专题 2.2（1） 一元二次方程的解法（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法（含标准基础型、简单平移型、系数不为1型）和配方法步骤，构建从基础解法到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料以基础夯实与综合提升为特色，例题及变式选自多地期末真题，综合提升环节通过配方法判断正负性、求最值等题型，培养学生运算能力与推理意识。同步检测题量题型全面，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 2.2（1） 一元二次方程的解法（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】直接开平方法 1 【知识点二】配方法 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】直接开平方法解的条件 2 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 2 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3 三.题型精析（综合提升） 4 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 4 【题型 6】配方法的应用——求最值 5 四.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】直接开平方法 1、标准基础型 （1）：两个不相等实数根 ；（2）：两个相等实数根 （3）：无实数根. 2、简单平移型 把看成整体，直接开平方：得到，再移项求出. 3、系数不为1型 整体开方得：，分别解两个一元一次方程. 【特别提示】把一个一元二次方程化为两下一元一次方程，这样的方法叫“降次”. 【知识点二】配方法 一元二次方程，配方法一般步骤： （1）移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在左侧； （2）系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，化为形式； （3）配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）变形：左边写成完全平方式，右侧合并常数项； （5）开方：右侧非负则直接开平方，右侧为负则无实数根； （6）求解：解出两个一元一次方程的根，规范书写结果。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接开平方法解的条件 【例题1】（23-24九年级上·云南昭通·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D．无实数根 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则另一根是___________． 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（25-26七年级下·云南昆明·期中）求下列式子中的值： （1） （2） 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解方程： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【变式3】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 【例题5】（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 【变式1】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·河南新乡·期中），x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 【题型 6】配方法的应用——求最值 【例题6】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是4． （1）【类比运用】当时，求代数式的最小值． （2）【拓展应用】已知实数，满足，求代数式的最小值． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【变式3】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： （1）； （2）． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河北保定·三模）若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B．2 C． D．没有符合要求的值 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 12．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 13．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 15．（2026·河南周口·模拟预测）设方程的正根介于整数与之间，则____． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的最小值是______． 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解下列方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·重庆璧山·期末）解方程： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． （1）求的数量关系； （2）求代数式的最小值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏淮安·期末）阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用“配方法”将多项式进行因式分解：； （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（1） 一元二次方程的解法（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】直接开平方法 1 【知识点二】配方法 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】直接开平方法解的条件 2 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 3 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 5 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 7 三.题型精析（综合提升） 10 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 10 【题型 6】配方法的应用——求最值 12 四.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 23 一.知识梳理与解读 【知识点一】直接开平方法 1、标准基础型 （1）：两个不相等实数根 ；（2）：两个相等实数根 （3）：无实数根. 2、简单平移型 把看成整体，直接开平方：得到，再移项求出. 3、系数不为1型 整体开方得：，分别解两个一元一次方程. 【特别提示】把一个一元二次方程化为两下一元一次方程，这样的方法叫“降次”. 【知识点二】配方法 一元二次方程，配方法一般步骤： （1）移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在左侧； （2）系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，化为形式； （3）配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）变形：左边写成完全平方式，右侧合并常数项； （5）开方：右侧非负则直接开平方，右侧为负则无实数根； （6）求解：解出两个一元一次方程的根，规范书写结果。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接开平方法解的条件 【例题1】（23-24九年级上·云南昭通·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D．无实数根 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法即可，根据求一个数的平方根，这个数得是非负数，据此可得该方程无实数根，掌握概念是解题的关键． 解：， 移项得：， ∵， ∴方程无实数根， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 【变式2】（23-24九年级上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直接开平方法的条件得到，然后解不等式即可． 解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则另一根是___________． 【答案】 【分析】将代入方程即可求出的值，然后将代入方程后即可求出的值． 解：将代入一元二次方程，得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴另一根是， 故答案为：． 【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（25-26七年级下·云南昆明·期中）求下列式子中的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直接开平方法计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 解：（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用平方根的定义将原方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 解： 由平方根的意义，得 所以 ， 故选：C 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 解：（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）由完全平方公式得，再开方可得解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 解：（1）解：， 整理，得， 开方，得， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 解：， ， ， 即． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法； （2）先整理方程，再用因式分解法求解． 解：（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 因此 ，． （2）解： 移项整理得 因式分解得 因此 或 因此 ，． 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 【变式3】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】（1）第③步，方程两边未同时加上；（2）见分析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 解：（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 【例题5】（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 解：（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 【变式1】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·河南新乡·期中），x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 【答案】x为任意实数 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数需大于等于，对被开方数配方后判断其取值范围，即可得到的取值范围． 解：根据题意，得， ∵，且， ， ∴对任意实数，不等式恒成立， ∴为任意实数时，该函数在实数范围内有意义． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了作差法比较大小，配方法，平方的非负性，掌握作差后通过配方转化为完全平方和，利用非负性判断大小关系是解题的关键． 用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． 解： ． ，， ， ，即． 【题型 6】配方法的应用——求最值 【例题6】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是4． （1）【类比运用】当时，求代数式的最小值． （2）【拓展应用】已知实数，满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）利用配方法可得，再仿照题意求解即可； （2）根据题意可得，则可推出，根据求出x的取值范围，再根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，取得最小值，最小值为4； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴代数式的最小值为． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 【变式3】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： （1）； （2）． 【答案】（1）当时，多项式取得最大值为；（2）当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 解：（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河北保定·三模）若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B．2 C． D．没有符合要求的值 【答案】A 【分析】分式值为0需满足分子等于0，且分母不为0，据此计算即可． 解：∵ 分式的值为， ∴ 分子，且分母． 解方程，移项，得，化简得，解得或， 又∵ ，即， ∴ ． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 7．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据题意得关于a的方程为，解方程即可，注意舍去负值． 解：由题意得：， 配方得：， 即， ∴（舍去）， 即a的值为； 故选：C． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 9．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 10．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可． 解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即， ∴，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴能取到最大值． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 【答案】 解：， ∴， ∴， 解得：． 12．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】， 解： 或 ∴，． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 解：（1）， （2）． 15．（2026·河南周口·模拟预测）设方程的正根介于整数与之间，则____． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】通过配方法对代数式变形，再利用完全平方式的非负性即可求出的最小值． 解：解:对进行配方，即， 对任意实数，都有， 当时，取得最小值，即最小值为， 故答案为． 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________． 【答案】丁 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键． 依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤． 解：甲的步骤：此步骤为移项，正确； 乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确； 丙的步骤：此步骤为化简，正确； 丁的步骤 此步骤为求解 开平方，应得 当时，解得 当时，解得 所以方程的解应为， 丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误． 故答案为：丁． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）（2）， 解：（1）解：， 变形得：，即， 开方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·重庆璧山·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： ，； （2）解： ，． 21．（本小题满分10分）（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 解：（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． （1）求的数量关系； （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】（1）原方程的解为，，；（2）这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 解：（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏淮安·期末）阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用“配方法”将多项式进行因式分解：； （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形；理由如下： ∴， ∴， ∵ 故是等腰三角形． 【分析】（1）运用题目所给“配方法”解决问题即可； （2）可将原式变形为，然后配方为，由平方的非负性即可求解的值，验证其满足三角形三边关系定理即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $