功率分母减小，则总功率增大，D选项正确． 解答题 1．已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 【答案】(1)硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 (2)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数的性质． （1）由表格可推得：为定值，即当时，是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 是x的反比例函数， ∴硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为． （2）解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由如下： 当时，， ∵，， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值． 3．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 4．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 5．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 6．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了梯形的面积，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论； （2）由（1）知；求得，过点C作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， 轴，轴， 四边形的面积为，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知； ， ， 过点C作于H，则四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 7．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 8．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）根据反比例函数的解析式，确定，再利用待定系数法求一次函数的表达式； （2）根据图象的性质，确定第三象限内的函数值满足，第一象限内的函数值在时，符合题意； （3）根据题意，确定，再根据距离的意义，求解即可． 【详解】（1）解：把两点代入，得， ， 把代入一次函数表达式，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据题意，得或； （3）解：存在， 设直线与轴相交于点， 当时，， ， ， ， ， 或．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $