第四章 一次函数解答题专练：夯基关 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，通过基础计算、概念理解及实际应用题型，系统构建"概念-方法-应用"逻辑链，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|1,2,5|解析式求解、新定义理解、交点问题|从一次函数定义出发，通过待定系数法建立解析式，结合图象性质解决不等式及交点问题| |实际问题建模|3,4,7,8|图表数据转化、行程与电量问题|以实际情境为载体，将物理量关系抽象为一次函数模型，培养数据意识与应用能力| |综合拓展|6|分段函数与方案选择|整合分段计费场景，通过分类讨论构建函数关系，提升逻辑推理与决策能力|

解答题专练：夯基关 1．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，1）和（0，﹣3）． （1）求这个函数的解析式； （2）画出此一次函数的图象； （3）当y＞0时，直接写出x的取值范围． 2．定义：关于x的函数y1＝ax+b与为“孪生函数”（a≠0）． （1）如果关于x的函数y1＝（m﹣1）x+n与y2＝﹣2x+2为“孪生函数”，求m，n的值． （2）如图，已知过点C（0，5）的“孪生函数”图象与x轴围成的△ABC的面积是25，求满足条件的孪生函数． 3．在测量液体密度的实验中，小华同学测得某液体和烧杯的总质量m（g）与液体体积积V（cm3）之间的关系如图所示． （1）求m关于V的函数解析式； （2）求空烧杯的质量． 4．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：cm），装置内液体体积为V（单位：ml）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：cm） 装置内液体体积V（单位：ml） 第1次实验 4 90 第2次实验 5 100 若探针粗细忽略不计，已知V（ml）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为10cm时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 5．直线y＝kx与直线y＝﹣x+b交于点P（1，2）． （1）求k，b的值； （2）若y＝﹣x+b与x轴的交点为A，点B为x轴上的点，且S△ABP＝5，求点B的坐标． 6．某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． （1）请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 　 　 170 方式二收费/元 50 　 　 （2）设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为y1（元），y2（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用为y1（元），y2（元）的函数关系式； （3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 7．人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量y（单位：%）是奔跑时间x（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）本次训练中，当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了多少分钟？ 8．两位同学去某景区游览，甲乘观光车从A景点出发，沿景区公路（如图1）去C景点，车速为25km/h，同时，乙骑电动车从B景点出发，比甲迟0.2h到达C景点，设甲行驶的时间为t（h），甲和乙离A景点的路程分别为s1，s2（km），s1，s2与t之间的函数图象如图2所示． （1）求乙骑车离A景点的路程s2与t之间的函数关系式； （2）当甲追上乙时，求t的值． 答案解析 1．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，1）和（0，﹣3）． （1）求这个函数的解析式； （2）画出此一次函数的图象； （3）当y＞0时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣2x﹣3； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，1）和（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式为y＝﹣2x﹣3； （2）如图， ； （3）y＞0时，﹣2x﹣3＞0， ﹣2x＞3， ． 2．定义：关于x的函数y1＝ax+b与为“孪生函数”（a≠0）． （1）如果关于x的函数y1＝（m﹣1）x+n与y2＝﹣2x+2为“孪生函数”，求m，n的值． （2）如图，已知过点C（0，5）的“孪生函数”图象与x轴围成的△ABC的面积是25，求满足条件的孪生函数． 【答案】（1），n＝2； （2）过点C的孪生函数为y＝x+5与y＝﹣x+5． 【解答】解：（1）由新定义可知， 解得：； （2）设过点C的孪生函数为y＝ax+5与， 将y＝0代入y＝ax+5得：ax+5＝0， 解得：， 将y＝0代入得：， 解得：x＝5a， ∴， 由条件可知OC＝5， ∴， ∴， ∴或， ∴a＝1或﹣1， ∴过点C的孪生函数为y＝x+5与y＝﹣x+5． 3．在测量液体密度的实验中，小华同学测得某液体和烧杯的总质量m（g）与液体体积积V（cm3）之间的关系如图所示． （1）求m关于V的函数解析式； （2）求空烧杯的质量． 【答案】（1）m＝0.7V+154， （2）空烧杯的质量为154g． 【解答】解：（1）由图象可得：液体和烧杯的总质量m（g）与液体的体积V（cm3）为一次函数关系， 设m＝kV+b（k≠0）， 将将（20，168），（120，238）代入解析式得：， 解得：， ∴m＝0.7V+154， （2）由题意，结合（1）令v＝0，则m＝0.7×0+154（g）， 答：空烧杯的质量为154g． 4．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：cm），装置内液体体积为V（单位：ml）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：cm） 装置内液体体积V（单位：ml） 第1次实验 4 90 第2次实验 5 100 若探针粗细忽略不计，已知V（ml）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为10cm时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】（1）V＝10x+50； （2）液面以下探针长度为10cm时，液体的体积是150ml； （3）5cm． 【解答】解：（1）已知V（ml）与x（cm）满足一次函数关系．设V＝kx+b，将x＝4，V＝90；x＝5，V＝100分别代入得： ， 解得：， ∴函数表达式为V＝10x+50； （2）当x＝10cm时，V＝10×10+50＝150（ml）， ∴液面以下探针长度为10cm时，液体的体积是150ml； （3）当探针刚接触液面时有x＝0，此时V＝10×0+50＝50， 设该装置底面积为S， ∴Sh＝50， ∵k＝10， ∴x每增加1cm，体积增加10ml， ∴S＝10cm2． ∴h5（cm）， 答：此时液面高度为5cm． 5．直线y＝kx与直线y＝﹣x+b交于点P（1，2）． （1）求k，b的值； （2）若y＝﹣x+b与x轴的交点为A，点B为x轴上的点，且S△ABP＝5，求点B的坐标． 【答案】（1）k＝2，b＝3； （2）（8，0）或（﹣2，0）． 【解答】解：（1）将点P（1，2）代入y＝kx，得k＝2， 将点P（1，2）代入y＝﹣x+b，得b＝3； ∴k＝2，b＝3． （2）∵S△ABP＝5， ∴． ∴AB＝5． ∴点B的坐标为（8，0）或（﹣2，0）． 6．某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． （1）请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 　80　 170 方式二收费/元 50 　130　 （2）设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为y1（元），y2（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用为y1（元），y2（元）的函数关系式； （3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 【答案】（1）80，130； （2）y1，y2； （3）当0≤x＜300或x＞1100时方式一省钱；当300＜x＜1100时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 【解答】解：（1）当x＝400时，方式一收费为：20+0.3×（400﹣200）＝20+60＝80（元）， 当x＝700时，方式二收费为：50+0.4×（700﹣500）＝50+80＝130（元）， 故答案为：80，130； （2）由题意可得： 当0≤x≤200时，y1＝20；当x＞200时，y1＝20+0.3（x﹣200）＝0.3x﹣40； 当0≤x≤500时y2＝50；当x＞500时，y2＝50+0.4（x﹣500）＝0.4x﹣150； 综上：y1，y2； （3）①当0≤x≤200时，方式一更省钱； ②当200＜x≤500时， Ⅰ.0.3x﹣40＝50， 解得：x＝300； Ⅱ．0.3x﹣40＜50， 解得：x＜300， Ⅲ.0.3x﹣40＞50， 解得：x＞300； ∴当x＝300时，两种方式费用相同； 当200＜x＜300时，方式一省钱； 当300＜x≤500时，方式二省钱； ③当x＞500时， Ⅰ.0.3x﹣40＝0.4x﹣150， 解得：x＝1100； Ⅱ.0.3x﹣40＞0.4x﹣150， 解得：x＜1100； Ⅲ.0.3x﹣40＜0.4x﹣150， 解得：x＞1100； ∴当x＝1100时，两种方式费用相同； 当500＜x＜1100时，方式二省钱； 当x＞1100时，方式一省钱． 综上：当0≤x＜300或x＞1100时方式一省钱；当300＜x＜1100时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 7．人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量y（单位：%）是奔跑时间x（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）本次训练中，当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了多少分钟？ 【答案】（1）； （2）当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了32分钟． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）当y＝60时，， 解得x＝32． 答：当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了32分钟． 8．两位同学去某景区游览，甲乘观光车从A景点出发，沿景区公路（如图1）去C景点，车速为25km/h，同时，乙骑电动车从B景点出发，比甲迟0.2h到达C景点，设甲行驶的时间为t（h），甲和乙离A景点的路程分别为s1，s2（km），s1，s2与t之间的函数图象如图2所示． （1）求乙骑车离A景点的路程s2与t之间的函数关系式； （2）当甲追上乙时，求t的值． 【答案】（1）s2＝3+15t（0≤t≤0.8）； （2）当甲追上乙时，t的值为0.3h． 【解答】解：（1）甲从A景点到达C景点所需时间为0.6（h）， ∵乙骑电动车从B景点出发，比甲迟0.2h到达C景点， ∴乙骑电动车从B景点到达C景点所需时间为0.6+0.2＝0.8（h）， ∴乙骑电动车的速度为15（km/h）， ∴s2＝3+15t（0≤t≤0.8）； （2）根据题意得：3+15t＝25t， 解得t＝0.3， ∴当甲追上乙时，t的值为0.3h． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 14:49:58；用户：孔浩；邮箱：15269199390；学号：25245241 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $