4.3 两个三角形相似课时训练2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 围绕“两个三角形相似”，通过基础辨析、中档应用到综合探究的三阶分层设计，强化相似性质理解与推理能力，适配新授课知识巩固与思维进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似三角形性质（对应边、角）|选择/填空题直接考查比例式判断（如第1-3题），夯实概念理解| |中档应用|分类讨论与简单应用|含动点/多解问题（如第4题直角梯形动点相似、第5题分情况求AF），培养推理能力| |综合探究|新定义与跨知识综合|结合新定义“完美分割线”（第10题）及圆与相似综合证明（第12题），发展几何直观与创新意识|

4.3 两个三角形相似 课时训练 一、选择题 1．如图，则下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D．． 3．如图 所示， ， 则 的长为(　　) A．4 B． C．2 D．3 4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5． 如图， 在 中， ， 点 在 上且 ， 点 在 上， 连结 ．若 与 相似， 则 　 　 6．如图， 在矩形 中， 为 边上的动点， 当 与 相似时， 　 　. 三、解答题 7．如图，BC平分∠ABD，AB=4，BD=9．若△ABC∽△CBD，求BC的长． 8．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长. 9．如图，已知，，． （1）求的值； （2）若，求的长． 10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段所在的直线叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数． （2）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 11．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°．求： （1）∠AED和∠ADE的大小． （2）DE的长． 12．如图，、为的直径，连接、、、.点M在上，点N在上，且，. （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长。 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴AC2=AD×AB， ∴A、B、C三个选项均成立，不符合题意， 故答案为：D. 【分析】利用相似三角形的性质可得，再化简可得AC2=AD×AB，最后逐项分析判断即可. 2．【答案】D 【知识点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC∽△AED， ∴， ∴A不成立；C不成立； B：可得出 ，所以B不成立； D： 可得，所以D成立。 故答案为：D. 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即可得出答案。 3．【答案】A 【知识点】相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵AD=1，AB=2， ∴， ∴AC=4， 故答案为：A. 【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质得，然后代入AD、AB的值，即可求出AC的值. 4．【答案】C 【知识点】相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】 解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC， ∴∠A=180°﹣∠B=90°， ∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC， 即x：（8﹣x）=3：4， 解得：x=； ②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP， 即x：4=3：（8﹣x）， 解得：x=2或x=6． 综上可得：满足条件的点P的个数是3个， 故答案为：C． 【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，然后根据相似三角形对应边的比相等可得关于x的方程，解方程求出AP的长，即可求解． 5．【答案】5 或 【知识点】相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时 ∴，即 解得： 当△AEF∽△ACB时 ∴，即 解得：AF=5 综上所述，AF=5 或 故答案为：5 或 【分析】根据相似三角形性质分情况讨论：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时，根据相似比，代值计算即可求出答案. 6．【答案】1 或 4 或 2.5 【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点， ①当△ADP与△BCP相似但不全等时， ，即， 解得：DP=1或DP=4； ②当△ADP与△BCP相似且全等时， DP=CP=CD=2.5； 综上可得：当△ADP与△BCP相似时，DP的长为1或4或2.5. 故答案为：1或4或2.5. 【分析】由题意分两种情况，①当△ADP与△BCP相似但不全等时，可得比例式求解； ②当△ADP与△BCP相似且全等时，可得点P为CD的中点，根据线段中点的定义即可求解.综合两种情况即可求解. 7．【答案】解：∵ △ABC∽△CBD ， ∴， ∵AB=4，BD=9 ， ∴BC2=AB·BD=4×9=36， ∴BC=6， 【知识点】相似三角形的性质；角平分线的概念 【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可求解. 8．【答案】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 即的长度为5. 【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质 【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案. 9．【答案】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【知识点】相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）根据的值，然后代入AE的长求解即可． （1）∵ ∴ （2）∵， ∴． 10．【答案】（1）解：. ， ； （2）解：由已知可得， . 设，则， . ，即. ， . 【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）由等边对等角可得，利用相似三角形的性质可得， 再利用角的和差即可求解； （2）设BD=x，则AB=x+2，由题意知可得，据此求出x值，即得BD的长，再根据相似三角形的性质即可求解. 11．【答案】（1）解：由图和已知： ∠A=40°，∠C=35°， 由三角形内角和定理可算得∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-（40°＋35°） =105°， 又 △ABC∽△ADE， ∴∠AED=∠C=35°，∠ADE=∠B=105°. （2）解：由已知AE=6，EC=4， 得AC=AE+EC=10，又 BC=8， 由相似三角形的性质得， 即， 解之得. 【知识点】相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理先算得∠B，再由相似三角形的性质对应角相等可得∠AED和∠ADE的大小； （2）先由已知 AE=6，EC=4，算得AC，再由三角形相似的性质对应边成比例列比例式可算得DE的长. 12．【答案】（1）证明：、为的直径， ， 四边形为矩形， . ， ， ； （2）证明：延长交于点E，连接、. ， ∴根据垂径定理得，， . ，， ∴OM是中位线， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ； （3）解：设，则， ，， ， ， ∴， ， ， 解得x1=3，x2=-8， ， ， ， 在中，， 由（2）得，， ，， . 【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）先根据圆的性质证四边形ABCD是矩形，得∠ADC=90°，再根据得∠ADC=∠AMD=90°，从而DM⊥AC； （2）延长DM交于点E，连接BE，CE，由（1）有DM⊥AC，根据垂直定理得MD=ME，CD=CE，从而得∠DAC=∠CBE，接下来证OM是中位线，得出BE的长，从而得AN=BE，再利用矩形的性质得AD=BC，证出，得∠ADN=∠BCE，利用“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得∠BDE=∠BCE，最后得证∠ADN=∠ODM； （3）设ON=X，则AO=2+x，从而求出AM=3+x、AC=4+2x的长，利用相似三角形的性质得，然后列出关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求CD的长，最后由（2）得DN=CD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $