上海市2026-2027学年高二上学期数学开学考质量检测模拟卷

**基本信息** 2026-2027学年上海高二开学考数学拔高A卷（沪教版），120分钟150分，通过集合、函数、数列等知识的梯度设计，结合公路服务区规划等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合空集判定（1）、函数定义域（3）、向量共线（5）|基础概念与运算结合，如第7题函数值域考查转化思想| |选择题|4题18分|函数单调性条件（13）、正方形向量（14）|几何直观与逻辑推理，如第16题重心判定结合向量运算| |解答题|5题78分|不等式解集（17）、公路服务区规划（19）、数列证明（21）|综合应用与创新，如第19题通过坐标系建模解决距离最值，第21题递推数列求和与不等式证明|

2026-2027学年上海市高二（上）开学考数学质量检测预测模拟卷 拔高A卷 （沪教版 · 120分钟 150分） 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 是空集，则实数 的取值范围为 ______。 2. 计算： ______。 3. 函数 的定义域为 ______。 4. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 ______。 5. 已知向量 ，，若 ，则实数 ______。 6. 在等差数列 中，，则 ______。 7. 函数 的值域为 ______。 8. 若幂函数 为偶函数，且在 上单调递减，则 ______。 9. 已知 ，则 ______。 10. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______。 11. 已知关于 的实系数方程 有两个虚根，则实数 的取值范围为 ______。 12. 已知数列 满足 ，则其前 项和 ______。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. “函数 在 上单调递增”是“”的（　） A. 充分非必要条件　　B. 必要非充分条件　　C. 充要条件　　D. 既非充分也非必要条件 14. 如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为直径的半圆弧上任意一点，设 （），则 的最小值为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 函数 在 上的零点个数为（　） A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3 16. 已知 中，点 满足 ，则点 是 的（　） A. 外心　　B. 内心　　C. 重心　　D. 垂心 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 已知关于 的不等式 。 （1）当 时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为 ，求实数 的取值范围； （3）若该不等式的解集为 ，求实数 的值。 18.（14分） 已知函数 。 （1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围； （2）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求实数 的值。 19.（14分） 如图，某城市有一条从正西方（）通过市中心 后转向东偏北 方向（）的公路。为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 、 上分别设置两个出口 、， 在 的东偏北 的方向（、 两点之间的高速公路可近似看成直线段）。由于 、 之间相距较远，计划在 、 之间设置一个服务区 。 （1）若 在 的正北方向且 km，求 、 到市中心 的距离之和最小时 的值； （2）若 到市中心 的距离为 km，此时 在 的平分线与 的交点位置，且满足 ，求 到市中心 的最大距离。 20.（18分） 已知向量 ，，函数 。 （1）求函数 的解析式，并将其化为 的形式； （2）求函数 在 上的最大值和最小值； （3）若 ，求 在 上的所有解。 21.（18分） 已知数列 的前 项和 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ； （3）证明：。 --- 试卷结束 --- 参考答案与解析 一、填空题 第1题 答案： 解析：集合 为空集，即不等式 无解。需判别式 ，解得 。 第2题 答案： 解析：；。。 第3题 答案： 解析： 有意义，需 或 。 第4题 答案： 解析：，对称轴 。 当 时， 上单调递增，，舍； 当 时， 上单调递减，； 当 时，（舍，不在[0,1]内）。 故 。 第5题 答案： 解析：，，。 第6题 答案： 解析：由等差数列性质，，。。 第7题 答案： 解析：，，故 。 第8题 答案： 解析： 为偶函数， 为偶数；在 上递减，，即 。，。代入使指数为偶数： 时指数 （奇）； 时指数 （偶）； 时指数 （奇）。故 。 第9题 答案： 解析：，。 第10题 答案： 解析：由 ，。，当 时取等号。 第11题 答案： 解析：实系数一元二次方程有两个虚根，需判别式 ，。 第12题 答案： 解析：，。 二、选择题 第13题 答案：C 解析： 的对称轴为 ，在 上单调递增 ，故为充要条件。故选C。 第14题 答案：B 解析：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系。设正方形边长为 ，则 ，，，，。以 为直径的半圆方程为 （），设 ，。，，。由 ，得 ，即 ，。故 ，。。当 时，。最小值为1。故选B。 第15题 答案：B 解析：，，。 在 上的唯一解为 ，即 。零点个数为1。故选B。 第16题 答案：C 解析：设 中点为 ，则 。由 ，得 ，即 ，所以 、、 三点共线，且 在 上。同理可证 在另外两条中线上，故 为重心。选C。 三、解答题 第17题（14分） （1）当 时，。（4分） 解集为 。 （2） 的解集为 ，需 且 。（5分） （3）解集为 ，需 且 ，即 。（5分） 第18题（14分） （1）。（2分） 恒成立，故 。（4分） （2） 的零点为 ，。（2分） ①一个零点在区间内部：；或 。（3分） ②一个零点恰好落在区间端点： ，此时两零点为0和2，均在区间内，不符合； ，此时两零点为-2和0，仅 在区间内，符合； ，此时两零点为2和4，仅 在区间内，符合； ，同上，不符合。（3分） 综上，。（2分） 第19题（14分） （1）以 为原点， 所在直线为 轴负方向，建立平面直角坐标系。 在 正北方向 ，。 在 上，设 ，其中 。 在 上， 方向为东偏北 ，设 ，其中 。 三点共线，由斜率相等： ，即 （需 ）。 。 令 ，求导得 。 令 ，得 或 （重根）。当 时分母为0，舍去。 当 时，， 取最小值 。此时 ，，。 （2）设 ，，。 在 的平分线上，由角平分线定理，。 设 ，，则 。由 ，得 。 在 中，由余弦定理，。 由角平分线长公式及几何关系，可得 $OP=\dfrac{2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos60°{OA+OB}=\dfrac{10t}{t+10}$。 由 ，代入 ，，结合 及 ，可得 。 答：（1）；（2） 到市中心 的最大距离为 km。 第20题（18分） （1）（2分）。（4分） （2），。（2分） 最大值 ，最小值 或 ，故最大值为2，最小值为1。（4分） （3）。（2分） ，。（2分） ，解为 。 。（4分） 第21题（18分） （1）。（4分） 验证 ，符合 。（2分） （2），。（2分） 。（4分） 。（4分） （3） 。（2分） --- 解析结束 --- 1 学科网（北京）股份有限公司 $