4.4 两个三角形相似的判定（1） 课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦相似三角形判定，分层设计梯度清晰，从基础判定到综合应用，培养几何直观与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两角对应相等判定、简单图形识别|单选题1-3直接考查判定定理，填空题11-12强化基础条件补充，培养抽象能力| |中档|复杂图形相似、性质与判定结合|单选题6-8涉及多条件选择与图形转化，解答题17-18结合矩形、平行四边形，发展推理意识| |提升|跨知识综合应用、动态问题|单选题9-10融入等边三角形与圆，解答题19结合旋转与勾股定理，提升空间观念与创新意识|

4.4 两个三角形相似的判定（1） 课时练习 一、单选题 1.下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(   ) A. ∠A=∠A′，∠B=∠B′                                             B. ∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78° C. ∠A=∠B，∠B′=∠A′                                             D. ∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′ 2.已知△ABC如图所示，则下面四个三角形中与△ABC相似的是（   ） A.            B.             C.             D.  3.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(    ) A. 一定不相似                         B. 不一定相似                         C. 一定相似                         D. 不能确定 4.如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（   ） A. 2对                                       B. 3对                                       C. 4对                                       D. 5对 5.如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（   ）对． A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5 6.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（     ） A. （1）（2）                      B. （2）                      C. （1）（3）                      D. （1）（2）（3） 7.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD与点F，AD交PC与点G，则下列结论中错误的是(    ) A. △CGE∽△CBP                  B. △APD∽△PGD              C. △APG∽△BFP              D. △PCF∽△BCP 8.如图，在 中，高 相交于点 ，图中与 相似的三角形共有（    ） A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 9.已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（  ）对 A. 6                                           B. 5                                           C. 4                                           D. 3 10.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（   ） A. AE＞BE                      B. ＝                       C. ∠D＝ ∠AEC                      D. △ADE∽△CBE 二、填空题 11.如图，点 在 的边 上，请你添加一个条件，使得 ∽ ,这个条件可以是________. 12.如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°,若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC________，与△ADE________ 13.如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F ， 且CF＝1，则CE的长为________． 三、解答题 14.如图，已知 ，则 相似吗？说明理由。 15.如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD. 16.如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF． 17.如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F. （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长. 18.如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 19.如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝3PC； （3）若AB＝10，求PA的长． 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：相似三角形的判定 解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意； B.∠C=∠C’=90°,∠A=12°,∠B’=78°,则∠A=12°,所以∠A=∠A’,∠C=∠C’,则可断定△ABC∽△A’B’C’，不符合题意. C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似，符合题意； D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意． 故答案为：C． 分析：（1）用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′； （2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A’,∠C=∠C’，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′； （3）由已知条件只能说明△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似； （4）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A′∠B=∠B′，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′。 2. C 考点：相似三角形的判定 解：有图可知，AB=AC ，∠B=75° ∴∠C=75°，∠A=30° A三角形各角为75°，52.5°，52.5° B三角形各角的度数均为60° C三角形各角的度数为75°，30°，75° D三角形各角的度数为40°，70°，70° 只有C选项三角形各角度数与题干中三角形各角度数相等   故答案为：C 分析：根据相似三角形的判定条件，对每个选项分析判断即可。 3. C 考点：相似三角形的判定 解：∵180°-40°-60°=80°，180°-40°-80°=60°， ∴两个三角形的三内角都是，40°，60°，80°， ∴一定相似， 故答案为：C. 分析：根据三角形内角和定理求出每个三角形的第三角，由于有三个角分别相等，可见这两个三角形一定相似. 4. C 考点：相似三角形的判定 解：∵DE∥AC， ∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC， ∵∠1＝∠2， ∴△ADE∽△CAD， ∵DE∥AC， ∴∠2＝∠EDB， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠EDB， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAD， ∴△ABD∽△CBA， 故答案为：C． 分析：根据”两角对应相等，两三角形相似“可判断出图中的相似三角形共有4对。 5. C 考点：相似三角形的判定 解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3， ∴△ADE∽△ABC． ②∵∠3=∠2，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ADC． ③∵∠A=∠A，∠1=∠2， ∴△ADC∽△ABC． ④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE， ∴△CDE∽△BCD． 所以有4对． 故答案为：C 分析：注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。 6. C 考点：相似三角形的判定 解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C  ∴△ADE∽△ACB,故（1）正确； （2）因为,∠C=∠C,不能判断△ADE与△ACB相似，故（2）错误； （3）∵,∠C=∠C  ∴△ADE∽△ACB,故（3）正确。 故答案为：C. 分析：利用相似三角形的判定方法一一判断即可。 7. A 考点：相似三角形的判定 解： A 、∵∠GEC=∠A+∠B=2∠A， ∵∠CPB=∠CPF+∠BPF=∠A+∠BPF， ∵∠BPF=∠A+∠D>∠A， ∴∠CPB>2∠A， ∴∠CPB≠∠GEC， ∴ △CGE和△CBP 不相似，错误，符合题意； B、∵∠GPD=∠PAD，∠D公用，∴△APD∽△PGD ， 正确，不符合题意； C、∵∠A=∠B， ∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPF， ∠CPF=∠B， ∴∠APG=∠BFP， ∴△APG∽△BFP，正确，不符合题意； D、∵∠B=∠CPF，∠FCP=∠PCF，∴ △PCF∽△BCP ，正确，不符合题意； 故答案为；A. 分析：根据 ∠CPD=∠A=∠B，结合三角形的外角性质，推出对应角∠CPB和∠GEC不相等，判定A错误；根据两组对角分别相等可证∠CPB≠∠GEC，则B正确；根据∠A=∠B，结合三角形外角的性质可得∠APG=∠BFP，于是△APG∽△BFP，C正确；同样根据两组对角分别相等可证 △PCF∽△BCP ，则D正确. 8. C 考点：相似三角形的判定 解：∵高BD、CE相交于点F， ∴∠BEC=∠BDC=90°， ∵∠BFE=∠CFD， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA， ∴△FBE∽△ABD， 同理可得△FCD∽△ACE， ∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 故答案为：C． 分析：先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 9. B 考点：等边三角形的性质，相似三角形的判定 解：∵△ABC和△BDE是正三角形 ∴ ∴△ABC∽△EDB ∴ ∴△BDC∽△EFB ∵ ∴△EFB∽△AFD ∴△BDC∽△AFD ∵ ∴△BDF∽△BAD ∴图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，一共5对． 故答案为：B． 分析：根据两个等边三角形的三个角分别相等可证△ABC∽△EDB，根据两个角分别相等△BDC∽△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，据此判断即可. 10. D 考点：垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定 解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E， ∴AE＝BE， ＝ ，故A、B不符合题意； ∵∠AEC不是圆心角， ∴∠D≠ ∠AEC，故C不符合题意； ∵∠CEB＝∠AED，∠DAE＝∠BCE， ∴△ADE∽△CBE，故D符合题意. 故答案为：D. 分析：根据垂径定理可得AE＝BE，， 据此判断A、B；根据圆周角定理可知∠D=∠AOC≠ ∠AEC，从而判断C；根据两角分别相等可证△ADE∽△CBE，据此判断D. 二、填空题 11. ∠C=∠ABP（答案不唯一） 考点：相似三角形的判定 解：因为有公共角∠A，所以当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC(答案不唯一). 故答案为∠C＝∠ABP(答案不唯一). 分析：此题答案不唯一，根据两角对应相等两三角形相似可知，当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC. 12.相似；全等 考点：相似三角形的判定，旋转的性质 解：∵∠BAC＝80°，∠B＝40°， ∴∠C＝60°， ∵∠BAC＝∠DAE, ∠C＝∠E＝60°， ∴△ADE∽△ABC， ∵将图中的△ADE旋转(平移)， ∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似. 故答案为：相似；全等 分析：由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。 13. . 考点：平行四边形的性质，相似三角形的性质，相似三角形的判定 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD ， AD＝BC＝5， ∴△ABE∽△FCE ∴ ∴BE＝3CE ∵BC＝BE+CE＝5 ∴CE＝ 故答案为： . 分析：根据 ▱ABCD 的性质，得AB∥CD ， AD＝BC。故∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE.根据两角对应相等两三角形相似判定定理，所以△ABE∽△FCE。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即可列出比例式，即而求出CE的长度。 三、解答题 14. 解：相似.理由如下： ∵ ， ，且∠1=∠3， ∴ ， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. 考点：相似三角形的判定 分析：根据∠1=∠2证明∠BAC=∠DAE，根据∠1=∠3证明∠B=∠ADE，从而证明相似. 15. 解:∵AD=DB, ∴∠B=∠BAD, ∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE, ∴∠C=∠ADE, ∴△ABC∽△EAD. 考点：相似三角形的判定 分析：先根据等边对等角可得: ∠B=∠BAD,继而可得:∠C=∠ADE,利用两角相等可判定两三角形相似. 16. 解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC∽△DEF 考点：相似三角形的判定 分析：在三角形DEF中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠D的度数，即可根据三角形相似的判定定理求得△ABC∽△DEF。 17. （1）证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， . ∴ ， ∵ ， ∴ . ∴ ， ∴ . （2）解：∵ ， ∴ . ∵ ， 是 的中点， ∴ . ∴在 中， . 又∵ ， ∴ ， ∴ . 考点：勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质，相似三角形的判定 分析：（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； （2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 18. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC． ∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB． 又∵∠DAE＝∠F， ∴∠AEB＝∠F． ∴△ABE∽△ECF （2）解：∵△ABE∽△ECF， ∴ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8． ∴EC＝BC−BE＝8−2＝6． ∴ ． ∴FC＝ . 考点：平行四边形的性质，相似三角形的性质，相似三角形的判定 分析：（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC−BE＝8−2＝6，代入计算即可． 19. （1）证明：∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CAB＝∠CBA＝ （180°﹣120°）＝30°， ∴∠1+∠2＝30°， ∵∠APB＝150°， ∴∠2+∠3＝30°， ∴∠3＝∠1， ∵∠APB＝∠CPB， ∴△PAB∽△PBC． （2）证明：过点C作CD⊥AB于D． ∵△ABC中，AC＝BC， ∴BD＝ AB， 在Rt△CDB中，∠CBD＝30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵△PAB∽△PBC， ∴ ， ∴PA＝ PB，PB＝ PC， ∴PA＝ • PC＝3PC． （3）解：将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形， ∴∠4＝∠7＝60°，PP′＝PB＝BP′＝ PC， ∴∠5＝∠BPC﹣∠4＝150°﹣60°＝90°， 在Rt△PP′C中，∠5＝90°，PP′＝ PC， ∴tan∠6＝ ， ∴∠6＝60°， ∴∠6+∠7＝30°+60°＝90°， ∴P′C＝2PC， ∴在Rt△BCP′中， ， ， 由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ， ∴（2PC）2+（ PC）2＝（ ）2 ， ∴PC＝ ， ∴PA＝ ． 考点：等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质，相似三角形的判定 分析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）过点C作CD⊥AB于D．首先证明 ，由△PAB∽△PBC，推出 ，可得结论．（3）将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，在Rt△BCP′中， ， ，由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ，利用勾股定理构建方程，求出PC即可解决问题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $