第一章集合章节测试-2026年暑假模拟检测新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合章节强化测试，覆盖集合概念、运算及应用，含单选、多选、解答题，创新题型如“差倍集”及容斥原理应用题，适配单元复习，提升抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合关系、子集个数、韦恩图|第7题社团人数考容斥原理，第8题新定义运算| |填空题|3题15分|补集、参数取值|第14题结合集合关系求参数| |解答题|5题77分|集合元素问题、新定义“差倍集”|第19题“差倍集”培养创新意识，分层设问|

集合章节测试 人教A版·强化版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 2．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 3．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 4．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 5．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 6．已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 7．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据容斥原理进行求解即可. 【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 8．已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 【答案】ABD 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 10．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 11．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 13．设集合，，则满足的实数m的值所组成的集合为__________. 【答案】 【分析】化简集合A，分和进行讨论可得m的值所组成的集合. 【详解】，又， 当时，无解，故，满足条件； 若，则或，得或， 故满足条件的实数. 故答案为：. 14．已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述， 或． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 16．(15分)设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 17．（15分）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 18．（17分）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用并集的概念和运算法则计算求出，先求出，再利用交集的运算法则计算； （2）利用已知条件得出，，进而列不等式求解． 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 19．（17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【答案】(1) (2)2或10 【分析】（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合； （2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的，再根据中恰好有两个元素的条件，确定中恰好有两个元素的条件，确定k的取值. 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $集合章节测试 人教A版·强化版 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：集合 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A=-20,13B=x,y1x∈A,y∈A则B的元素个数为（) A.16 B.12 C.8 D.4 2给出下列5个关系：O2eR,②3E乙，@0EN,@4EN,⑤m2Q,其中正确命题的 数为() A.4 B.2 C.3 D.5 3.已知集合A={x|ax=2,a∈R,B={-1,1,若ACB,则所有a的取值构成的集合为() A.{-2 B.-2,2 C.{0,2 D.-2,0,2 4.集合A=x∈Z1<x<4到的真子集个数为（) 1/8 A.2 B.3 C.7 D.15 5.已知集合A=-1,0,1,2,4,B={0,1,3,则如图所示的阴影部分表示的集合为() B R A.{-2,4 B.{0,1,2 c.-1,2,4 D.-1,0,1 6.已知集合A=x-2≤x≤10'B=x1-m≤x<1+m若BnGA)=②，则实数m的取值范国为 () A.m≤3 B.m≤9 C.m≤3或m≤9D.3≤m≤9 7.某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编 程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的 有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为() A.8 B.7 C.6 D.5 8.已知。∈R用CA表示非空集合A中元素个数，定义A·B=CA-CB集合 A=xx2-1=0B=xaX+3xX2+ax+2=0儿，若A·B=1则α的可能的取值有（个 218 A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列四个命题中正确的是() A由g+ba,b∈R所确定的实数袋合为-2,02 a b 2x+4>0, B.同时满足1+x之2x-1 的整数解的集合为-1,0,1,2 c.与集合相等的是{2,5,4,2 D.A=乙中含有四个元素 10.已知集合A=xX2-3x+2=0B=xax-2=0rAUB=A:由实数a组成集合C,则下列选项 中正确的是() A.集合C的所有非空真子集个数是2B.集合C的所有非空真子集个数是6 C.集合C的所有子集个数是4 D.集合C的所有子集个数是8 I1.定义集合A与B的运算：A~B=XXER:且xAUBII A.B=XX∈R:且xAn B)若 318 A={x-1<x≤4，B={x0≤x<7,则() A.A·B=xx≤-1或x≥7 B.A。B={x|x<0或x>4) C.AcRB=x4≤x≤7 D.(CAB=xx≤4或x≥7 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 卫.已加金华u=23,45”类合A=d-1,a2+小若2∈ceA,则g- 1B.设集合A=XX+x-6=0'B=(Xmx+1=0},则满足B至A的实数m的值所组成的集合为 14.已知集合A=XX+px+q=0lB=xgX2+px+1=0同时满足AnB≠⑦：AnCRB={-2 则AUB= 418 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知集合A=xaX+2x+1=0,Q∈R,x∈R (1)若1∈A,求a的值： (2)若A中只有一个元素，求Q的取值范围： (3)若A中至多有一个元素，求Q的取值范围， 16.(15分设集合A=x-1≤x+1≤6rB=xm-1<x<2m+1川 (1)当x∈Z时，求A的所有子集中的元素之和： (2)若A2B,求m的取值范围. 5/8 17.(15分)已知集合A=x2a-1<x<a+1B=x0≤x≤1 (1)在①a=-1,②a=0,③a=1这三个条件中选择一个条件，求AUB: (②)若AOCRB=A,求实数a的取值范围. 6/8 18.(17分)已知集合A=x|-3<x≤4，集合B={x1-k≤x≤3k+1. (I)当k=2时，求AUB'(CRAB (2)若AUB=A且AnB≠O,求k的取值范围. 7/8 19.(17分)设集合P是正整数集N'的非空子集，对任意m,n∈P(m>n,定义运算fm,n=m-2n, 若所有这样的运算结果构成的集合记为QP,则称QP为集合P的“差倍集”. (1)当P=2,3,5时，写出集合P的差倍集QP: (②设集合P=1,4,k,k∈N,若其差倍集QP中恰好有两个元素，求所有满足条件的k的值： 8/8