专题06 圆（3年汇编）（广西专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 圆专题中考真题与模拟题汇编，涵盖2024-2026年广西中考核心考点，以分层设问串联垂径定理、切线判定等，融合绣球、壮锦等文化情境，贴合中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题|扇形弧长、圆内接四边形、垂径定理应用|结合生活情境如马路石墩、折扇设计| |填空题|4题|圆锥侧面积、正八边形外接圆、阴影面积计算|融入壮锦纹样、汽车转弯盲区等实际问题| |解答题|20题|切线证明、全等与圆综合、坐标与图形变换|2025年真题以绣球为载体考交点坐标与弧长，2024年真题三小问从平行四边形证明过渡到半径计算，梯度清晰|

专题06 圆 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01垂径定理及其应用 2026广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆的考题常结合垂径定理、圆周角定理综合设问，以两小问分层考查。第一问侧重证明，依托同弧圆周角与圆心角关系、垂径衍生的等腰三角形全等，考查角平分线证明，检验基础定理运用。第二问融合切线性质、垂径定理（圆心向弦作垂线平分弦），结合45°特殊角、勾股定理计算线段长度、角度。命题多以锐角三角形外接圆为载体，串联圆周角、切线、垂径、直角三角形，由证明过渡到计算，梯度清晰。注重数形结合，将垂径定理作为求弦心距、半径的核心工具，融合全等、解直角三角形，兼顾基础证明与综合运算，贴合中考分层选拔的命题思路。 考点02 与圆有关的位置关系 2024广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆的位置关系常以等腰三角形外接圆为载体，分三小问梯度设问。第一问结合三角形中位线、平行四边形判定，铺垫线段平行关系；第二问核心考查切线判定，依托垂径定理、等腰三角形三线合一证明半径与直线垂直，是高频考点；第三问融合三角函数、勾股定理求外接圆半径，综合垂径定理建立方程求解。命题串联三角形性质、平行四边形、圆的核心定理，由几何证明过渡到计算，难度逐步提升。侧重切线判定这一核心考点，常搭配垂径定理、解直角三角形综合考查，兼顾基础逻辑证明与代数计算，贴合中考分层考查的命题特点。 考点03 圆的相关计算 2025广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆计算类考题分两大题型，一是单圆几何综合，二是双圆结合图形变换。单圆题以直径、等弧为条件，先证三角形全等，再结合圆心角、等腰三角形性质计算角度，侧重弧、圆心角、圆周角转化；双圆民族文化情境题融合平面直角坐标系，考查交点坐标、弧长周长计算，结合旋转、平移等图形变换。命题梯度清晰，先证明再计算，常串联全等、圆的弧长公式、坐标方程，结合本地特色素材出题，兼顾基础定理运用与代数运算，既考查圆核心公式，又融入几何变换、数形结合思想。 考点01 垂径定理及其应用 1．（2026年广西中考数学试题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； (2)， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 考点02 与圆有关的位置关系 1．（2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 考点03 圆的相关计算 1．（2025年广西中考数学真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 2．（2025年广西中考数学真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 2．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）如图，四边形是圆内接四边形，且是的直径，是的中点，，则圆心角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆内接四边形性质求出，再由圆的性质、等腰三角形性质及邻补角定义求出，最后由等弧所对的圆心角相等即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，四边形是圆内接四边形， ， ， ， 则由三角形内角和定理可得， ， 是的中点， ， ． 3．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出的长，用表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， 经过圆心O，D是的中点， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的半径为． 4．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 5．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（     ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】A 【分析】利用切线的性质得到，根据半径相等得到是等腰三角形，求得的度数，最终解出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴． 6．（广西柳州市柳南区2026年中考二模数学试题）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 7．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 二、填空题 8．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，母线． ． 圆锥的侧面积为． 9．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 10．（广西壮族自治区梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试数学（试题卷））广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______． 【答案】2 【分析】设为，通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系，可以用的代数式表示，，然后列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则， 八边形是的内接正八边形， ， ， 同理得， 在中，，设， ， 同理， ， ， ， 解得， ． 11．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是_____． 【答案】 【分析】根据“右转危险区”的面积，求解即可． 【详解】解：延长和相交于点， ∵，与扇形分别相切于点，点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， “右转危险区”的面积 ． 三、解答题 12．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，线段经过圆心O，交⊙O于点A，C，为的弦，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 13．（广西柳州市2026年中考数学第二次统测模拟卷）如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，易证，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）先利用“”说明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． 14．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，在中，弦与直径相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，得到，对顶角得到，即可得证； （2）圆周角定理得到，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为． 15．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规以为直径作，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作，垂足为，求证：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，过作直线，直线与交于点O，以点O为圆心，为半径作，与相交于点D； （2）连接，根据“等边对等角”由，，可推出，再根据平行线的判定可得，最后由即可证得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）证明：如图，作，垂足为，连接， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 又点D在上，是的半径， 是的切线． 16．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 17．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，，进而证明，利用直角三角形斜边中线的性质得，据此证明即可； （2）连接交于点，解可得和的长，利用中位线定理可得的长，最后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线， ∴， ∴垂直平分（三线合一）， ∴． ∵在中，点是的中点， ∴ ． ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点， ∵在中，，， ∴． ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴ ， ∴． ∴． 18．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． (1)若，求证：是的切线; (2)若，且的长为，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由同弧所对的圆周角相等，结合已知可得，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可证得结论； （2）连接，由圆周角定理可得，设的半径为，根据的长即可得的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵为的直径， ∴是的切线．        （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为， ∵的长为， ∴， ∴， ∴的半径为． 19．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半圆的直径， ∴是半圆的切线． (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴． 20．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，点E为弧的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，得出，即可得出结论； （2）先求出，然后在中，利用三角函数即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵半径为， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 21．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 22．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 (1)设，则________；（用含的式子表示） (2)求证： (3)若，，求的长 【答案】(1) (2)证明：连接， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分，， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ， ； ； (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，，，根据，列式解答即可． 【详解】（1）解：点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ； （2）略 （3）解：设， ，， 根据题意，得，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 23．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））综合与实践： 课本在证明定理“在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角度数的两倍”时经历了如下过程： 如图1：证明：∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵， ∴． 如图2：要证明，课本采用了作辅助线帮助证明，连接延长交于点D； 证明：， ， ， ， … (1)在上面大括号中填写的理由是__________；（填入你选择的选项字母） A．等角对等边    B．同弧所对圆周角相等 C．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和    D．等量加等量和相等 (2)请补充完成余下证明； (3)如图3，根据图1的理论和图2作辅助线的方式，证明：． 【答案】(1)C (2)证明：， ， 又， ， ． (3)证明：如图，连接并延长交于点D， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 【分析】（1）根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”解答； （2）利用“三角形的外角等于不相邻的两内角之和”以及等腰三角形的性质求解； （3）利用“三角形的外角等于不相邻的两内角之和”以及等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：C； （2）证明：略； （3）证明：略． 24．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形 关于直线对称 四边形是矩形； (2)①， ②如图，过圆心作直线于点，交于点 ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ 在中， ∴，即为的半径 又∵ ∴是的切线； (3)或 【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形； （2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得 ②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线； （3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知， ∴，，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：，即； ②略 （3）解：如图所示，当时， ∴ 关于直线对称 ∴ ∵ ∴； 如图所示，当时，延长交于点， 关于直线对称 ，， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得：，即 综上所述，当点落在的三等分线上时，或． 25．（2026年广西南宁市中考二模考试数学试题）【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知． 【问题探究】 (1)如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线； 【问题解决】 (2)如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)摩天轮的半径的长为 (3)座舱运动路径的取值范围是 【分析】（1）根据等边对等角并结合题意可得，即可证明是的切线． （2）根据相似三角形的判定，可证，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求解． （3）延长分别交于点和点，连接和，根据直径所对的圆周角为，则当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形．当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形．先证明为等边三角形，可得，．利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即． ∵点是线段的中点， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 又∵， ． ． 即， 解得． 故摩天轮的半径的长为． （3）解：延长分别交于点和点，连接和． 和是的直径， ， ∴当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形． ∴当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形． ， 为等边三角形． ， ． 当与重合时，， 当与重合时，， ∴座舱运动路径的取值范围是． 26．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； (2)【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； (3)【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 【答案】(1) ①因为，， 所以． 因为， 所以，，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． ②证明：如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 因为． 所以． (2) (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆的性质等： （1）①根据已知条件，容易证得，求得，结合，，即可证明结论；②过点作的垂线，交于点，可证得，求得，结合，即可证明结论； （2）过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，根据题意可证明，得到，然后证明，进而可证明，得到，结合勾股定理，即可求得答案； （3）过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接，根据已知条件容易证得，得到，进而证明，得到，求得，得到点的运动轨迹为以为直径的半圆． 【详解】（1）①略 ②略 （2） 如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 同（1）可证得， 所以． 同（1）可证得． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． （3） 如图所示，过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接． 因为为的直径， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以点的运动轨迹为以为直径的半圆． 所以点的运动路径的长． 27．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）【阅读材料】在平面内，取一个定点和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点，若点在射线上，且满足，则称点为点关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点在边上，且，则点是点关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点是点关于线段的等角对应点，则线段的长为 ． 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点关于线段的等角对应点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为，点为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】（1）证明即可； （2）利用作一个角等于已知角的作图方法作答即可； （3）利用勾股定理求出，根据点是点关于线段的等角对应点，利用角度关系证明，再利用三角形的面积即可求解； （4）根据为的直径，可得，再根据点为点关于线段的等角对应点，有，即有，可判断出点Q在与相切于点C的直线上运动，问题随之得解；当点P与点C重合时，点Q也与点C重合，即点Q的起点也为点C；当点从点运动到弧中点时， 是等腰直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：∵点是点关于线段的等角对应点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：作图如下，点D即为所作； 作法：以点B为圆心、合适长度为半径画弧，交、于点E、F，再以C为圆心、长为半径画弧，交于点G，紧接着，再以G点为圆心，长为半径画弧，此弧与圆心为C的那段圆弧交于点H，连接并延长交于点D． 证明：连接，，根据作图中的线段等量关系，即可证明，则有，即满足， 根据题中定义，点关于线段的等角对应点为点． （3）解：∵点关于线段的等角对应点为点， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （4）解：点Q的运动路径是直线，理由如下： 如图， ∵为的直径，的半径为， ∴，， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴， ∴， ∴直径，即与相切于点C， 即：点Q在与相切于点C的直线上运动， ∴点Q的运动路径是直线； 当点P与点C重合时，点Q也与点C重合，即点Q的起点也为点C； 当点从点运动到弧中点时，此时， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01垂径定理及其应用 2026广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆的考题常结合垂径定理、圆周角定理综合设问，以两小问分层考查。第一问侧重证明，依托同弧圆周角与圆心角关系、垂径衍生的等腰三角形全等，考查角平分线证明，检验基础定理运用。第二问融合切线性质、垂径定理（圆心向弦作垂线平分弦），结合45°特殊角、勾股定理计算线段长度、角度。命题多以锐角三角形外接圆为载体，串联圆周角、切线、垂径、直角三角形，由证明过渡到计算，梯度清晰。注重数形结合，将垂径定理作为求弦心距、半径的核心工具，融合全等、解直角三角形，兼顾基础证明与综合运算，贴合中考分层选拔的命题思路。 考点02 与圆有关的位置关系 2024广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆的位置关系常以等腰三角形外接圆为载体，分三小问梯度设问。第一问结合三角形中位线、平行四边形判定，铺垫线段平行关系；第二问核心考查切线判定，依托垂径定理、等腰三角形三线合一证明半径与直线垂直，是高频考点；第三问融合三角函数、勾股定理求外接圆半径，综合垂径定理建立方程求解。命题串联三角形性质、平行四边形、圆的核心定理，由几何证明过渡到计算，难度逐步提升。侧重切线判定这一核心考点，常搭配垂径定理、解直角三角形综合考查，兼顾基础逻辑证明与代数计算，贴合中考分层考查的命题特点。 考点03 圆的相关计算 2025广西卷 以解答题形式考查；广西中考圆计算类考题分两大题型，一是单圆几何综合，二是双圆结合图形变换。单圆题以直径、等弧为条件，先证三角形全等，再结合圆心角、等腰三角形性质计算角度，侧重弧、圆心角、圆周角转化；双圆民族文化情境题融合平面直角坐标系，考查交点坐标、弧长周长计算，结合旋转、平移等图形变换。命题梯度清晰，先证明再计算，常串联全等、圆的弧长公式、坐标方程，结合本地特色素材出题，兼顾基础定理运用与代数运算，既考查圆核心公式，又融入几何变换、数形结合思想。 考点01 垂径定理及其应用 1．（2026年广西中考数学试题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 考点02 与圆有关的位置关系 1．（2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 考点03 圆的相关计算 1．（2025年广西中考数学真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 2．（2025年广西中考数学真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）如图，四边形是圆内接四边形，且是的直径，是的中点，，则圆心角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 4．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（     ） A．50° B．40° C．30° D．20° 6．（广西柳州市柳南区2026年中考二模数学试题）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 7．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 二、填空题 8．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 9．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 10．（广西壮族自治区梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试数学（试题卷））广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______． 11．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是_____． 三、解答题 12．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，线段经过圆心O，交⊙O于点A，C，为的弦，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 13．（广西柳州市2026年中考数学第二次统测模拟卷）如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 14．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，在中，弦与直径相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 15．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规以为直径作，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作，垂足为，求证：是的切线． 16．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 17．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． (1)若，求证：是的切线; (2)若，且的长为，求的半径． 19．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)当时，求的长． 20．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，点E为弧的中点，，求的长． 21．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 22．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 (1)设，则________；（用含的式子表示） (2)求证： (3)若，，求的长 23．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））综合与实践： 课本在证明定理“在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角度数的两倍”时经历了如下过程： 如图1：证明：∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵， ∴． 如图2：要证明，课本采用了作辅助线帮助证明，连接延长交于点D； 证明：， ， ， ， … (1)在上面大括号中填写的理由是__________；（填入你选择的选项字母） A．等角对等边    B．同弧所对圆周角相等 C．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和    D．等量加等量和相等 (2)请补充完成余下证明； (3)如图3，根据图1的理论和图2作辅助线的方式，证明：． 24．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 25．（2026年广西南宁市中考二模考试数学试题）【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知． 【问题探究】 (1)如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线； 【问题解决】 (2)如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围． 26．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； (2)【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； (3)【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 27．（广西南宁市天桃实验学校等校2026年中考二模考试数学试题）【阅读材料】在平面内，取一个定点和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点，若点在射线上，且满足，则称点为点关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点在边上，且，则点是点关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点是点关于线段的等角对应点，则线段的长为 ． 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点关于线段的等角对应点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为，点为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01垂径定理及其应用 1.(1)证明：连接OA,OB, D C:BD⊥AC∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC, .DA=DB, .OA=OB,DO=DO,DA=DB, ,∴.△DOA≌aDOB(SSS) .∠ADO=∠BDO OD平分∠ADB: 2)1C=v6 ∠CBD=15° 考点02与圆有关的位置关系 1.(1) 证明：：点D,E分别是BC,AC的中点， .BD=CD,AE=CE, 又，∠AEF=∠CED,DE=EF, ∴.△AEF≌ACED」 .AF=CD,∠F=∠EDC. 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AF=BD,AF I BD .四边形ABDF是平行四边形： (2) 证明：如图，连接AD, ,AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC, D B AD过圆心， .AF ll BD, AF⊥AD, 而OA为半径， .AF为⊙O的切线： 3)10 考点03圆的相关计算 1.(1) 证明：⊙0的半径为OD,OB,OC,OA, ..OA=OB=OD=OC. .OC=OC,BC=CD. ∴.△BOC≌△DOC(SSS) (2)40° 2.①1(0,5)，B5,0) (2)5π 3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测园 1.B 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.18π 9.180°/180度 10.2 11. (108-27π) 12.(1) 证明：连接OD, D B .∠A=∠B=30°」 :.∠ADB=180°-∠A-∠B=120°， :OA=OD」 .∠A=∠ODA=30°， ∴.∠0DB=120°-30°=90°， .OD⊥BD, 且OD是⊙O的半径， .直线BD是⊙O的切线： (2)2元 13.(1)证明：如图，连接OD, 319 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 是 的直径， AB⊙O .∠ADB=90°，即∠AD0+∠BD0=90°， .OD=OB ∴.∠BDO=∠CBD ·∠CDA=∠CBD」 .∠CDA=∠BDO, .∠ADO+∠CDA=90°，即OD⊥CE, OD是⊙O的半径， ,CD是⊙O的切线： (2)BE=3 14.(1)见解析 13 ②)2 15.(1)图见解析 (2)证明见解析 16.(1)见解析 (2)27° 17.(1)见解析 Q% 18.(1)证明过程见解析： ⊙0 2)的半径为. 19.I)证明：：AB是半圆O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90°， .∠D=∠ABC=60°， 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A+∠D=90°， .∠ABD=90°，即AB⊥BD, ,AB是半圆O的直径， ∴.BD是半圆O的切线. ②36 20.(1)证明：：AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， .∠A+∠DBA=90°， .BD=BD ∴.∠A=∠E, ,∠CBD=∠E, .∠CBD=∠A, .∠CBD+∠DBA=90°， .AB⊥BC, .BC是⊙O的切线. 83 (2)3 21.(1)答案见解析 (2)①4π：②2 22.(1)2a (2)证明：连接AD, :点D是△ABC的内心（内切圆的圆心）， ·AD平分∠BAC, ∴，∠CAD=∠BAD 点D是△ABC的内心（内切圆的圆心）， ∴BE平分∠ABC, 519 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ∴.∠ABC=2∠CBE=2∠ABE 根据圆周角定理， 得∠CBE=∠CAE, ∠ABE=∠CAE, ∴.∠CAD+∠CAE=∠BAD+∠ABE, :∠EAD=∠CAD+∠CAE,∠EDA=∠BAD+∠ABE , ∠EAD=∠EDA: :AE=DE: 4 6)3 23.1)C (2)证明：0A=OC, .∠OAC=∠OCA, 又'∠COD=∠OAC+∠OCA, .∠COD=2∠CAD, ∴.∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠CAD=2∠BAC B)证明：如图，连接A0并延长交⊙0于点D, B .∵OA=OC .∠OAC=∠OCA, 又'∠COD=∠OAC+∠OCA, .∠COD=2∠CAD, OA=OB」 .∠OAB=∠OBA, 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又'∠BOD=∠OAB+∠OBA, ∴∠BOD=2∠BAD .∠BOC=∠COD-∠BOD=2∠CAD-2∠BAD=2∠BAC 24.(I)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴.∠A=∠C=∠D=90° △ABE,△FBE BE 关于直线对称 ∴.△ABE≌△FBE .∠A=∠BFE=90° ∴.∠EFC=90° ∴.∠EFC=∠C=∠D=90° .四边形EFCD是矩形： (2)0BG=25 4 ②如图，过圆心O作直线MN⊥CD于点M,交AB于点N A D 图2 ∴.∠NMD=∠A=∠D=90° :.四边形ANMD是矩形 .MN=AD=9,MN⊥AB ∴.AN=BN 又：O是BE的中点 .ON是△BAE的中位线 OV-4E4 :.OM=MN-ON=9-4=5 在Rt△ABE中，BE=VAE2+AB2=V82+6=10 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0M-E,即oM为o0的半径 又，OM⊥CD .CD是OO的切线： 6)25或12-65 或 25.(1)见解析 (②)摩天轮的半径OM的长为l8m )座舱P运动路径的取值范围是12r<1<18π 26.(1) ①因为AB=BC,∠B=90°， 所以∠A=∠ACB=80°-∠B)=45°。 因为EG∥BF, 所以∠AEG=∠B=90°，∠GED=∠F,∠AGE=∠ACB 所以∠AGE=∠A 所以AE=GE 又因为AE=CF, 所以GE=CF 在△DGE和△DCF中 ∠GED=∠F,∠GDE=∠CDF,GE=CF, DGE≌△DCF(AAS) 所以 ②证明：如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H, D H B 因为△DGE≌△DCF, 所以DE=DF. 8/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以EF=2DF 因为DH⊥BF, 所以∠DHF=90° 所以∠DHF=∠B=90°. 又因为∠F=∠F, 所以△DHF∽AEBF, DHDF1 所以BEEF2· 所以BE=2DH. 因为DH=CD·∠sin BCA= CD 2 BE=√2CD 所以 )E4CD 5 (3)2xcm 9 27.1)5 。、12 (2)5 3)见详解 (4)5 9/9