第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/24/66分）全面考查菱形、矩形、正方形的性质与判定，注重几何直观、推理能力及运算能力的培养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正方形对称轴（1）、矩形判定（2）、菱形面积（3）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/24|菱形对角线与周长（11）、正方形综合计算（14）|性质应用，运算能力考查| |解答题|8/66|菱形性质证明（17）、正方形动态综合（23）|分层设计，从基础证明到创新应用，如24题结合全等与函数思想|

第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册（2024版） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（　　） A．正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B．两组对角分别相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　） 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形 5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AD，AB上，AE＝BF，点H是CF的中点，点G在BE上，连接GH，GF．若GH＝GF，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　） A． B．2 C．2 D． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，点E，F分别在边AD和AB上，且四边形AFGE为正方形．若BG＝5，则GC的长度为（　　） A．4.5 B．4 C． D． 9．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（　　） ①EF⊥AC；②AD＝4AG；③四边形ADFE是菱形；④△DBF≌△EFA． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是CD上一点，若，当PA+PB最小时，（PA+PB）：AC的值是（　　） A． B． C． D．2 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．菱形两条对角线的长的比为3：4，面积为24，则菱形的周长为 　　 ． 12．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　　 ． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在直线BC上，DE⊥DF，BC＝4，则四边形DEBF的面积为 　　 ． 15．长与宽分别为8和4的两张矩形ABCD与矩形BEDF的纸条，按如图的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 　　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF和BE交于点O，P为AB的中点，则OP＝________． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17．如图，菱形ABCD中，点M，N分别在边AD，AB上，DM＝BN．求证：DN＝BM． 18．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，点F为BC下方一点，连接BF、CF，BF＝CF，BF⊥CF．求证：四边形BECF是正方形． 19．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AD＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 20．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 21．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当△ABD满足 AB＝DB 时，四边形DEBF是矩形． 22．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若FE是∠BFD的角平分线，∠ADB＝30°，BC＝18，求△DFC的周长． 23．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，点F在边CB的延长线上，且BF＝DE，连接EF交边AB于点N，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交BC于点M，连结BH． （1）求∠AEF的度数． （2）当BN＝3，CE＝13时，求BM的长． （3）若点M是BC的中点，求证：． 24.已知：正方形ABCD中，点E，F分别在CD、BC上，连接BE，AF交于点G，且AF⊥BE． （1）如图1，求证：AF＝BE； （2）如图2，过点E作EH⊥CD，连接FH，若EH＝CE，求证：AF⊥FH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DH，过点H作HK⊥DH，交BC的延长线于点K，连接AE，若FC：CK＝1：2，△ADE的面积为8，求线段AG的长． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（　　） A．正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B．两组对角分别相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【解答】解：A．正方形是轴对称图形，它有四条对称轴；本选项错误，不符合题意； B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，本选项错误，不符合题意； C．一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形，本选项正确，符合题意； D．四边相等的四边形是菱形，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC 【解答】解：A、由AB＝CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； B、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项正确，符合题意； C、由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； D、由AB∥CD，AB＝BC，AC＝BD，无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　） A．42 B．46 C．48 D．52 【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝12， 在Rt△BCO中，BO8，即可得BD＝16， 又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝20， ∴△BDE是直角三角形， ∴S△BDEDE•BD＝96． △CDE的面积S△BDE＝48． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意； ∵四边形AEDF是平行四边形，∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意； 若BD＝CD， 则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形，故C选项符合题意； ∵BD＝AD＝DC， ∴∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA， ∴∠DAB+∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意， 故选C． 5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AD，AB上，AE＝BF，点H是CF的中点，点G在BE上，连接GH，GF．若GH＝GF，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设BE、CF相交于点I，连接BH， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB＝∠BFC， 又∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠BFC+∠ABE＝90°， ∴∠BIF＝90°， ∵GI＝GI，GH＝GF， ∴△GFI≌△GHI（HL）， ∴FI＝HI， ∴BI为HF的垂直平分线， ∴BF＝BH， 又∵点H是CF的中点， ∴， ∴BF＝BH＝HF， ∴， ∴若GH＝GF，则． 故选：A． 6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 连接BD， ∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠C＝∠BAD＝60°， ∴△ABD与△BCD为正三角形， ∴∠FDB＝∠EAB＝60°，AB＝BD， ∵AE+CF＝2，DF+CF＝2， ∴AE＝DF， ∴△BDF≌△BAE（SAS）， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF， ∴∠EBF＝∠ABD＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时， ∴边BE上的高为， ∴△BEF面积的最小值为， 故选：B． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　） A． B．2 C．2 D． 【解答】解：设EF＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BDAB＝2，EF＝BF＝x， ∴BEx， ∵∠BAE＝22.5°， ∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴BD＝BE+EDx+2＝2， 解得：x＝2， 即EF＝2； 故选：B． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，点E，F分别在边AD和AB上，且四边形AFGE为正方形．若BG＝5，则GC的长度为（　　） A．4.5 B．4 C． D． 【解答】解：延长EG交BC于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝7，BC＝4， ∴AD＝4，∠ABC＝90° ∵点E，F分别在边AD和AB上，且四边形AFGE是正方形， ∴设AF＝FG＝a，∠AFG＝∠BFG＝∠FGE＝∠GGH＝90°，a＜AD＝4， ∴FB＝AB﹣AF＝7﹣a，∠BFG＝∠FGE＝∠ABC＝90°， ∴四边形FBHG是矩形， ∴GH＝FB＝7﹣a，BH＝FG＝a，∠GHB＝∠GHC＝90°， 在Rt△BFG中，BG＝5， 由勾股定理得：FG2+FB2＝BG2， ∴a2+（7﹣a）2＝52， 整理得：a2﹣7a+12＝0， 解得：a＝3，a＝4（不合题意，舍去） ∴BH＝a＝3，GH＝7﹣a＝4， ∴CH＝BC﹣BH＝4﹣3＝1， 在Rt△GHC中，由勾股定理得：GC． 故选：D． 9．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（　　） ①EF⊥AC；②AD＝4AG；③四边形ADFE是菱形；④△DBF≌△EFA． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：由题意可得：AD＝AB＝BD，AE＝AC＝CE，∠DAB＝60°＝∠CAE＝∠AEC， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝90°，∠FAE＝∠CAE+∠BAC＝90°， 连接CF， 由题意可得：， ∵CF＝AF，AE＝CE， ∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC，①正确，故符合要求； ∴∠AEF＝30°， ∴∠AFE＝60°， ∵AB≠AC， ∴AD≠AE，四边形ADFE不是菱形，③错误，故不符合要求； △ABD是等边三角形，F为AB中点， ∴DF⊥AB，即∠DFA＝90°， ∵∠DFA＝∠EAF＝90°，∠DAF＝∠AFE＝60°， ∴DF∥AE，AD∥EF， ∴DF＝AE，，即AD＝4AG，②正确，故符合要求； ∵DF＝AE，∠DFB＝90°＝∠EAF，BF＝AF， ∴△DBF≌△EFA（SAS），④正确，故符合要求； 故选：A． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是CD上一点，若，当PA+PB最小时，（PA+PB）：AC的值是（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵， ∴，即tan∠BAC， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴AC＝BC， 延长BC到点A'，使CA'＝BC，连接AA'，PA'， 则CA'＝CA，∠ACD＝∠A'CD， ∴CD垂直平分AA'， ∴PA'＝PA， ∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B， 即PA+PB最小值为A'B的长， ∴（PA+PB）：AC＝2AC：AC＝2， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．菱形两条对角线的长的比为3：4，面积为24，则菱形的周长为 　20　 ． 【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且BD：AC＝3：4，面积为24， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， 设BD＝6m，AC＝8m， ∵OB＝ODBD＝3m，OA＝OCAC＝4m， ∴AB5m， ∵BD•AC＝S菱形ABCD＝24， ∴6m×8m＝24， 解得m＝1或m＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴AB＝AD＝CD＝CB＝5m＝5×1＝5， ∴AB+AD+CD+CB＝4AB＝4×5＝20， ∴菱形的周长为20， 故答案为：20． 12．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　3　 ． 【解答】解：设正方形的边长为x， AC＝AEx， CB＝x是菱形的高， x•x＝9， x＝3． 故答案为：3． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　10　 ． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝BD5，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为＝4OC＝410． 故答案为：10． 14．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在直线BC上，DE⊥DF，BC＝4，则四边形DEBF的面积为 　16．　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BC＝4， ∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，S正方形ABCD＝16， ∵点F在直线BC上， ∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠DCF＝90°， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴S四边形DEBF＝S四边形DEBC+S△CDF＝S四边形DEBC+S△ADE＝S正方形ABCD＝16． 故答案为：16． 15．长与宽分别为8和4的两张矩形ABCD与矩形BEDF的纸条，按如图的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 　20　 ． 【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF， ∴∠A＝90°，AB＝BE＝4，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8， ∴四边形BGDH是平行四边形， ∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE， ∴BG＝BH， ∴四边形BGDH是菱形， ∴BH＝DH＝DG＝BG， 设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴BH＝5， ∴四边形BGDH的周长＝4BH＝20， 故答案为：20． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF和BE交于点O，P为AB的中点，则OP＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝1，∠D＝∠EAB＝90°， 在△ADF和△BAE中， ， ∴△ADF≌△BAE（SAS）， ∴∠DAF＝∠ABE， ∵∠DAF+∠BAO＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵P为AB的中点， ∴OPAB； 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17．如图，菱形ABCD中，点M，N分别在边AD，AB上，DM＝BN．求证：DN＝BM． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵DM＝BN， ∴AD﹣DM＝AB﹣BN， ∴AM＝AN， 在△ABM与△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（SAS）， ∴DN＝BM． 18．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，点F为BC下方一点，连接BF、CF，BF＝CF，BF⊥CF．求证：四边形BECF是正方形． 【解答】证明：∵BF＝CF，BF⊥CF， ∴∠F＝90°，∠FBC＝∠FCB＝45°， 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°，BE＝CE， ∴∠EBF＝∠EBC+∠FBC＝90°＝∠BEC＝∠F， ∴四边形BECF是矩形， ∵BE＝CE， ∴四边形BECF是正方形． 19．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AD＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形AODE是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝CD＝6，AC⊥BD， ∵∠BCD＝120°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形AODE的面积． 20．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． AB∥CD． ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴AC＝BE， ∴BD＝BE． （2）解：在矩形ABCD中，BO＝1， ∴2×1＝2， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴CD＝OD＝1． ∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2． 在Rt△BCD中，， ∴四边形ABED的面积． 21．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当△ABD满足 AB＝DB 时，四边形DEBF是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AB∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD的平分线BE交AD于点E， ∠CDB的平分线DF交BC于点F， ∴∠ABE∠ABD，∠CDF∠CDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：添加AB＝DB， 理由：∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴DE∥BF，DE＝BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB＝DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°． ∴平行四边形DFBE是矩形． 故答案为：AB＝DB． 22．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若FE是∠BFD的角平分线，∠ADB＝30°，BC＝18，求△DFC的周长． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边AD上， ∴OB＝OD， ∵AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△ODE和△OBF中， ， ∴△ODE≌△OBF（ASA）， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：由题意可得：∴∠BFE＝∠DFE， ∵AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠BFE＝∠DEF，∠ADB＝∠CBD＝30°， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF， ∵DE＝BF， ∴FB＝FD， ∴∠FBD＝∠FDB＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣∠FBD＝60°， ∴∠FDC＝∠BDC﹣∠FDB＝30°， ∴DF＝2CF， ∵BF+FC＝BC＝18， ∴3FC＝18， ∴FC＝6，DF＝12， ∴， ∴△DFC的周长． 23．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，点F在边CB的延长线上，且BF＝DE，连接EF交边AB于点N，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交BC于点M，连结BH． （1）求∠AEF的度数． （2）当BN＝3，CE＝13时，求BM的长． （3）若点M是BC的中点，求证：． 【解答】（1）解：连接AF，如图1所示： 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°AB∥CD，AD∥FC， ∴∠ABF＝∠D＝90°， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAF＝∠DAE， ∵∠DAE+∠EAB＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠EAB＝90° 即∠EAF＝90° ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°； （2）解：过点N作NI⊥CD于点I，如图2所示： ∴∠NIC＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形BCIN是矩形， ∴NI＝BC＝AB，BN＝CI，∠BNI＝∠ANI＝90°， ∴∠ABM＝∠NIE＝90°， ∵BN＝3，CE＝13， ∴EI＝CE﹣CI＝13﹣3＝10， ∵AH⊥EF， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵∠2+∠INE＝∠ANI＝90°， ∴∠1＝∠INE， 在△ABM和△NIE中， ， ∴△ABM≌△NIE（ASA）， ∴BM＝EI＝10； （3）证明：连接EM，设EC的中点为K，连结HK，设FC的中点为G，连结HG，如图3所示： 设BM＝a，DE＝BF＝b， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM＝a，AB＝CD＝BC＝2a，EC＝2a﹣b，FM＝a+b，FC＝2a+b， 由（1）知，△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF， ∴AH垂直平分EF， ∴EM＝FM＝a+b， 在Rt△EMC中，由勾股定理得：CM2+EC2＝EM2， ∴a2+（2a﹣b）2＝（a+b）2， 整理得：2a＝3b， ∴EC＝2a﹣b＝3b﹣b＝2b，FC＝2a+b＝4b， ∴BC＝CD＝EC+DE＝3b 由（2）知，El＝BM＝a， ∴BN＝IC＝EC﹣El＝2a﹣b﹣a＝a﹣b， ∴AN﹣BN＝AB﹣2BN＝2a﹣2（a﹣b）＝2b， ∵点H是EF的中点，点K是EC的中点，点G是FC的中点， ∴HK，HG为△EFC 的中位线， ∴HK∥FC∥AD，HG∥EC∥AB， ∴∠HKC＝∠D＝90°，∠HGC＝∠ABC＝90°， ∴∠HKC＝∠C＝∠HGC＝90°， ∴四边形HGCK为矩形， ∴EK＝CKEC＝b，HK＝FG＝GCFC＝2b， ∴BG＝BC﹣CG＝3b﹣2b＝b， ∴HG＝CK＝b， ∴BG＝HG＝b， 在Rt△BHG中，由勾股定理得：BH， ∴HG＝2b， ∴AN﹣BNHG． 24.已知：正方形ABCD中，点E，F分别在CD、BC上，连接BE，AF交于点G，且AF⊥BE． （1）如图1，求证：AF＝BE； （2）如图2，过点E作EH⊥CD，连接FH，若EH＝CE，求证：AF⊥FH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DH，过点H作HK⊥DH，交BC的延长线于点K，连接AE，若FC：CK＝1：2，△ADE的面积为8，求线段AG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABF＝∠C＝90°， ∴∠BAF+∠AFB＝90°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB+∠CBE＝90°， ∴∠BAF＝∠CBE， 在△ABF和△BCE中， ， ∴△ABF≌△BCE（ASA）， ∴AF＝BE； （2）证明：∵△ABF≌△BCE， ∴BF＝CE， ∵EH＝CE， ∴BF＝EH， ∵EH⊥CD，BC⊥CD， ∴EH∥BF， ∴四边形BFHE是平行四边形， ∴BE∥FH， ∵AF⊥BE， ∴AF⊥FH； （3）解：连接EF，延长HE交AB于点M， ∵BF＝CE＝EH， ∴CF＝DE， ∵∠ECF＝∠HED＝90°， ∴△ECF≌△HED（SAS）， ∴∠CEF＝∠EHD， ∵∠CEF+∠CFE＝90°，∠EHD+∠EHK＝90°， ∴∠CFE＝∠EHK， ∵EH∥FK， ∴∠CFE+∠FEH＝180°， ∴∠EHK+∠FEH＝180°， ∴EF∥HK， ∴四边形EFKH是平行四边形， ∴EH＝FK＝BF， 设CF＝a，则CK＝2a，DE＝a， ∴AD＝4a＝AB＝ME， ∵△ADE的面积为8， ∴， ∴， ∴a＝2， ∴BC＝AB＝ME＝8，CE＝6， ∴BE， ∵， ∴10×AG＝8×8， ∴AG． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $