2026年高二数学秋季开学学情自测卷 01（上海专用）【测试范围：沪教版2020必修第二册第6-9章～数列】

**基本信息** 2026年高二开学数学学情卷，聚焦沪教版必修第二册第6-9章~数列，以0.65难度梯度设计，通过疫情消毒几何应用、工厂维护数列模型等真实情境，融合数学抽象、运算能力与模型意识，实现基础巩固与创新思维的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|数列、向量投影、复数运算、三角函数对称中心|第8题结合疫情消毒设备几何建模，第9题创新余弦公式结构应用| |选择题|4/18|欧拉公式、函数象限判断、三角形边角关系、新定义数列|第13题以欧拉公式考查复数性质，第16题新定义函数与数列关系辨析| |解答题|5/78|三角函数性质、数列求和、复数几何意义、新定义函数|第19题工厂维护费用分段数列模型，第21题“P级半周期函数对”新定义探究，考查推理与创新意识|

2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6-9章~数列。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将小数化为最简分数： ． 2．向量在向量上的投影向量为 . 3． 已知等差数列前项和为，则 . 4． 已知，则 . 5． 已知，且是实数，则复数 . 6．若函数图象的一个对称中心在直线上，则 . 7．若，平面内一点满足，则的最大值为 . 8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计 如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，， 处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，， 则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 9．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题： 如果三个正实数满足：，， 则 . 10．已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足， 且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为 . 11．已知函数，，若方程在区间内无解， 则的取值范围是 ． 12．若在幂函数上且对任意均有，则x的值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，；据此可知， 下列说法中错误的是（     ） A． 为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 14．已知函数，则角所处象限为（     ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限 15．已知在中，角所对应的边为，则下列序号中， 的充要条件有（    ） ①角成等比数列且成等差数列   ②角成等差数列且成等比数列 A．①② B．① C．② D．①②都不是 16．新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（    ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．已知是的三个内角，. （1）若是正三角形，求的值；（2）若中有一内角为，求的最小值. 18．已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求：函数的表达式；（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求：的值． 19． 某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元， 从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；（2）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前年 每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ 20．已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求；（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的 坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 21．新定义：已知函数，若的最小正周期为T， 则称是“P级半周期函数对”. （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是 命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为， 若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 10 11 12 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A]B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 C149) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4．0 5． 6． 7． 8．/ 、9． 10． 11． 12．或或， 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．D 14．B 15．C 16．D 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．（14分）已知是的三个内角，. （1）若是正三角形，求的值；（2）若中有一内角为，求的最小值. 17．（1）；（2）. 【详解】（1）若是正三角形，则，………2分， ；………2分； （2）因，………1分， 则………1分， ， ∴若任意交换中两个角的位置，则的值不会发生变化，因中有一内角为， 不妨设，则，角 都是锐角， 因，则得， 当且仅当时取等号， 不妨设，则得，解得， 即的最大值为， 而. 故当除内角为的那个角之外的另两个角都等于时，取得最小值为. 18．（14分）已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求：函数的表达式；（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求：的值． 18．（1）；（2）或.【分析】（1）根据题意，化简函数，再由的最小正周期为，且，求得，即可求得的解析式；（2）根据题意，得出， 由，得到中有一个为，另一个为，得到方程，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 因为函数的最小正周期为，且，可得，解得， 所以函数的解析式为； （1） 由（1）知：，将的图象向左平移个单位长度得到函数 ，因为，且， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数，且的最小值是， 所以，解得或，所以的值为或. 19． （14分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的 维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加 2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（1）设第年该生产线的维护费用为， 求的表达式；（2）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线， 求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ 19．（1）an；（2），9. 【详解】（1）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an＝4+2（n﹣1）＝2n+2； 当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为 的等比数列，又a7＝16，∴an＝16×（ ）n﹣7 ∴an的表达式为an； （2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得; 当1≤n≤7时，Sn＝4n+n（n﹣1）＝n2+3n， 当n≥8时，由S7＝70，Sn＝S7+1680•10， 该生产线前n年每年的平均维护费用， 当1≤n≤7时，{}为增数列， 当n≥8时，∵0，{}也为增数列， 又∵，，，则第9年初需要更新该生产线． 20．（18分）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求；（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的 坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 20．（1）或；（2）①存在，；②，最大值为2. 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求；①解法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果， 解法二：设则，再由题意得，从而可求得结果； ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则， 化简后再利用可求得其最大值. 【详解】（1）因为复数，所以， 而为纯虚数，因此，即，又因为，且，所以， 由，解得或，所以或； （2） ①存在，理由如下：解法一：由题意知：，得， 解得或 ，因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 解法二：设 是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即，所以，所以 ， 且时，满足.所以； ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则，当且仅当且， 即或时等号成立，所以，其最大值为2. 21．（18分）新定义：已知函数，若的最小正周期为T， 则称是“P级半周期函数对”. （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是 命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为， 若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 21．（1）①②都不是；（2）证明见解析；（3）数列所有项的和不存在. 【详解】（1）（1）①②都不是： ①无最小正周期， ②值不相等； （2） 由周期性，若有满足和是“P级半周期函数对”，则可证明对任意x恒成立，即对任意P，和都是“P级半周期函数对”，充分性得证； 反之若对任意P，和都是“P级半周期函数对”，自然时满足和是“P级半周期函数对”，必要性得证； （3）因为和是“P级半周期函数对”，由（2）知此时对任意的恒成立， 又为奇函数，所以也为奇函数，故函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 所以，所以或或， 当时，函数的定义域为，由已知，，所以， 所以，矛盾，故， 当时，函数的定义域为，由已知，， 所以，所以，所以，故，即， 又，故，故，所以， 所以当为正偶数时，，当为正奇数时，所以数列所有项的和不存在， 当时，函数的定义域为，由已知，，所以， 所以，所以，故，即， 又，故，故，所以，所以，，， ，，所以数列所有项的和不存在，所以数列所有项的和不存在. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) .: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ·: 4.测试范围：沪教版2020必修第二册第6-9章~数列。 : 5.难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.将小数化为最简分数：0.48= : 2.向量(4，-3)在向量(0,2)上的投影向量为 : 蜜 3.己知等差数列{a}前n项和为Sn=(n+2)(n-1)+p,则p= : 桨 照 : 4.已知sinasinβ=1，则sin(a+β)= : : 5.己知z=4,且z-2i是实数，则复数z= : : 北 6.若函数y=sin2x+acos2x图象的一个对称中心在直线x=需上，则a=一 : : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 7.若A出=4C=3G正.平面内一点P满足爵西平 则sinPAB的最大值为 8.疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计 C 如图所示，PQ为路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB1PQ,∠ABC=严， 31 C处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角∠DCE=于，己知AB=2,BC=1, 则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为 P AD 9.为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：a2-2 abcosC+b2=c2,利用这个结构解决如下问题： 如果三个正实数Xy、z满足：x2+Xy+y2=25,y2+yz+z2=144,z2++x2=169, 则y+yz+zx=」 10.己知平面向量ei、e2是不共线的单位向量，记ei、e2的夹角为9，若平面向量a满足间=， 且对于任意的正实数k,点-e+k引≥恒成立，则cos0的最大值为 11.已知函数f)=sin(ωx+)sin(ox+)(o>0),(区∈R),若方程f☒)=0在区间（传，内无解， 则ω的取值范围是」 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 2.者P(simx,sim58)在幂函数y三mx上且对任意ncZ均有tan(会+)=则×的值为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分： 每题有且只有一个正确选项) l3.瑞士数学家欧拉发现了公式：ei=cosx+isix,其中i为虚数单位，x∈R;据此可知， 下列说法中错误的是() A.e为纯虚数B.e的共轭复数为-停iC.的模长等于号D.e对应的点位于第三象限 14.己知函数f(x)=logcosxsinx,则角，所处象限为() A.第一象限或第二象限B.第一象限或第三象限C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限 15.已知在△ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c,则下列序号中， 品=品=品c的充要条件有（) b ①角A,B,C成等比数列且sinA,sinB,sinC成等差数列 ②角A,B,C成等差数列且sinA,sinB,sinC成等比数列 A.①② B.① C.② D.①②都不是 16.新定义：设x为正整数，则f(x)中所有值由小到大排列形成的数列{a}称为f()的对应数列， fx)称为数列{}的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为() 命题①：对数函数f(x)=lgx的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A.①② B.①③ c.②③ D.② 试题第3页（共6页） 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17、已知A,B,C是△ABc的=个内角，y=anA+2 (1)若△ABC是正三角形，求y的值：(2)若△ABC中有一内角为135°，求y的最小值. 兵 张 数 游 18.己知函数f8)=V3 sinwxcoswx+sim2ωx-;(其中常数ω>0)的最小正周期为L. (1)求：函数y=f(x)的表达式：(2)将y=f(x)的图象向左平移p(0<p<D个单位长度得到函数y=g(x) 的图象，若实数x1,x2满足fx1)g(x2)=-1,且k1-xz的最小值是求：p的值. 0 习 的 性 试题第4页（共6页） 19.某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用 会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元， O O 从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为a,求a的表达式： (2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前年 每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ O .: O 20.已知i是虚数单位，a,b∈R,设复数z1=2a-V3i,z2=2b+i,3=a+bi,且lz3|=1. (1)若z1-z2为纯虚数，求z3:（2)若复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且0为复平面的 坐标原点.①是否存在实数a,b,使向量0B逆时针旋转90°后与向量0A重合，如果存在，求实数a,b的值： 如果不存在，请说明理由；②若O,A,B三点不共线，记△AB0的面积为S(ab),求S(b)及其最大值. : : .: 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 21.新定义：己知函数fx)= (x-TD,x≥P'若8)的最小正周期为T, 「g(x),x<P 则称f(x)和g(x)是“P级半周期函数对" (1)试判断：①：f)=x,g(8)=-②：f(x)=six与g(8)=cosx是否为P级半周期函数对： (2)若f(x)和g(☒)定义域均为R,求证：命题①：f(x)和g(☒)是0级半周期函数对”是 命题②：对于任意P∈R,都有fx)和g(x)是P级半周期函数对"的充要条件； (3)若fx)和g(x)是P级半周期函数对”，其中fx)是奇函数，g(x)的定义域为[2a-7a,7a1-2], 若已知数列{a的前n项和为Sn,且当n≥2时满足a品=S泾-Sm+1,求：数列{a所有项的和. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学•全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将小数化为最简分数： ． 1．【详解】 ；故答案为：. 2．向量在向量上的投影向量为 . 2． 【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算，以及投影向量的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】设向量，则，则向量在的投影向量为 ，即量在向量上的投影向量为，故答案为：. 3． 已知等差数列前项和为，则 . 3．【详解】因为，所以，若为等差数列前项和，则，解得.故答案为：. 4． 已知，则 . 4．0【详解】，又 ，或， ，．故答案为：0． 5． 已知，且是实数，则复数 . 5．【详解】∵是实数，∴复数的虚部为，设，， ∵，∴，∴，∴；故答案为：. 6．若函数图象的一个对称中心在直线上，则 . 6．【详解】因，其中，又该函数的一个对称中心 在直线上，故这个对称中心为，则有，即，解得， 此时，当时，，符合题意.故答案为：. 7．若，平面内一点满足，则的最大值为 . 7．【详解】由可得 ，因为， 即，所以 ，即是角平分线， 由角平分线的性质可得，设，则，由可得 ， 因为 ，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，所以的最大值是.故答案为：. 8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计 如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，， 处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，， 则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 .  8．/【详解】设中，定点到底边的距离为h，已知，，，， 则，又，则， 即，在中，由余弦定理： ，当且仅当时，等号成立， 故，而，所以，则，所以的最小值为； 故答案为：. 9．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题： 如果三个正实数满足：，， 则 . 9．【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得，设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由，得， 即，所以.故答案为：. 10．已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足， 且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为 . 10．【详解】由已知可得出或对任意正实数恒成立，在对应的不等式 两边平方，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，进而可求得结果. 【详解】且恒成立，则，可得到或，①若对任意正实数恒成立，在不等式两边平方可得，所以，由于，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，此时，；②若对任意正实数恒成立，在不等式两边同时 平方可得，所以，由于没有最大值， 所以不恒成立；综上所述，，即的最大值为.故答案为：. 11．已知函数，，若方程在区间内无解， 则的取值范围是 ． 11． 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内 不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【详解】 ，令，有，解得，令， 解得，方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又，所以，或，解得或，则的取值范围是.故答案为：. 12．若在幂函数上且对任意均有，则x的值为 ． 12．或或，【详解】由题，则有， 而， 化简得，则有 ，故或或，即或或 或，解得或或或，， 又对任意恒成立，则有，，则，，且，即，，因此当时，； 当时，，当时，，则； 而时，满足且满足； 当或，或是符合题意的， 综上，或或，.故答案为：或或，. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，；据此可知， 下列说法中错误的是（     ） A． 为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 13．D【详解】A：由题意为纯虚数，正确；B：由题意， 则的共轭复数为，正确；C：由题意，模为，正确； D：由题意得，则其对应的点为，，则，， 对应的点位于第二象限，错误；故选：D. 14．已知函数，则角所处象限为（     ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限 14．B【详解】由题意，，则，所以， 则，则为偶数时，角在第一象限，为奇数时，角在第三象限， 所以角所处象限为第一象限或第三象限.故选：B. 15．已知在中，角所对应的边为，则下列序号中， 的充要条件有（    ） ①角成等比数列且成等差数列   ②角成等差数列且成等比数列 A．①② B．① C．② D．①②都不是 15．C【详解】由 和正弦定理，，整理得， 因，则.此时①②均成立；下面判断由①能否推得 ， 由成等差数列，可得，由正弦定理，，两边取平方， 整理得（*），又由角成等比数列，∴， 设公比为，则， （1） 当时，，显然成立； （2）当时，由基本不等式可得，即，也即，由余弦定理及基本不等式可知：，因，则有使得①成立. 故由①不能推得，故角成等比数列且成等差数列 是 的必要不充分条件；下面判断由②能否推得，由角成等差数列，∴，又∵，即，又由成等比数列， 可得，由正弦定理，，再由余弦定理，，代入化简得，故，则有，故成立， 故角成等差数列且成等比数列是 的充要条件；故选：C. 16．新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（    ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 16．D【详解】命题①，对于对数函数，当为正整数时，，设对应数列为, ，，当变化时，不是常数，例如无意义，，不是等比数列，命题①错误；命题②，设等比数列为，公比为，，当时，，此时为指数函数，所以等比数列的对应函数可能为指数函数，设指数函数为且， 当为正整数时，，设的对应函数为，则，， ，是常数， 是等比数列，所以指数函数的对应数列一定为等比数列，命题②正确； 命题③，设幂函数，当为正整数时，，设对应数列为，则，，幂函数在第一象限的单调性由的正负决定，当时，在第一象限单调递增；当时，在第一象限单调递减，由新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列 称为的对应数列，说明数列单调递增，则幂函数在第一象限的单调性与其对应数列不一定相同， 命题③错误；综上，只有命题②正确；故答案：D. 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．已知是的三个内角，. （1）若是正三角形，求的值；（2）若中有一内角为，求的最小值. 17．（1）；（2）. 【详解】（1）若是正三角形，则，； （2）因，则 ， ∴若任意交换中两个角的位置，则的值不会发生变化，因中有一内角为， 不妨设，则，角 都是锐角，因， 则得，当且仅当时取等号， 不妨设，则得，解得， 即的最大值为，而. 故当除内角为的那个角之外的另两个角都等于时，取得最小值为. 18．已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求：函数的表达式；（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求：的值． 18．（1）；（2）或.【分析】（1）根据题意，化简函数，再由的最小正周期为，且，求得，即可求得的解析式；（2）根据题意，得出， 由，得到中有一个为，另一个为，得到方程，即可求解. 【详解】（1）由函数 ，因为函数的最小正周期为，且，可得，解得， 所以函数的解析式为； （2） 由（1）知：，将的图象向左平移个单位长度得到函数，因为，且，所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数，且的最小值是， 所以，解得或，所以的值为或. 19．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元， 从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；（2）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ 19．（1）an；（2），9. 【详解】（1）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an＝4+2（n﹣1）＝2n+2； 当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为 的等比数列，又a7＝16，∴an＝16×（ ）n﹣7 ∴an的表达式为an； （2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，Sn＝4n+n（n﹣1）＝n2+3n， 当n≥8时，由S7＝70，Sn＝S7+1680•10， 该生产线前n年每年的平均维护费用， 当1≤n≤7时，{}为增数列，当n≥8时，∵0，{}也为增数列， 又∵，，，则第9年初需要更新该生产线． 20．已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求；（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的 坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 20．（1）或；（2）①存在，；②，最大值为2. 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求；①解法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果， 解法二：设则，再由题意得，从而可求得结果； ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则， 化简后再利用可求得其最大值. 【详解】（1）因为复数，所以， 而为纯虚数，因此，即，又因为，且，所以， 由，解得或，所以或. （3） ①存在，理由如下：解法一：由题意知：，得， 解得或 ，因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 解法二：设 是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即，所以，所以 ， 且时，满足.所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线，所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则且， 因此的面积， ， 设，则，当且仅当且， 即或时等号成立，所以，其最大值为2. 21．新定义：已知函数，若的最小正周期为T， 则称是“P级半周期函数对”. （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是 命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为， 若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 21．（1）①②都不是；（2）证明见解析；（3）数列所有项的和不存在. 【详解】（1）（1）①②都不是： ①无最小正周期， ②值不相等； （2） 由周期性，若有满足和是“P级半周期函数对”，则可证明对任意x恒成立，即对任意P，和都是“P级半周期函数对”，充分性得证； 反之若对任意P，和都是“P级半周期函数对”，自然时满足和是“P级半周期函数对”，必要性得证； （3）因为和是“P级半周期函数对”，由（2）知此时对任意的恒成立， 又为奇函数，所以也为奇函数，故函数的定义域关于原点对称，所以， 所以，所以，所以或或， 当时，函数的定义域为，由已知，，所以， 所以，矛盾，故，当时，函数的定义域为，由已知，， 所以，所以，所以，故，即， 又，故，故，所以， 所以当为正偶数时，，当为正奇数时，所以数列所有项的和不存在， 当时，函数的定义域为，由已知，，所以， 所以，所以，故，即， 又，故，故，所以，所以，，， ，，所以数列所有项的和不存在，所以数列所有项的和不存在. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6-9章~数列。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将小数化为最简分数： ． 2．向量在向量上的投影向量为 . 3． 已知等差数列前项和为，则 . 4． 已知，则 . 5． 已知，且是实数，则复数 . 6．若函数图象的一个对称中心在直线上，则 . 7．若，平面内一点满足，则的最大值为 . 8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的 设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，， 处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，， 则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 9．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题： 如果三个正实数满足：，， 则 . 10．已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足， 且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为 . 11．已知函数，，若方程在区间内无解， 则的取值范围是 ． 12．若在幂函数上且对任意均有，则x的值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，；据此可知， 下列说法中错误的是（     ） A． 为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 14．已知函数，则角所处象限为（     ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限 15．已知在中，角所对应的边为，则下列序号中， 的充要条件有（    ） ①角成等比数列且成等差数列   ②角成等差数列且成等比数列 A．①② B．① C．② D．①②都不是 16．新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（    ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．已知是的三个内角，. （1）若是正三角形，求的值；（2）若中有一内角为，求的最小值. 18．已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求：函数的表达式；（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求：的值． 19． 某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元， 从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；（2）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ 20．已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求；（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的 坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 21．新定义：已知函数，若的最小正周期为T， 则称是“P级半周期函数对”. （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是 命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为， 若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $