4.5.3 函数模型的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过“基础过关练”与“能力提升练”分层设计，以指数、对数函数模型为核心，从单一应用到综合建模，强化数学建模与数据分析能力，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|指数/对数函数模型直接应用、数据拟合|结合温度冷却、人口增长等情境，设置选择、解答题，强化公式应用与模型识别，培养模型意识| |能力提升练|多模型综合应用、参数优化与实际问题解决|以生产利润、血药浓度等复杂情境为载体，设计含参数解答题，深化推理运算与数据分析，发展应用意识|

4.5.3　函数模型的应用 基础过关练 题组一　利用指数函数、对数函数模型解决问题 1.(2026北京顺义期中)点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL=15lg ,则传播距离从6 m变化到30 m时,衰减量的增加值约为(参考数据:lg 3≈0.5,lg 5≈0.7)(　　) A.21 dB　　B.20 dB　　C.18 dB　　D.14 dB 2.(2026江苏南京七校联合体期中)物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1℃,环境温度为θ0℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.已知环境温度为20 ℃,一块面包从温度为140 ℃的烤箱里拿出,经过10分钟温度降至80 ℃,那么温度降至35 ℃大约再经过(　　) A.10分钟　　B.20分钟　　 C.30分钟　　D.40分钟 3.(2026四川成都石室中学期中)DeepSeek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它以神经网络为出发点.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时,学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)(　　) A.4　　B.5　　C.6　　D.7 4.(多选题)(2026海南创新中学协作校月考)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率r满足r=t-1ln ,其中t为经过的时间,M0为t=0时的人口总数(单位:万),Mt为经过t年后的人口总数(单位:万).给出三市2025年年底人口总数及预计年平均增长率的情况,如表: 2025年年底人口总数 年平均增长率 A市 2M [0.02,0.03] B市 1.5M [0.04,0.05] C市 3M 0.03 利用上表数据,设A,B,C三市在2035年年底人口总数的估计值分别为MA,MB,MC,则(　　) A.MA>MC　　B.MB>MC C.MC=3Me0.3　　D.MA≤MC 5.(多选题)(2026陕西安康部分校期中联考)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它所到之处,树木枯萎、花草凋零.经测算,薇甘菊的侵害面积S(单位:hm2)与自开始受侵害起的年数t满足关系式S=S0at,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.某热带地区最初受到薇甘菊侵害的面积为2 000 hm2,一年后受侵害的面积为2 114 hm2,则(　　) A.a=1.077 B.当t=15.5时,S=S0· C.必然存在正数b,使得b2=a31 D.当t为整数时,薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数的增大而增大 6.(2026重庆巴蜀中学期中)某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇,决定开发生产一大型电子设备,该设备分为A,B两种型号,两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A型号该设备的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1亿元,公司获得毛收入0.5亿元;生产B型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示. (1)分别求出生产A,B两种型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式; (2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产A,B两种型号该设备,设投入x亿元生产A型号,用f(x)表示公司所获净利润,当x为多少时,可以获得最大净利润?并求出最大净利润.(净利润=A型号的毛收入+B型号的毛收入-研发耗费资金) 题组二　拟合函数模型解决问题 7.(2025河南新乡月考)在一次数学试验中,小胡同学运用图形计算器采集到如下数据: x 3 5 7 9 11 13 y 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中,a,b为常数,则最能反映x,y之间的函数关系的是(　　) A.y=ax+b　　B.y=ax+b C.y=ax2+b　　D.y=logax+b 8.(2026广东六校联合学业质量检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t·9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3,4天的舆论场指数整理成如下表格: 天数 1 2 3 4 舆论场指数 12 48 156 480 为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①y=ax+b;②y=plogqx+g;③y=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第6天的舆论场指数; (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 能力提升练 题组　利用指数、对数函数模型解决实际问题 1.(2025上海松江期末)根据经济学理论,企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响.若用Q表示产量,L表示劳动投入,K表示资本投入,A表示技术水平,则它们的关系可以表示为Q=A,其中A>0,K>0,L>0,α>1,β>1.当A不变,K与L均变为原来的2倍时,有关于Q的两个命题: ①存在α,β∈(1,2),使得Q变为原来的2倍; ②若2(α2+β2)=α2β2,则Q最多可变为原来的2倍. 下列说法正确的是(　　) A.①和②都是真命题　　 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题　　 D.①和②都是假命题 2.(2026黑龙江哈尔滨六中月考)已知某种放射性元素在有机体体液内的浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k·at(k,a为大于0的常数且a≠1).当c=时,t=10;当c=时,t=20.当这种有机体体液内该种放射性元素的浓度为 Bq/L时,大约需要(参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32)(　　) A.43年　　B.53年　　 C.73年　　D.120年 3.(2026福建厦门外国语学校期中)某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射1 mL该药品,从注射时间起血药浓度y(单位:μg/mL)与该药品在体内的时间x(单位:小时)的关系如下: x 2 3 4 6 7 9 y 0.67 1.2 2 6 5.5 4.5 已知当0≤x≤6时,y与x的关系服从下列三个函数模型中的一个:①y=ax2-6ax,②y=klog2x+b(k<0),③y=-2.当6<x≤18时,y与x的关系满足y=kx+b.当血药浓度不低于2 μg/mL时才能起到有效治疗的作用,每次注射该药品不超过2 mL. (1)选择合适的函数模型,作为0≤x≤6时y与x的关系式,并说明理由; (2)求出当0≤x≤18时,y与x的关系式,并计算注射1 mL该药品时能达到的有效治疗时长; (3)若注射t mL该药品,则从注射时间起血药浓度为ty,若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1 mL该药品,10小时之后又注射了a mL该药品,要使随后的8小时内该药品能够持续有效治疗,求a的最小值. 4.(2026四川成都石室中学期中)物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述.设物体的初始温度为T0(单位:℃),经过一段时间t(单位:分钟)后的温度为T(单位:℃),则T-Tc=(T0-Tc)·at,其中Tc为环境温度(单位:℃),a为参数.某日室温为20 ℃,上午8时小王使用电热养生壶烧水(假设加热时水温随时间的变化为一次函数,且初始温度与室温一致),8分钟后水温达到100 ℃,8时18分时,壶中热水自然冷却到60 ℃. (1)求8时起壶中水温T(单位:℃)关于时间t(单位:分钟)的函数T=f(t); (2)若当日小王在水沸腾(水温达到100 ℃)时恰好有事出门,于是将养生壶设定为保温状态,已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值50 ℃时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值50 ℃时,开始加热至80 ℃后停止,加热速度与正常烧水一致,则养生壶(在保温状态下)多长时间后开始第二次加热?(结果保留整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 5.(2025江苏扬中高级中学月考)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①当游玩时长t∈(0,3]时,为健康时间,玩家在这段时间内获得的累计经验值E(单位:EXP)与游玩时长t(单位:小时)满足关系式E=t2+20t+20a(t>0);②当游玩时长t∈(3,5]时,为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累计经验值不变);③当游玩时长t∈(5,+∞)时,为不健康时间,累计经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比,正比例系数为50. (1)当a=2时,写出累计经验值E与游玩时长t的函数关系式,并求出游玩6小时的累计经验值; (2)该游戏厂商把累计经验值E与游玩时长t的比值称为“玩家愉悦指数”,记为H(t). ①若a=,当游玩时长在5小时以内(含5小时)时,求“玩家愉悦指数”的最小值; ②若a>0,该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围. 答案 4.5.3　函数模型的应用 基础过关练 1.A　当r=6时,ΔL1=15lg , 当r=30时,ΔL2=15lg , 所以ΔL2-ΔL1=15lg -lg =15lg=30lg 5≈30×0.7=21. 2.B　由已知得θ0=20,θ1=140,θ=80,t=10, 代入θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt可得80=20+(140-20)e-10k,则e10k=2, 设再经过t1分钟,温度可由80 ℃降为35 ℃,则35=20+(80-20), 即=4=22=e20k,即t1=20. 故再经过20分钟,面包的温度降为35 ℃. 3.C　由已知得L0=0.6,G0=20,代入L=L0,得L=0.6,依题意得0.3=,则D=, 则L=0.6×, 令L=0.6×<0.4, 得G>20lo=10(log23-1)=10≈10×=5.9, 所以所需的训练迭代轮数至少为6. 4.BCD　由r=t-1ln ,得rt=ln ,所以=ert,所以Mt=M0ert.由题意得t=10,所以Mt=M0e10r. 设A,B,C三市的人口年平均增长率分别为r1,r2,r3,则r1∈[0.02,0.03],r2∈[0.04,0.05],r3=0.03. 对于A,D,==,因为r1-r3≤0,所以≤,故A错误,D正确. 对于B,==,因为r2-r3>0,所以>,故B正确. 对于C,MC=3M=3Me0.3,故C正确. 5.BCD　当t=0时,S=S0·a0=S0=2 000,当t=1时,S=S0·a1=S0a=2 114,则a=1.057,因此A错误; 当t=15.5时,S=S0·=S0·,因此B正确; 当t=15.5时,at=,由正分数指数幂的定义,必然存在正数b,使得b2=a31,此时正数b=,因此C正确; 当t为整数时,因为a>1,所以由指数函数的单调性知薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数的增大而增大,因此D正确. 6.解析　(1)由已知可设生产A型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式为y=mx(m≠0),则0.5=m×1,得m=0.5,故y=(x>0). 将(1,3),(4,6)代入y=kxa, 得解得 故生产B型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式为y=3(x>0). (2)由题意得f(x)=+3-2, 令t=,则x=20-t2(0<t<), 则f(x)可转化为g(t)=+3t-2=-t2+3t+8(0<t<), 当t=3时,g(t)max=12.5,即当x=11时,净利润最大,最大净利润为12.5亿元. 7.B　根据题表中数据可知,自变量的变化量相同时,函数值增长越来越快,符合指数函数的增长规律,故B符合. 8.解析　(1)因为舆论场指数的增长速度越来越快,所以应该选择模型③来刻画数据. 由题意得 则(m·n2+s)-(m·n+s)=36⇒mn(n-1)=36, 且(m·n3+s)-(m·n2+s)=156-48⇒mn2(n-1)=108, 所以=,得n=3, 将n=3代入mn(n-1)=36,可得m=6. 将m=6,n=3代入m·n+s=12,可得s=-6, 所以函数解析式为y=6·3x-6. 令x=4,得y=6×34-6=480,满足题意. 当x=6时,y=6×36-6=4 368,即预测第6天的舆论场指数为4 368. (2)因为本次舆情不是严重的,所以6·3x-6≤t·9x在x≥1时恒成立. 所以t≥6-=6-在x≥1时恒成立. 设u=,x≥1,则u∈. 易知y=-u2+u在上单调递增,所以=-+=. 因此t≥6×=,故t的最小值为. 能力提升练 1.C　在Q=A中,当A不变,K与L均变为原来的2倍时,Q'==A·. 对于①,若Q变为原来的2倍,则=2,所以+=1.当1<α<2,1<β<2时,<<1,<<1,所以1<+<2,所以+=1无解,即不存在α,β∈(1,2),使得Q变为原来的2倍,故①为假命题; 对于②,由2(α2+β2)=α2β2,得2=1,所以1=2=+≥,所以+≤1,当且仅当=,即α=β=2时取等号,所以≤2,所以Q最多可变为原来的2倍,故②为真命题. 2.A　由题意得解得所以c=×, 令c=,得=×,即=, 两边取对数得=lo=log220=2+log25≈2+2.32=4.32,所以t≈43.2, 即这种有机体体液内该种放射性元素的浓度为 Bq/L时,大约需要43年. 3.解析　(1)选择模型③,理由如下: 对于①y=ax2-6ax,当x=6时,y=0,与表格中数据不符,因此不符合题意. 对于②y=klog2x+b(k<0),易知其在定义域内单调递减,不符合题意. 对于③y=-2,代入(4,2)和(6,6),得解得 所以y=-2,经检验,符合题意,故选③. (2)当6<x≤18时,将(7,5.5),(9,4.5)代入y=kx+b, 得解得 所以y= 当0≤x≤6时,令-2≥2,则4≤x≤6; 当6<x≤18时,令9-≥2,则6<x≤14.又14-4=10,所以注射1 mL该药品时能达到的有效治疗时长为10小时. (3)①设从第一次注射起,经x(10≤x≤16)小时后,血药浓度为g(x) μg/mL, 则g(x)=9-+a=+-2a, 由10≤x≤16得18-x>0,故+-2a≥2-2a=4-2a, 当且仅当=,即x=18-4时,等号成立. 由得3-2≤a≤2. ②设从第一次注射起,经x(16≤x≤18)小时后,血药浓度为h(x) μg/mL,则h(x)=9-+a=-·x+14a+9,易知其为单调递减函数. 所以h(x)的最小值为h(18)=5a,由得0.4≤a≤2. 综上,0.4≤a≤2. 故要使随后的8小时内该药品能够持续有效治疗,则a的最小值为0.4. 4.解析　(1)当0≤t≤8时,设T=kt+20,将t=8,T=100代入,解得k=10,则T=10t+20. 将T=60,Tc=20,T0=100,t=10代入T-Tc=(T0-Tc)·at,得a=, 所以T=f(t)= (2)从100 ℃降温至50 ℃,则50-20=(100-20)·,得t=10lo=10log2=10×(3-log23)=10×≈14,故经过14分钟后,养生壶(在保温状态下)开始第一次加热. 从50 ℃加热至80 ℃需要=3分钟. 从80 ℃降温至50 ℃,则50-20=(80-20)×,得t=10.故14+3+10=27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热. 5.解析　由题意可得,当0<t≤3时,E=t2+20t+20a, 当t=3时,E=32+20×3+20a=69+20a; 当3<t≤5时,E=69+20a; 当t>5时,E=69+20a-50(t-5)=-50t+20a+319. 综上,E= (1)若a=2,则E= 令t=6,得E=359-50×6=59,即游玩6小时的累计经验值为59 EXP. (2)①当0<t≤3时,H(t)=t++20=t++20≥2+20=25,当且仅当t=,即t=时,等号成立. 当3<t≤5时,H(t)==,此时H(t)单调递减,所以H(t)min=H(5)=. 因为<25,所以当游玩时长为5小时时,“玩家愉悦指数”取得最小值,为. ②由题意得,当0<t≤3时,H(t)=t++20≥24恒成立,即t2-4t+20a≥0对任意的t∈(0,3]恒成立. 因为y=t2-4t+20a的图象开口向上,对称轴方程为t=2, 所以当t=2时,y=t2-4t+20a取得最小值,为20a-4, 所以20a-4≥0,解得a≥, 所以实数a的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $