4.5.1 函数的零点与方程的解说课稿-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的零点与方程的解”，核心知识点包括函数零点概念、方程根与函数零点及图象交点的等价关系、零点存在性定理。课堂通过“lnx+2x-6=0无法代数求解”的情境导入，上承函数概念与性质，下启二分法，搭建函数与方程思想的学习支架。 特色在于情境驱动与探究式教学，用几何画板动态演示连续曲线穿越x轴，结合反例辨析（如f(x)=x²-1在[-2,2]）突破定理条件理解难点。发展数学抽象、逻辑推理素养，帮助学生形成数形结合思维，为教师提供清晰教学流程与重难点解决策略。

4.5.1 函数的零点与方程的解 说课稿 一、说教材 （一）教材的地位与作用 “函数的零点与方程的解”是人教A版《普通高中教科书·数学·必修第一册》第四章“指数函数与对数函数”中§4.5“函数的应用（二）”的第一课时。本节内容上承函数的概念、图象与基本性质（单调性、奇偶性、最值），以及指数、对数与基本初等函数的图象与性质；下启§4.5.2“用二分法求方程的近似解”。 本节的核心是用“函数观点”看方程，将求方程f(x)=0的实数根转化为研究函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标是“函数与方程”思想的集中体现，也是数形结合思想的典型载体，为后续学习导数、函数与不等式等内容奠定了重要的思想基础。 （二）教学目标 依据要求，结合本节内容，确定以下教学目标： 1. 通过具体方程求解的现实问题情境，经历函数零点概念的形成过程，理解函数零点的定义，体会“方程的根、函数零点、图象与x轴交点”三者之间的等价关系，发展数学抽象与直观想象素养。 2. 经历“观察—猜想—验证—概括”的探究过程，理解并会运用函数零点存在性定理判断零点是否存在，体会“由特殊到一般”的归纳思想，发展逻辑推理素养。 3. 能借助函数的单调性与零点存在性定理，判断简单函数零点的个数并求零点的近似值，体会用函数方法研究方程问题的优越性，发展数学运算与数学建模素养。 （三）教学重难点 教学重点：函数零点的概念；方程的根、函数零点与图象交点三者之间的关系；函数零点存在性定理的理解与应用。 教学难点：对零点存在性定理中“连续”与“f(a)·f(b)<0”两个条件的准确理解，特别是定理只保证“至少一个”零点而不保证“唯一”，以及当f(a)·f(b)>0时函数仍可能有零点；判断函数零点个数的方法。 二、说学情 （一）知识基础 学生在此前已学习了函数的概念、函数的图象与基本性质（单调性、奇偶性、最值），掌握了指数、对数与幂函数等基本初等函数的图象与性质，能够从图象上直观判断曲线与x轴是否有交点；对一元二次方程、指数方程、对数方程等的代数解法已有一定基础。但“用函数的观点认识和研究方程”对学生而言仍是一种新的认识角度。 （二）认知特点 高一学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段，具备初步的数形结合意识，但对“等价转化”思想的运用尚不熟练；在接触定理时，容易忽视定理成立的前提条件，对定理的结论（尤其是“至少一个”与“唯一”的区别）容易产生误解。因此教学中需借助图象直观，通过正反例对比，引导学生严谨地理解定理。 三、说教法学法 教法：采用“情境—问题驱动”教学法与数形结合教学法，将启发式讲授与探究式学习相结合。以“无法用初等方法精确求解的方程”为切入点制造认知冲突，引导学生从图象角度重新认识方程，自然引出函数零点概念；借助信息技术（如几何画板）动态演示连续曲线穿越x轴的过程，帮助学生直观理解零点存在性定理。 学法：倡导自主探究、合作交流与归纳概括。引导学生经历“观察特例—提出猜想—验证辨析—抽象概括”的学习过程，在举例、作图、辨析反例的活动中主动构建概念与定理，培养严谨的逻辑思维习惯。 四、说教学过程 本节教学按“创设情境—概念建构—探究定理—巩固应用—归纳小结”五个环节展开。 环节一 创设情境，引入新课 问题：求方程 ln x + 2x − 6 = 0 的实数根。 学生尝试用代数方法求解，发现难以直接求出精确解。教师适时引导：能否换一个角度，借助函数来研究这个方程？ 【设计意图】以一道“看似简单却无法用初等代数方法精确求解”的方程制造认知冲突，激发学生探究欲望，自然引出“用函数观点研究方程”的必要性，体现“函数与方程”的思想。 【师生活动】学生尝试求解受阻，产生困惑；教师点拨转向函数图象，明确本节的研究方向。 环节二 概念建构，揭示本质 探究：方程 f(x)=0 的实数根与函数 y=f(x) 的图象有怎样的关系？ 结合二次函数等具体实例，引导学生观察：方程 f(x)=0 的实数根，就是函数 y=f(x) 图象与x轴交点的横坐标。进而给出定义： 定义：对于函数 y=f(x)，使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点。 由此得到三个等价关系： 表述 含义 方程 f(x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有公共点 ⇔ 函数 y=f(x) 有零点 强调：函数的零点是使函数值为0的自变量 x 的值（一个实数），而不是一个点或坐标。 【设计意图】通过具体例子由特殊到一般地抽象出概念，揭示“方程的根、图象与x轴交点、函数零点”三者的内在统一，落实数学抽象与直观想象素养。 【师生活动】学生举例（如二次函数零点），教师板书等价关系，并纠正“零点是一个点”的常见误解。 环节三 探究定理，深化理解 问题：如何判断函数 f(x)=ln x + 2x − 6 在某一区间内是否存在零点？ 引导学生观察函数 f(x)=ln x + 2x − 6 在区间 [2,3] 上的图象：f(2)=ln 2 − 2 < 0，f(3)=ln 3 > 0，曲线在 [2,3] 上连续且从x轴下方穿到上方，故在 (2,3) 内必与x轴相交。 函数零点存在性定理：如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0，那么函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 辨析与突破难点： ① 条件“图象连续”与“f(a)·f(b)<0”缺一不可； ② f(a)·f(b)<0 只能保证 (a,b) 内“至少有一个”零点，不能保证唯一； ③ 当 f(a)·f(b)>0 时，函数也可能有零点，例如偶函数 f(x)=x²−1 在 [−2,2] 上 f(−2)·f(2)>0，却有两个零点 ±1。 【设计意图】让学生经历“观察—猜想—概括”的定理形成过程；借助动态演示与反例对比，突破对条件与结论（尤其“至少一个”与“唯一”的区分）的理解难点，培养逻辑推理的严谨性。 【师生活动】学生观察图象归纳规律，教师用几何画板动态演示连续曲线穿越x轴，并出示反例深化对定理条件的认识。 环节四 巩固应用，内化提升 例1 判断函数 f(x)=ln x + 2x − 6 是否有零点，并求其零点个数。 解：f(2)=ln 2 + 4 − 6 = ln 2 − 2 < 0，f(3)=ln 3 + 6 − 6 = ln 3 > 0，故 f(2)·f(3)<0；又函数 y=ln x 与 y=2x−6 在 (0,+∞) 上均单调递增，所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增且连续，从而在 (2,3) 内有且仅有一个零点。即 f(x) 有且仅有一个零点。 探究：如何求 f(x)=ln x + 2x − 6 零点的近似值？（将区间 (2,3) 逐步缩小，为下一节“二分法”埋下伏笔。） 练习：判断下列函数在给定区间上是否存在零点，并说明理由：（1）f(x)=x³−x−1 在 [1,2] 上；（2）f(x)=2x − 2 在 [0,1] 上。 【设计意图】通过例题巩固概念与定理，训练规范的解题表达；例1结合单调性说明零点唯一性，探究环节渗透“逐步逼近”思想，承上启下，为二分法作铺垫。 【师生活动】学生板演例1与练习，教师巡视指导并点评，强调必须检验定理条件（连续、端点异号）后再下结论。 环节五 归纳小结，布置作业 小结：（1）函数零点概念——使 f(x)=0 的实数 x；（2）三个等价关系——方程有根 ⇔ 图象有交点 ⇔ 函数有零点；（3）零点存在性定理——条件（连续、f(a)·f(b)<0）与结论（(a,b)内至少一个零点）。 口诀记忆：零点就是方程根，数形结合记心间；端点异号连续线，区间之内必有零。 作业：完成课本对应习题；思考题：若 f(a)·f(b)>0，函数 y=f(x) 是否一定没有零点？请举例说明。（为下节课二分法的“端点异号”条件作对比铺垫。） 【设计意图】梳理知识脉络，强化重点、澄清易错点；通过思考题引导学生自主反思定理条件，并为下一课时“二分法”作好衔接。 【师生活动】学生自主归纳小结，教师补充完善知识网络；布置分层作业，兼顾巩固与拓展。 五、说板书设计 板书力求条理清晰、主次分明，突出概念与定理的结构，便于学生记笔记与回顾。 学科网（北京）股份有限公司 $