专题07 圆（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦河南中考圆专题，整合5年真题与模拟题，覆盖垂径定理等5大核心考点，突出文化情境（如“割圆术”“团扇”）与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约10题/3-10分|切线性质（6年6考）、扇形面积（8年6考）|结合“滚铁环”实际情境，第1问证切线、第2问用相似/勾股求线段长| |填空/选择|约20题/3-5分|垂径定理（每年必考）、圆周角（综合题必涉及）|融入圆内接四边形、弧长计算，考阴影面积转化（割补法、等面积法）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 圆的基本性质核心考点， 核心考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦 考点01利用垂径 3-7分：题型：选择、填 所对的弧)；常结合勾股定理求弦长、半径、弦心 空、解答：2022-2026年 距；易错点为”"平分弦的直径垂直于弦”中弦不能是直 定理求值 每年必考，常融入圆的综 径；常作辅助线：连半径、作弦心距构造直角三角 合大题第一问 形：是圆中线段计算的基础工具 高频必考考点，3-7分： 核心考查圆周角定理（同弧圆周角等于圆心角一 半)；两大重点推论：直径所对圆周角是直角 考点02圆周角 题型：选择、填空、解 答；2022-2026年每年必 (90°)、同弧所对圆周角相等；常与圆心角、圆内接 四边形结合考查角度计算；是圆中角度推导的核心工 考，圆综合题必涉及 具；见直径想直角为常用解题思路 6年6考，超高频必考： 切线性质6年6考，是圆综合题的核心考点；核心性 质：切线垂直于过切点的半径（连半径得垂直）：常 考点03切线的性 题型：填空、解答大题： 分值：3-10分；2022- 考切线判定证明（连半径证垂直）；常结合"割圆 质定理 2026年连续考查，每年圆 术"滚铁环"等实际情境命题；圆综合题第1问常考切 线证明，第2问结合相似、勾股求线段长；是中档压轴 综合大题必考 核心，区分中档生与优等生 常考考点，多融入综合 核心性质：对角互补、外角等于内对角：常与圆周角 考点04圆内接四 题；题型：选择、填空、 定理结合考查角度计算；多作为圆综合题的一个小问 解答小问；分值：3分左 边形 右：2022-2026年多数年 或中间推导步骤；难度较低，属基础得分点：常与等 份考查 腰三角形、相似三角形结合命题 弧长8年2考，扇形面积 8年6考（高频）；题 扇形面积计算为高频考点，弧长计算偶考；常考阴影 考点05弧长和扇 型：填空、解答；分值： 部分面积计算（和差法、割补法、等面积转化法）： 3-5分：近5年4考扇形 常结合旋转、折叠、切线综合命题；圆锥侧面积计算 形面积 面积，2026年第10题选 为常考变形题型；公式记忆为基础，关键是不规则图 择压轴结合切线性质考弧 形面积转化技巧：常出现在选择压轴或填空题位置 1/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 五年真题分类园 考点01利用垂径定理求值 1.(2025河南中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”，如图 是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点 E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 E B 考点02圆周角 2.(2026河南中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB 的度数为 C D 3.(2024河南中考真题)如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平 视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过 A,B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视 角. 2/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 视角 - B 图1 图2 (I)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平 距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：3≈1.73）， A ∠AMB=∠APB D --E C 则 ,∠AMB>∠ADB, .∠APB>∠ADB. 4.(2024河南·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面 内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为， 最小值为 B 5. (2023河南中考真题)如图，点A,B,C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为() B 3/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.95° B.100° C.105° D.110° 考点03切线的性质定理 6.(2026河南中考真题)团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作 的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图，己知扇面边缘为⊙O,扇柄所在直线经过圆心O,她过扇柄端点P 作PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,得到AB.若⊙O的半径为9cm,∠APB=60°，则小红想要装 饰的AB的长为() A.3πcm B.6πcm C.9πcm D.27ncm 7.(2023河南中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上，且CB=CA 若OA=5,PA=12,则CA的长为一· ⊙ A 8.（2022河南·中考真题)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛 项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O 与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内.当推 杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果。 4/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 0- B C D (I)求证：∠BOC+∠BAD=90°. (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位 置，此时点A距地面的距离AD最小，测得CoS∠BAD= 3 :已知铁环⊙0的半径为25cm,推杆AB的长 为75cm,求此时AD的长. 考点04圆内接四边形 9.(2024河南中考真题)如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点， 连接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为() 8π 16π A. 3 B.4π C. 3 D.16π 考点05弧长和扇形面积 10.(2023河南中考真题)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中， 以反比例函数y=k图象上的点A5,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D.B在x 轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC,连接BF. 5/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )求k的值： (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 11.(2022河南·中考真题)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O处，得到扇形 AOB.若∠O=90°，OA=2,则阴影部分的面积为_· A A B B √一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026河南平顶山一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点 0重合，AB‖x轴，交y轴于点G.将△OBG绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束 时，点B的对应点的坐标为() A GB E D A.2,23 B.-2,23 C.-23,0 D.2,-23 2.(2026河南平顶山一模)某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢， 其示意图如图所示.该摩天轮高128m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68m, 6/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，10min后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路 径（即AB)长度为(）m M N B. 136 272 A.40m 3 n C.80m D. 3.(2026河南三门峡.一模)如图，在△ABC中，AC=5,∠ABC=30°.观察图中尺规作图的痕迹， 则⊙O的半径是() A. 2 B.5 C.6 D.10 4.(2026河南一模)如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1,以AB为直径的半圆O交AC于点D, 若BC与半圆O相切于点B,则BD的长为() D A.3 B. 4 c.G D.2 5.(2026河南南阳一模)小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个 半径为12cm,圆心角为60°的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为() A.6cm B.4cm C.2cm D.1cm 7/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026河南平顶山一模)如图，正方形ABCD的边长为2，连接对角线CA,延长CB到点F,使得 CF=CA,过点F作FE⊥CA于点E,FE交AB于点O.以点C为圆心，CE为半径画弧，可以发现这条 弧经过点B,连接AF,则由AP,AB,FE和BE园成阴影部分的面积是（) B A.52+6-乃 4 B.105-12-号 C.5V2-3-乃 2 D.102-12+ 7.(2026河南南阳一模)如图，平行四边形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，若点P是圆周上任意一 点且不与A、B、C重合，则∠APC的度数为() A.60° B.120° c.60°或120° D.30或150 8.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=105°，AD‖OC, 则∠AOD的度数为() A.25° B.30° C.40° D.50° 9.(2026河南南阳一模)如图①，A、B是⊙O上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆 时针方向匀速运动到点B.设点P运动的时间是xs,线段AP的长度是yCm,图②是y随x变化的关系 图象，则下列说法错误的是() 8/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ◆y/cm 4 B -10 23 4 A 图① 图② A.⊙O的半径为1cm B.A、B两点间的距离为1cm C.点P的运动速度为 3 cm/s D.∠AOB的度数为60° 10.（2026河南南阳一模)不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一 个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O),己知帽子的 边缘PA,PB分别与⊙O相切于点A、B,若该圆半径是1，∠P=60°，则图中阴影部分的面积是() 777777777777777 777777777777777 图① 图② A8-号 B.43-4n c.3 3 D.23- 11.(2026河南商丘一模)如图，‘在⊙O中，∠OCB=25°，A,B,C三点均在圆上，AB=CB,则 B的度数为() B A.30° B.45° C.50° D.60° 12.(2026河南开封二模)崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形 几何模型，部分尺寸（单位：m)如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：mm)为(） 9/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -10> 图① 图② A.144π-100B.144π-10 C.169π-10 D.169π-100 13.(2026河南驻马店·二模)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠1=160°，则 ∠BCD的度数为()· D A.80° B.100° C.110° D.120° 14.(2026河南郑州二模)如图，AB是⊙O的直径，则∠1+∠2+∠3=() E 2 3 0 F A.如90 B.85o C.80° D.70 二、填空题 15.(2026河南平顶山一模)如图，AB是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，OC与⊙O交于点D,与AB交 于点E,∠BEC=75°，若OC⊥OA,OA=2,则图中阴影部分的面积为 B 0 10126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙O的弦，∠AOB=90°，若OA=4,则AB的长为 0 B 17.(2026河南商丘.一模)如图，在正方形ABCD中，分别以点C,D为圆心，CD的长为半径画BD, AC,两弧相交于点E.若CD=6,则阴影部分的面积为 (结果保留π)· D B 18.(2026河南鹤壁一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=42,以B为圆心，分别以AB, BC的长为半径画弧，与BC、AD分别交于点E、F,则图中阴影部分的面积为 19.(2026河南三门峡.一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点B为圆心，以BA长为半径画 弧，交BC于点D,以CD为直径画半圆O,交AC于点E.若点D为BC的中点，AB=1,则图中阴影部分 的面积为 B D 20.(2026河南南阳一模)如图，点O,E为四边形ABCD的边AB上的点，以点O为圆心，OE长为半 径的⊙O经过点D,且与BC边相切于点C,连接CE,DE,BD.若∠CED=45°，DC=22, BC=4,则阴影部分的面积为_ 11/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 21.(2026河南省直辖县级单位一模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23,点C在OB 上，且OC=AC.以AC为边向右作菱形ACDE,使顶点D落在OB的延长线上，则图中阴影部分的面积 为 (结果保留π)· BD 22.(2026河南平顶山一模)如图，△ABC在以AB为直径的⊙O内，AC=BC=3,点C在⊙O上，以 点C为圆心的扇形ABC恰在⊙O内，则阴影部分的周长为 (结果保留π和根号) B 23.(2026河南新乡一模)中国古代的铜钱截面形状是外圆内方：古人认为圆为天之形，方为地之态， 圆象征着平等、包容、和谐的道，方象征着尊卑有序、松紧有度、远近有别的理.如图，小明测得一枚铜 钱⊙O的直径为4Cm,正方形孔洞ABCD的顶点A和C恰是⊙O直径MN的三等分点，则该铜钱（阴影 部分)的面积是 cm2.(结果保留π) 24.(2026河南洛阳一模)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D均在网格线 的交点上，设经过A,B,C三点的圆弧与CD相交于点E,则图中阴影部分的面积·（结果保留π） D 25.(2026河南周口一模)我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边 12126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长为2，则该圆的阴影部分面积为 ·0 26.(2026河南南阳一模)定义：底角为30的等腰三角形叫做“琥珀三角形”.如图，CA与⊙O相切 于点A,CO交⊙O于点B,BC=OA,CA=63,点P为线段CA上一点，若△BCP为“琥珀三角形”， 则CP的长为 A 27.(2026河南漯河一模)如图，⊙O的半径为1，点A为⊙O上一点，点P为⊙O外一点，线段OP与 ⊙O交于点B,过点B作CB⊥OB,点C在线段PA上，且CB=CA.若PA=2√2，则劣弧AB所对的圆周 角的正切值为. O. 28.(2026河南郑州一模)如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点A-1,5,B1,5,C3,3,点D 在X轴正半轴上，若直线CD与该圆弧相切，则点D的坐标为 B 29.(2026河南周口一模)如图，扇形AOB是某湿地公园扇形绿化区域示意图，∠AOB=60°， OA=6,则阴影部分的面积为一· 13126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 30.(2026河南濮阳一模)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=12,点O在边BC上， 以O为圆心，OC的长为半径的圆与边AC交于点D,与边AB相切于点E.则⊙O的半径长是 E D 31.(2026河南三门峡.一模)如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部 分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A,B,量得 AB的长是7cm,则剩余部分的面积是 cm2. 0 32. (2026河南周口一模)如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点A,且分别与边BC,CD相切于点B,D 若AB=3,则阴影部分的面积为 D 33.(2026河南周口.一模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点0在AB上，以点0为圆心，OA长为 半径的半圆分别交AC,AB于点D、F,半圆与BC相切于点E,若BE=2,则图中阴影部分的周长为 （保留π)· 14126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(2026河南平顶山·二模)传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用， 中国门环也常被称为铺首或门钱，但严格说来铺首和门钱只是不同形式的门环底座.如图是一边长为9m 的正六边形门环底座示意图，门环⊙O与正六边形ABCDEF的一条对角线AD相切于点M,同时也分别 与边AB和CD相切于点B和点C,则图中阴影部分的周长为 cm. E A D 35.(2026河南濮阳·二模)图1是直径AB为4的半圆O,C是半圆的中点，将扇形AOC向右平移至图 2位置，两弧交于点P,则图中阴影部分的面积是 B O(A)B(O) 图1 图2 36. (2026河南安阳·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠A=60°，以点B为圆心，一定长度为 半径画弧与AD,CD分别相切于点G,H,与AB,BC分别相交于点E,F,则阴影部分的面积为 D G H A E 37.(2026河南洛阳·二模)如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若 AB与CD所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的周长为· 38.(2026河南驻马店·二模)如图，等边三角形ABC的边长为43，点D是BC的中点，以点D为圆心， 15126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC的长为半径画半圆与等边三角形ABC的边相交，则阴影部分的面积为 三、解答题 39.(2026河南鹤壁一模)已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B. C C M A A ① ② 1)如图①.若∠BAC=22.5°，求∠AMB的大小. (2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小. 40.(2026河南平顶山一模)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径. B (①)尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①作AD平分∠BAC,交⊙O于点D: ②过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E: 2)在(1)的条件下，求证：DE是⊙O的切线， 41.(2026河南三门峡.一模)如图1，是郑州某海洋公园摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为60m的 ⊙O,其上的某个座舱可视作⊙O上的点A,座舱距离地面的最低高度BC为12m,地面l上的观察点D 到点C的距离DC为96m,平面示意图如图2所示.当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的 距离.（结果保留-位小数，参考数据：an36.87°≈三，sin66.87°≈0.92,3≈1,73） 16126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 B D C 图1 图2 42.(2026河南平顶山一模)如图，△ABC是圆内接三角形，AB为圆的直径. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹，不写作法)· (2)过点O的直线MN交BC的延长线于点E,D为边AC的中点，连接OD,OC,DE.若BC=2CE,求 证：四边形OCED是平行四边形. 43.(2026河南三门峡.一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交AC,BC于 点D,E,过点E作直径EF,过点F作OO的切线，交BA的延长线于点G. D G (I)求证：AC‖EF; ②若os∠BAC=子AG=1,求BC的长 44.(2026河南漯河一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AD为直径的圆经过A,B,C三点. B 17126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AC的中点为E,直线OE与BC交于点F,AD=4V3,∠BAC=120°，求线段CF的长. 45.(2026河南漯河一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆M分别与X轴、y轴相切于点 A,B,CD是半圆M的直径，CD=10,反比例函数y=kk≠01的图象与CD交于点E3.2m+2,与AD 交于点F9,m. y个 (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积. 46.(2026河南·一模)如图1，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AE=CD,AD=EC. 图1 图2 (I)求证：四边形ADCE为菱形： (②)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线DF‖AC,交BC于点F(保留作图痕迹，不写作法)： 3)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在⊙0上，CD与⊙O相切于点D,则⊙O 的半径r= (直接写出答案，不说明理由) 47.(2026河南省直辖县级单位一模)如图，已知△ABC内接于⊙O,AB=AC. I)请用无刻度的直尺和圆规过点A作⊙O的切线AM,且点M在直线AB的右侧.（保留作图痕迹，不写 18126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作法) (2)在(1)的基础上，射线AM上有一点D,满足AD=BC,连接CD交⊙O于点F,判断四边形ABCD的 形状，并说明理由： (3)在(2)的基础上，连接AF,若AF=8,求BC的长， 48. (2026河南平顶山一模)如图，△ABC中，∠ABC=30°，⊙O的直径CD在BC上，AB与⊙O 相切于点A. (1)用尺规作图作∠ECB=∠ACB交⊙O于点E,连接BE.(保留作图痕迹，不写作法) (2)判断四边形ABEC的形状，并说明理由. 49.（2026河南新乡一模)【跨学科活动】纳米是长度单位，1纳米等于十亿分之一米，相当于头发丝直 径的六万分之一，处于原子尺寸（约0.1m)与微观物质之间的过渡尺度.该单位应用于0.1~100纳米范 围的纳米科学与技术领域，涵盖纳米电子学、纳米材料学等交叉学科，其材料因表面效应、小尺寸效应等 特性表现出独特物理化学性质.例如纳米材料的衣服不仅防紫外线和抗菌防霉，而且防污耐用，尤其防水 具有超疏水性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质，水滴越趋近于球形，疏水性越强.材料疏水性 的强弱常用接触角的大小来描述，如图1是水滴（球或球的一部分）与材料面1接触截面图，图上点A、 点B是水滴与材料的接触点，PA切⊙O于点A,∠PAB即为接触角. D O。 图1 图2 【动手操作】 (1)①请画出图2中水滴（弓形ADB)的接触角∠PAB,点O为弧ADB的圆心.（保留作图痕迹，不写 作法) ②结合图1和图2判断；材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”) 【实践探究】 (2)实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度CD和AB的长度(CD⊥AB),求出∠DAB的度数，进 而求出接触角∠PAB的度数.请探索图1中接触角∠PAB与∠DAB之间的数量关系（用等式表示），并 19/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 说明理由， 【拓展延伸】 3)材料的疏水性还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何 变化. 50.(2026河南洛阳一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径 (1)请用无刻度的直尺和圆规在劣弧AC(小于半圆的弧叫做劣弧)上作一点D,使AD=CD(保留作图痕 迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若∠A=30°，连接OD,CD.求证：四边形BCDO是菱形. 51.(2026河南商丘一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点A,与X轴交于B,C 两点，D为BC的中点，反比例函数y=k(x<0)的图象经过圆心P-a-1,2和点Q-3a,1 (1)求反比例函数的表达式。 (2)求AD的长， 52.(2026河南周口一模)如图所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的 切线，切点为C,连接AC,BC 20126 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠BAC=∠BCP; (②)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的角平分线交AC于点D.你认为∠CDP的大小是否会发生变 化？若变化，请说明理由：若没有变化，求出∠CDP的大小. 53.(2026河南南阳一模)如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径AB是河底截线，弦CD是水位线， CD‖AB,测得水面宽CD=24m,拱顶到水面CD的距离是8m(即CD的中点到线段CD的距离)· D B (1)在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O. (2)求此时水位的高度（即线段CD与AB之间的距离）. (3)货轮从桥洞正中间通过此桥洞，EF为船身宽，为保证安全，要求点E,F与其正上方拱桥线上的对应点 G,H的距离均应不小于1m.已知该货轮露出水面部分的高度为6.2m,EF=10m,请通过计算判断该货 轮能否安全通过该桥洞. 54.(2026河南南阳一模)如图是一张半圆形纸片，AB是其直径，C是半圆O上一点，将纸片沿直线 AC翻折后，交直径AB于点D.若点D恰好落在点O处. O(D) (1)尺规作图：在图中作出点D折叠前的对应点E(保留作图痕迹)； ②)分别连接AE、CE、CD,BE,BE与AC、CD分别交于点R、G,求F GB 的值 55.(2026河南平顶山一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是圆上两点（在直径AB两侧），连接 AC,BC,AD,BD,如果∠BAD=45°，AC:BC=4:3,连接CD交圆的直径AB于点M. B D (I)求证：CD平分∠ACB: 21126 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知AB=15,则： ①计算CM长度： ②直接写出CD的长度. 56.(2026河南郑州·一模)如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方的⊙O上一点，AB=10,AC=6】 B Q)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在AB下方的⊙O上确定一点D,使AD=BD (保留作图痕迹，不 写作法)· (②)在(1)中得到的图形中，连接CD,求∠ACD的度数和CD的长。 57.(2026河南周口一模)如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC=BC,点D在劣弧 BC上，CE⊥CD交AD于E,连接BD C B I)求证：△ACE≌△BCD. (2)若CD=2,BD=32,求⊙0的半径. 58.(2026河南商丘.一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°. A (1)求作：⊙O,使⊙O经过A,C两点，且圆心落在BC边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作 法) (2)求证：AB是(1)中所作⊙O的切线. 59.（2026河南开封一模)数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进 22126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 行探究.已知⊙O及⊙O外一点P.求作过点P的⊙O的一条切线.启智组、创新组提出的作图方案如下： 1 启智组：如图，连接OP,分别以O,P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧分别相交于C,D两点， 作直线CD交OP于点A.再以点A为圆心，AP的长为半径作圆，交⊙O于点E,F,连接PE,则PE为 ⊙O的切线， 创新组：连接PO交⊙O于点A,延长PO交⊙O于点B.以P为圆心，PO的长为半径画弧，以O为圆心， AB的长为半径画弧，两弧交于点C,连接OC交⊙O于点D,连接PD.则PD为⊙O的切线， 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明 60.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D,AC平分 ∠DAB D E (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AD=4,AC=5,求⊙O的直径AB的长， 61.(2026河南一模)如图1和图2，△ABC是等边三角形. A 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出△ABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹，不写作法) ②点P在AC上（点P不与点、小C重合），在图2中连接PA PB PC,求证：PB=PA+PC 23126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 62.(2026河南开封一模)如图，在△ABC中，∠C是钝角. C B (1)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于点O,以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点 D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CD,若BC是⊙O的切线.求证：∠BCD=∠A. 63.(2026河南信阳一模)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠B=30°. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出AB的垂直平分线，与BC交于点D,以D为圆心，BD长为半径画圆（保 留作图痕迹，不写作法)· (2)判断(1)所作圆与AC的位置关系，并说明理由. 64.(2026河南周口·模拟预测)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车⊙O按逆时 针方向，每秒钟转3°，筒车与水面分别交于A,B.AB=4V3m,筒车的轴心0距离水面的高度OC长 为2m,筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. M 水面 图1 图2 (1)求筒车⊙O的半径： (2)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M.MO=20m,求盛水筒P从最高点开始， 至少经过多长时间恰好在直线MN上？（参考数据sin12°=cos78°≈0.2，sin6°=cos84°≈0.1） 65。(25-26九年级下-江苏盐城阶段检测)如图，扇形0PN为某运动场内的投区，PN所在圆的圆心为 O:AB、N、O在同一直线上.直线AP与PN所在⊙0相切于点P,此时测得∠PAO=45:从点A 处沿A0方向前进8米到达B处.直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q,此时测得∠QBO=60, 24126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45以60° B N (1)求圆心角∠PON的度数： ②)求PY的弧长.（结果保留π和根号) 66. (2026河南新乡·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与X轴，y轴交于点A,B,与反比 例函数y=kX>0的图象交于点C,且点B为AC的中点.已知点A的坐标为-1,0点B的坐标为0,1.以 X C为圆心，BC长为半径画弧，交反比例函数的图象于点D2,a. VA D (1)求反比例函数的表达式： (2)求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 67.(2026河南周口·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点E,交⊙O于点 D,连接CD、AD B (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)若AB=10,AC=8,求CD的长 68.(2026河南周口·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC、OC,OE⊥OC, 25/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接BE,∠E=2∠ABC. (1)求证：BE是⊙O的切线： ②)CD⊥AB于点D,若BE=3'⊙O的半径为4，求OD的长. 69. (2026河南南阳二模)如图，已知一次函数y,=kx+2的图象与反比例函数y,=人的图象交于点 K A(m,-1),且与y轴交于点B,第一象限内的点C在反比例函数y2=二的图象上，且以点C为圆心的圆与 X X轴、y轴分别相切于点D,B. y 1)求B、C两点的坐标： (2)求以上两个函数的解析式： (3)请直接写出图中阴影部分的面积. 26126 专题07 圆 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01利用垂径定理求值 圆的基本性质核心考点，3-7分；题型：选择、填空、解答；2022-2026年每年必考，常融入圆的综合大题第一问 核心考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧）；常结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；易错点为"平分弦的直径垂直于弦"中弦不能是直径；常作辅助线：连半径、作弦心距构造直角三角形；是圆中线段计算的基础工具 考点02 圆周角 高频必考考点，3-7分；题型：选择、填空、解答；2022-2026年每年必考，圆综合题必涉及 核心考查圆周角定理（同弧圆周角等于圆心角一半）；两大重点推论：直径所对圆周角是直角（90°）、同弧所对圆周角相等；常与圆心角、圆内接四边形结合考查角度计算；是圆中角度推导的核心工具；见直径想直角为常用解题思路 考点03 切线的性质定理 6年6考，超高频必考；题型：填空、解答大题；分值：3-10分；2022-2026年连续考查，每年圆综合大题必考 切线性质6年6考，是圆综合题的核心考点；核心性质：切线垂直于过切点的半径（连半径得垂直）；常考切线判定证明（连半径证垂直）；常结合"割圆术""滚铁环"等实际情境命题；圆综合题第1问常考切线证明，第2问结合相似、勾股求线段长；是中档压轴核心，区分中档生与优等生 考点04 圆内接四边形 常考考点，多融入综合题；题型：选择、填空、解答小问；分值：3分左右；2022-2026年多数年份考查 核心性质：对角互补、外角等于内对角；常与圆周角定理结合考查角度计算；多作为圆综合题的一个小问或中间推导步骤；难度较低，属基础得分点；常与等腰三角形、相似三角形结合命题 考点05 弧长和扇形面积 弧长8年2考，扇形面积8年6考（高频）；题型：填空、解答；分值：3-5分；近5年4考扇形面积，2026年第10题选择压轴结合切线性质考弧长 扇形面积计算为高频考点，弧长计算偶考；常考阴影部分面积计算（和差法、割补法、等面积转化法）；常结合旋转、折叠、切线综合命题；圆锥侧面积计算为常考变形题型；公式记忆为基础，关键是不规则图形面积转化技巧；常出现在选择压轴或填空题位置 考点01 利用垂径定理求值 1．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 考点02 圆周角 2．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 3．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 4．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 5．（2023·河南·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 考点03 切线的性质定理 6．（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 7．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 【答案】(1)证明：⊙O与水平地面相切于点C， ， ， ， AB与⊙O相切于点B， ， ， 过点作， ， ， ， 即∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)50 cm 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证； （2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点， ，则四边形是矩形， ， ， ， 在中， ，， （cm)， 在中，，cm， (cm)， (cm)， (cm)， cm， (cm)． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 考点04 圆内接四边形 9．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 10．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 11．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转规律及中心角得到第4次旋转结束时点B的对应点为点D，连接，根据等边三角形的判定和性质得到是等边三角形，根据三角函数求出，，即可得到答案． 【详解】解：∵每次旋转，，， ∴第2026次旋转结束时点B的对应点与第4次旋转结束时点B的对应点相同， ∵正六边形中心角为， ∴第4次旋转结束时点B的对应点为点D， 如图，连接， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 即点B的对应点的坐标为． 2．（2026·河南平顶山·一模）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 3．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 4．（2026·河南·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余求出，再利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与半圆相切于点为直径， ∴． ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴半径， ∴的长为． 5．（2026·河南南阳·一模）小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形半径，据此列方程即可求出底面半径 【详解】解：根据弧长公式，计算展开扇形的弧长， ， ， 设圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为， 圆锥底面周长等于展开扇形的弧长， ， 解得， 即底面半径为． 6．（2026·河南平顶山·一模）如图，正方形的边长为2，连接对角线，延长到点F，使得，过点F作于点E，交于点O．以点C为圆心，为半径画弧，可以发现这条弧经过点B，连接，则由和围成阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的性质得，再结合求出，进而得出，接下来求出，及，然后求出由和围成的面积，再求出，最后将两个面积相加得出答案． 【详解】解：正方形中，是对角线， ， ， ． 又 ． 在中， ． 又 由和围成的面积 ． 在中， 由和围成的阴影部分的面积是． 7．（2026·河南南阳·一模）如图，平行四边形的顶点、、在上，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】连接，可得平行四边形是菱形，和都是等边三角形，可得．因此或． 【详解】连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴． 又， ∴和都是等边三角形， ∴． ∴． 若在优弧上：则； 若在劣弧上：则． ∴的度数为或． 8．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C、D在上， ，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义求得的度数，再根据平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质得，最后由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·河南南阳·一模）如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（   ） A．的半径为 B．A、B两点间的距离为 C．点P的运动速度为 D．的度数为 【答案】C 【分析】由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判断A正确；根据当时，点P到达点B处，此时，可判断B正确；根据点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，求出速度可判断C错误；根据当点P运动到点B时，，可判断D正确． 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故A选项正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故B选项正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故C选项错误，符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故D选项正确，不符合题意． 10．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得，再说明，可得，，接下来根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 11．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 12．（2026·河南开封·二模）崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． 13．（2026·河南驻马店·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，求出的度数． 【详解】解：已知， 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， 得， 又四边形是的内接四边形， 根据圆内接四边形对角互补，即， ． 14．（2026·河南郑州·二模）如图，是的直径，则（     ） A．如 B． C． D． 【答案】A 【分析】确定所对的弧，利用圆周角定理将角的和转化为圆心角的和进行求解. 【详解】解：连接， 由图可知，是所对的圆周角，是所对的圆周角，是所对的圆周角， ∴， 是的直径， ， ， . 二、填空题 15．（2026·河南平顶山·一模）如图，是的弦，是的切线，与交于点D，与交于点E， ， 若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】如图：连接，根据对顶角相等求出，在中求出，利用等腰三角形性质求出，进而求出，根据切线性质得到，解直角三角形求出，最后利用即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2026·河南周口·一模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 17．（2026·河南商丘·一模）如图，在正方形中，分别以点 C，D 为圆心，的长为半径画，，两弧相交于点E．若，则阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】 【分析】先连接、，由题意可知，判断为等边三角形，得出；再计算扇形的圆心角为，求出扇形的面积和扇形的面积，然后计算出的面积，最后得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接、，如图， 因为以点C、D为圆心，长为半径画弧， 所以， 所以是等边三角形， 所以； 因为扇形的圆心角为， 所以扇形的面积为， 所以扇形的面积为； 因为是等边三角形， 所以面积为， 所以阴影部分面积为： ． 18．（2026·河南鹤壁·一模）如图，在矩形中，，，以为圆心，分别以，的长为半径画弧，与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，勾股定理等，掌握相关的性质是解题的关键． 连接，交弧于点，由勾股定理先求出的长度，得到，然后分别求出，，，即可． 【详解】解：如图，连接，交弧于点， 由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 19．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点D，以为直径画半圆O，交于点E．若点D为的中点，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作，由题意易得，则有，然后可得，，进而根据割补法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴在中，，， ∴， 取的中点，连接，过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20．（2026·河南南阳·一模）如图，点O，E为四边形的边上的点，以点O为圆心，长为半径的经过点D，且与边相切于点C，连接，，．若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】连接，，计算出半径和，结合切线性质证明，得到，再用割补法表示阴影面积即可． 【详解】解：如图，连接，，则， ， 与相切于点C， ， ， ∴， ． 21．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，在扇形中，，，点C在上，且．以为边向右作菱形，使顶点D落在的延长线上，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据扇形面积的计算得到，根据题意得到，根据含30度角的直角三角形，余弦值的计算得到，由此算出四边形的面积，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点A作于点F， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为： ． 22．（2026·河南平顶山·一模）如图，在以为直径的内，，点在上，以点为圆心的扇形恰在内，则阴影部分的周长为______．（结果保留和根号） 【答案】 【分析】先证明，求解，进一步求解即可． 【详解】解：∵为直径，， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 23．（2026·河南新乡·一模）中国古代的铜钱截面形状是外圆内方：古人认为圆为天之形，方为地之态，圆象征着平等、包容、和谐的道，方象征着尊卑有序、松紧有度、远近有别的理．如图，小明测得一枚铜钱的直径为，正方形孔洞的顶点A和C恰是直径的三等分点，则该铜钱（阴影部分）的面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】由题意，利用圆的面积公式及正方形的面积公式列得代数式即可； 【详解】解：由题意得，即正方形的对角线长为， 阴影部分的面积为． 24．（2026·河南洛阳·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，设经过三点的圆弧与相交于点，则图中阴影部分的面积_____．（结果保留） 【答案】 【分析】设的中点为点O，连接，可证明是经过三点的圆的直径，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，则可得到为的中点，由三角形中位线定理得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设的中点为点O，连接， 由网格的特点可得， ∴是经过三点的圆的直径， ∴，即， 由网格的特点和勾股定理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 25．（2026·河南周口·一模）我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 【答案】/ 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，根据阴影面积圆的面积−正六边形的面积即可得出结果． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，连接,则，作于点，则， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 即的半径为2， ∴ ∴，的面积为， ∴， ∵正六边形可分为六个边长为2的等边三角形， ∴正六边形面积为． ∴阴影面积为． 26．（2026·河南南阳·一模）定义：底角为的等腰三角形叫做“琥珀三角形”．如图，与相切于点，交于点，点为线段上一点，若为“琥珀三角形”，则的长为______________． 【答案】或 【分析】先利用切线的性质结合已知条件求出的长度和的度数，再根据琥珀三角形的定义分情况讨论等腰三角形的构造，分别计算的长度即可． 【详解】解：因为与相切于点，所以，即， 设的半径为，由，得， 又， 所以， 在中，由勾股定理得：， 代入已知条件得：， 整理得， 解得， 所以，且，因此， 因为是底角为的等腰三角形，分两种情况讨论： 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 在中，， 由等腰三角形三线合一得， 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 由等腰三角形三线合一得， 在中，， 所以， 两种情况的点都在线段上，符合题意， 27．（2026·河南漯河·一模）如图，的半径为1，点为上一点，点为外一点，线段与交于点，过点作，点在线段上，且．若，则劣弧所对的圆周角的正切值为_____． 【答案】 【分析】连接，反向延长交圆于D，连接，可知劣弧所对的圆周角为，证明，得到，，结合圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角函数求出，进而求出，求出的值，即可求出劣弧所对的圆周角的正切值． 【详解】解：如图，连接，反向延长交圆于D，连接， 可知劣弧所对的圆周角为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧所对的圆周角的正切值为． 28．（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点，，，点在轴正半轴上，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心F的坐标，设，则可表示出、和的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为F， 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心，设， 由题意可知，，， ∵与圆相切， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 29．（2026·河南周口·一模）如图，扇形是某湿地公园扇形绿化区域示意图，，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在扇形中，，， ， ，， 是等边三角形，即， ， ，则， ， 阴影部分的面积为． 30．（2026·河南濮阳·一模）如图，在中，，，，点在边上，以为圆心，的长为半径的圆与边交于点，与边相切于点．则的半径长是__________． 【答案】4 【分析】连接，由切线的性质得到，则可得到，进而得到，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长是4． 31．（2026·河南三门峡·一模）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点，，量得的长是，则剩余部分的面积是________． 【答案】 【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积． 【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为， 切线平行于大圆直径且与小圆相切， 大圆圆心到切线的距离等于小圆半径， 设的中点为，连接， 则，，， 在中， 由勾股定理得：， ， 剩余部分的面积为 ． 32．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质求出相关角的度数，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由切线长定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 33．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的半圆分别交于点D、F，半圆与相切于点E，若，则图中阴影部分的周长为______（保留π）． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，进而得出，即可求出弧的长度，最后根据得出答案． 【详解】解：如图，半圆与相切于点E，连接，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 弧的长度为=， ∴阴影部分的周长为． 34．（2026·河南平顶山·二模）传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用，中国门环也常被称为铺首或门钹，但严格说来铺首和门钹只是不同形式的门环底座．如图是一边长为的正六边形门环底座示意图，门环与正六边形的一条对角线相切于点M，同时也分别与边和相切于点B和点C，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】先由正六边形内角和得每个内角为，结合切线性质、，推得；再在中用三角函数求得圆半径，算出弧的圆心角为，弧长为，加上，得阴影周长． 【详解】解：由题意得，正六边形的内角和为， ∴每个内角为， 连接、，过点作于点，如图， ∵与相切于点， ∴，即， 同理可得，，即， ∴，， 在中，， ∵正六边形边长，且， ∴， ∴在中， 解得， ∵， ∴弧对应的圆心角为， ∴， ∴． 35．（2026·河南濮阳·二模）图1是直径为4的半圆，是半圆的中点，将扇形向右平移至图2位置，两弧交于点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，作于点D，先求出，从而求出，再求出，可求出弧和线段以及围成的空白部分的面积，可求出，进而可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接，作于点D． ∵直径为4， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∴弧和线段以及围成的空白部分的面积是：， ∴， ∵， ∴ ∴． 36．（2026·河南安阳·二模）如图，在菱形中，，，以点为圆心，一定长度为半径画弧与，分别相切于点，，与，分别相交于点，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，在 中利用锐角三角函数求出的长及的度数，根据 求解即可． 【详解】解：连接 弧与分别相切于点 四边形是菱形， ， ∴等边三角形 ∵， ∴， 在 中，， ， 扇形的半径为 ， 同理可得， 由对称性可得， ∴ ． 37．（2026·河南洛阳·二模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】由网格可得出，，，，根据弧长公式求出和，最后根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：由网格可知，， ∴的长：， 由网格可知，， ∴的长：，， 由网格可知， ∴阴影部分的周长为． 38．（2026·河南驻马店·二模）如图，等边三角形的边长为，点D是的中点，以点D为圆心，的长为半径画半圆与等边三角形的边相交，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，则是等边三角形，然后根据求解，同理求解，即可求解阴影部分的面积 【详解】解：连接，过点作于点 ∵等边三角形的边长为，点D是的中点， ∴，， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， 同理可求 ∴阴影部分的面积． 三、解答题 39．（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． (1)如图①．若，求的大小． (2)如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）根据切线的性质，得到，进而求出的度数，切线长定理，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）连接、，证明四边形是菱形，证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：切于点， ， ． ， ∴． 、分别切于点、， ， ， ． （2）解：如图，连接、， ，， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形， ． 为直径，， ∴弧弧， ． ，， ， 是等边三角形， ． ∴在菱形中，． 40．（2026·河南平顶山·一模）如图，为的内接三角形，为的直径． (1)尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①作平分，交于点D； ②过点D作，交的延长线于点E； (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． 【答案】(1)和如图所示： (2)证明：证明：如图，连接． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴． ∵为半径， ∴是的切线． 【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②根据垂线的作法作图即可； （2）连接，根据角平分线的定义及等边对等角得到，可知，根据垂线的定义得到，可知，即可证明是的切线． 【详解】（1）解：略 （2）证明：略 41．（2026·河南三门峡·一模）如图1，是郑州某海洋公园摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点A，座舱距离地面的最低高度为，地面l上的观察点D到点C的距离为，平面示意图如图2 所示．当视线DA与相切时，求点A处的座舱到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】点A处的座舱到地面的距离约为． 【分析】要计算A处到地面的距离，思路是连接半径，作垂线构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求出相关线段长度与角度，进而计算A到地面的垂直距离． 【详解】解：如图①，连接，，过点作，垂足为． 根据题意可知，． 在中，，，即， ， 在中，， ． 与相切， ， ． 在中，， ， ， ， ， 在中，． 故点A处的座舱到地面的距离约为． 42．（2026·河南平顶山·一模）如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：点即为所求， (2)证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 43．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，过点E作直径，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若 ，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可求证； （2）连接，由题意易得，，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 44．（2026·河南漯河·一模）如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，M，则直线是的垂直平分线，交于点O，则点即为所求； （2）连接，，，先说明，即可得出，可得进而求出，再说明为等边三角形，即可得出，然后求出，最后解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，连接，，， ∵是的直径， ∴． 在与中， ． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ． 的中点为 ∴直线垂直平分 ∴， 在中， ． 45．（2026·河南漯河·一模）如图，在平面直角坐标系中，半圆分别与轴、轴相切于点是半圆的直径，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值，进而得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）连接，可得四边形是正方形，得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵半圆分别与轴、轴相切于点， 轴，轴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ． 46．（2026·河南·一模）如图1，在中，D是斜边的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)请在图1中，用无刻度的直尺和圆规作射线，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图2，若点O为上一点，，且E，A，D三点均在上，与相切于点D，则的半径________．（直接写出答案，不说明理由） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合已知条件，证得，即可得证结论； （2）运用尺规作图的方法，作，根据平行线的判定得到； （3）连接，由得到，由得到，从而根据三角形的外角的性质得到，再由切线的性质得到，从而，即可求得，因此，据此列出关于r的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，即为所求， （3）解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为r，即， ∴， ∴， 解得． 47．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，已知内接于，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的切线，且点M在直线的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，射线上有一点D，满足，连接交于点F，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形ABCD为平行四边形，理由见解析 (3)8 【分析】（1）连接并延长，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点R,T,分别以点R，T为圆心，以大于为半径画弧交于点M，过点A，M作直线即可； （2）连接，延长交于点E，结合题意，及垂径定理的推论得到，由切线的性质得到，再根据平行四边形的判定和性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质得到，，根据圆内接四边形的性质得到，由此得到． 【详解】（1）解：如图所示，直线为的切线． （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 如图，连接，延长交于点E， 在中，， ∴， ∵是的切线，点A在圆上， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（2026·河南平顶山·一模）如图，中，，的直径在上，与相切于点． (1)用尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）尺规作图，作出，交于点，连接，即可解答； （2）连接，交于点，先推导出，得到，则，，进而推导出，且，可得到，证明四边形是平行四边形，再根据，得到四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，，点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接，交于点， 与相切于点， ， ， ， ， ∴，， 为的直径， ，且， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 49．（2026·河南新乡·一模）【跨学科活动】纳米是长度单位，1纳米等于十亿分之一米，相当于头发丝直径的六万分之一，处于原子尺寸（约）与微观物质之间的过渡尺度．该单位应用于0.1～100纳米范围的纳米科学与技术领域，涵盖纳米电子学、纳米材料学等交叉学科，其材料因表面效应、小尺寸效应等特性表现出独特物理化学性质．例如纳米材料的衣服不仅防紫外线和抗菌防霉，而且防污耐用，尤其防水具有超疏水性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质，水滴越趋近于球形，疏水性越强．材料疏水性的强弱常用接触角的大小来描述，如图1是水滴（球或球的一部分）与材料面l接触截面图，图上点A、点B是水滴与材料的接触点，切于点A，即为接触角． 【动手操作】 (1)①请画出图2中水滴（弓形）的接触角，点O为弧的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） ②结合图1和图2判断；材料的疏水性随着接触角的变大而______．（选填“变强”“不变”“变弱”） 【实践探究】 (2)实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和的长度（），求出的度数，进而求出接触角的度数．请探索图1中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【拓展延伸】 (3)材料的疏水性还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】(1) ①如图所示： ②变强 (2)，理由： 由题可知，是的切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)疏水性随的增大而增强 【分析】（1）连接并延长，过点作，则为的切线，故即为接触角；由题意可知，接触角越大，水滴在空气中的部分越多，即可得到答案； （2）由题意可得，再根据等边对等角得到，求出，即可得到结论； （3）根据水滴弧的长度与其所在圆的半径的比较来描述即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：水滴弧的长度为， ， 故疏水性随的增大而增强． 50．（2026·河南洛阳·一模）如图，是的外接圆，且为的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规在劣弧（小于半圆的弧叫做劣弧）上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 如图所示： (2) 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在（1）的条件下，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）分别以、为圆心为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则垂直平分，由垂径定理即可得到； （2）连接，由为的直径和，得到，再证明和是等边三角形，即可得到，则四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 51．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于，两点，为的中点，反比例函数（）的图象经过圆心和点． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据反比例函数的性质得到，求出a的值，进而求出k的值即可； （2）连接，，，，，，根据切线的性质定理得到轴，根据为的中点，得到，即，可知垂直平分线段，则轴，可知，根据点得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：点和点是反比例函数（）图象上的两点， ， 解得， ∴． 反比例函数的表达式为（）． （2）解：如图，连接，，，，，． 与轴相切于点， 轴． 为的中点， ． ． 又， 垂直平分线段． 轴． ． ∵， ∴点， ． 的长为． 52．（2026·河南周口·一模）如图所示，是的直径，点P是延长线上的一点，过点P作的切线，切点为C，连接． (1)求证：； (2)若点P在的延长线上运动，的角平分线交于点D．你认为 的大小是否会发生变化?若变化，请说明理由：若没有变化，求出的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)不发生变化，. 【分析】（1）连接根据切线的性质证明，根据圆周角定理得到，则，进一步证明，即可得到结论； （2）求出的度数即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：的大小不发生变化， ∵，，，， ． 53．（2026·河南南阳·一模）如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径是河底截线，弦是水位线，，测得水面宽，拱顶到水面的距离是（即的中点到线段的距离）． (1)在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O． (2)求此时水位的高度（即线段与之间的距离）． (3)货轮从桥洞正中间通过此桥洞，为船身宽，为保证安全，要求点E，F与其正上方拱桥线上的对应点G，H的距离均应不小于．已知该货轮露出水面部分的高度为，，请通过计算判断该货轮能否安全通过该桥洞． 【答案】(1)见解析 (2) (3)该货轮不能安全通过该桥洞 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）连接，过点O作交于点M，交于点N，求出，．设，则． 在中，由勾股定理列方程并解方程即可； （3）连接，，交于点P，求出，，根据线段的和差即可求出答案． 【详解】（1）解：圆心O如图所示．                 （2）解：如图（2），连接，过点O作交于点M，交于点N， 则，．                 设，则． 在中，由勾股定理， 得，即， 解得，即此时水位的高度为．                 （3）如图（2），连接，，交于点P， 则，， ， ， ， ∴该货轮不能安全通过该桥洞． 54．（2026·河南南阳·一模）如图是一张半圆形纸片，是其直径，是半圆上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径AB于点．若点恰好落在点处． (1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点（保留作图痕迹）； (2)分别连接、、、，与、分别交于点F、G，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上取一点，使，根据菱形的性质即可求解． （2）利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得四边形是菱形；证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∵折叠，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点即为折叠前点的对应点； （2）连接 是点关于直线AC的对称点， ∴四边形是菱形 ， ， ， 同理， ． 55．（2026·河南平顶山·一模）如图，是的直径，点，是圆上两点（在直径两侧），连接，，，，如果，，连接交圆的直径于点． (1)求证：平分； (2)已知，则： ①计算长度； ②直接写出的长度． 【答案】(1) 证明：是的直径，点，在上， ， 又， ， ， ， 平分； (2)①；② 【分析】（1）根据圆周角定理可知，又因为，所以，可证，从而可证平分； （2）①过点作于点，于点，可得四边形是正方形，根据可以求出的正切和正弦，利用三角函数可以求出，，根据三角形的面积公式可以求出，根据正方形的性质可以求出的长度； ②连接，过点作垂直于点，则，可证，根据相似三角形的性质可得，根据即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）①解：如下图所示，过点作于点，于点， 则四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ，， 在中，， ， ， ， 在正方形中，对角线； ②解：如下图所示，连接，则， ， 过点作垂直于点，则， 在等腰直角三角形中．点为直径的中点， ， 在中，， 在和中，，， ， ， ， 又， ． 56．（2026·河南郑州·一模）如图，为的直径，点是上方的上一点，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 【答案】(1) 解：如图所示，点即为所求； (2)， 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，根据垂径定理即可得出； （2）连接，，过点作于点，根据圆周角定理可得，根据是直径，得出，勾股定理求得，进而证明，分别求得，根据等腰直角三角形的性质可得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，过点作于点， 由（1）可知： ∴ ∵ ∴， ∵是直径， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 解得： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 57．（2026·河南周口·一模） 如图，⊙O为 的外接圆，为⊙O直径，，点D在劣弧上， 交于E，连接． (1)求证: (2)若 求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 对于同弧所对圆周角，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (2) 【分析】（1）先通过圆周角定理，得到，再利用，得到是等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等，得到是等腰直角三角形，最后通过手拉手模型证明全等即可； （2）借助（1）中的全等关系，求出的长，利用勾股定理求出，从而得到，再利用勾股定理求出，即可求出半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 58．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，． (1)求作：，使经过两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：是（1）中所作的切线． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 证明：如图，连接， ，， ， ． 由作图知， ． ， ，为半径， 是的切线． 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长度为半径作圆即可； （2）连接，求得，再利用，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 59．（2026·河南开封·一模）数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进行探究．已知及外一点．求作过点的的一条切线．启智组、创新组提出的作图方案如下： 启智组：如图，连接，分别以O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点，作直线交于点．再以点为圆心，的长为半径作圆，交于点E，F，连接，则为的切线． 创新组：连接交于点，延长交于点．以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．则为的切线． 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明． 【答案】 解：启智组和创新组的方案都正确， 启智组证明过程如下： 证明：由作图过程可知：垂直平分，是的半径， 如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线． 创新组证明过程如下： 证明：由作图过程可知:， ∴, ∵是的半径， ∴为的切线． 【分析】启智组：由作图过程可知：垂直平分，是的半径，利用圆周角定理以及切线的定义即可判断；创新组：由作图过程可知:，利用等腰三角形三线合一的性质可判断，再利用切线的定义即可判断．证明思路和正确性判断思路相同。 【详解】略 60．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C在上，于点D，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）先连接，再通过导角得出，进一步得，进而得出，即可得证； （2）先连接，根据圆周角定理得出，进一步得出，进而得出，最后将，代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（1）可知，， ， ． ，， ， 解得，． 答：的直径的长为． 61．（2026·河南·一模）如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求 (2) 证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 62．（2026·河南开封·一模）如图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若是的切线．求证：． 【答案】(1)如图所示； (2)证明：连接． 的垂直平分线交于点O， ， C是上一点， 是的切线． ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可； （2）根据切线的性质可得，根据直径对直角可得，根据等腰三角形的性质可得，可得，进而得证． 【详解】（1）略 （2）略 63．（2026·河南信阳·一模）如图，是等腰三角形，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的垂直平分线，与交于点，以为圆心，长为半径画圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断（）所作圆与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 如图，直线，即为所求； ． (2) 所作圆与相切，理由如下： 连接， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，即所作与相切 【分析】（）根据题意进行画图即可； （）连接，由作图可知垂直平分，则，所以，通过等边对等角和三角形内角和定理得出，则，所以，再由切线的判定方法即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 64．（2026·河南周口·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车按逆时针方向，每秒钟转，筒车与水面分别交于A，B．，筒车的轴心O 距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P刚浮出水面时开始计算时间． (1)求筒车的半径； (2)若接水槽 所在直线是的切线，且与直线交于点M．，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据，） 【答案】(1)筒车的半径为； (2)盛水筒从最高点开始，至少经过6秒恰好在直线上． 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出的长，即的半径． （2）延长交于点H，则H为最高点．由P点在上，与相切，可得点P是切点．在中，求出，则可得．在中，求出，则可得，从而可得，进而可求得盛水筒P从最高点开始到恰好在直线上经过的时间． 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ，， ， 在中，， ∴筒车的半径为． （2）解：如图，延长交于点H，则H为最高点． ∵点P在上，且与相切， ∴当P在上，点P是切点，连接，则． 在中，， ． 在中，， ， ． ∴需要的时间为（秒）． 65．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为，、、、在同一直线上．直线与所在相切于点，此时测得；从点处沿方向前进8米到达处．直线与所在相切于点，此时测得． (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长．（结果保留π和根号） 【答案】(1) (2)的弧长为． 【分析】（1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 66．（2026·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，且点为的中点．已知点的坐标为点的坐标为．以为圆心，长为半径画弧，交反比例函数的图象于点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点C的坐标，将C点坐标代入，即可求出k值，得到反比例函数表达式． （2）将代入反比例函数表达式求出a值，得到D点坐标．因为都是的半径，所以先求出长度，再结合B、C、D三点坐标判断的度数，之后利用扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，用扇形面积减去三角形面积即可得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：为的中点，，， 点的坐标为． 将点代入，得， ． 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接．    由题意得，， ． 将代入，得． 点的坐标为． ，的纵坐标都是1， 轴． ． ， ． ． ． 阴影部分的面积． 67．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 68．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C是上一点，连接、，，连接，． (1)求证： 是的切线； (2)于点D，若，的半径为 4，求的长． 【答案】(1)证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴是的切线， (2) 【分析】（1）由，得，从而证得，得到是的切线； （2）由两角相等证明，得，从而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， 于点D， ， ， ， ， ， ， 解得 ． 69．（2026·河南南阳·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,，且与轴交于点，第一象限内的点在反比例函数的图象上，且以点为圆心的圆与轴、轴分别相切于点，． (1)求、两点的坐标； (2)求以上两个函数的解析式； (3)请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 点的坐标是，点的坐标是， (2) ，， (3)． 【分析】（1）连接，，由切线的性质可得，证明四边形是正方形，得出，当时，，得出，即可求解； （2）先求得，把代入得，得出，再代入得出，即可求解； （3）直线与的交点记为点，在中，当时，，可得，由正方形的性质，可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵与轴、轴分别相切于点，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：直线与的交点记为点， 在中， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵与轴、轴分别相切于点，，， ∴的半径， ∴ ． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01利用垂径定理求值 1-296 考点02圆周角 2.50° 3.(1) 证明：如图，连接BM. 0 ∠AMB=∠APB H --E 则 ,∠AMB>∠ADB, ∴.∠APB>∠ADB. (2)塑像AB的高约为6.9m 4. 2V2+1/1+2V2 2V2-1/-1+2V2 5.D 考点03切线的性质定理 6.B 9 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(1)证明：，⊙0与水平地面相切于点C, ∴.OC⊥CD ,AD⊥CD, .AD‖OC, AB与⊙0相切于点B, .AB⊥OB, ∴.∠OBA=90°， 过点B作BE‖AD, A E .∴∠BAD=∠EBA BE/IOC B D .∠COB=∠OBE, ∴.∠COB+∠BAD=∠OBE+∠ABE=∠OBA=90°， 即∠BOC+∠BAD=90°. (2)50cm 考点04圆内接四边形 9.C 考点05弧长和扇形面积 10.a)/3 (2)半径为2，圆心角为60° 6935-号x 亚+ 3 2/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.B 9.C 10.A 11.C 12.D 13.B 14.A 15.23- 16.4/2 17.93-3π 18.8 19.337 88 20.π+22+π 21.33-π 2 3+392元 2 28,红号 24.13m-26 16 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.4π-63/-6V3+4π 26.2V3或6V3 号 28.4,0 29.6π-9/3 30.4 31.49n 8 32.33-π 39.号+282 34.4V3π+9 3.23- 36.93-9 37.2/2+1π+/2m 38.4π-63 39.(1)45° (2)60° 40.1)AD和DE如图所示： B (2)证明：证明：如图，连接OD ,AD平分∠CAB, ∴.∠CAD=∠OAD. 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OA=OD, .∠ADO=∠OAD=∠CAD ..AC OD :DE⊥AC,即∠AED=90°， .∠ED0=180°-∠AED=90° OD为半径， .DE是⊙O的切线. B 41.点A处的座舱到地面的距离约为95.5m. 42.(1)解：点0即为所求， (2)证明：如图，过点O的直线MN交BC的延长线于点E,D为边AC的中点，连接OD,OC,DE.并作 OF⊥BC, .AB是直径， ∴.∠ACB=90, .D是AC的中点， .OD⊥AC,即∠ODC=90°， .OF⊥BC, .∴.∠OFC=90°，BF=CF, ∴.四边形ODCF是矩形， ∴.OD=FC,OD‖FC, BC=2CE, 5/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.CE=FC=OD, ∴.四边形OCED是平行四边形. M ----N B 43.1)见详解 (2)BC=3V2 44.1)见解析 (2)2 45.ay=18 2)25-25m 4 46.(1)见解析： (2)见解析： 号 47.(1)见解析 (2)四边形ABCD为平行四边形，理由见解析 (3)8 48.(1)见解析 (2)四边形ABEC是菱形，理由见解析 49.(1) ①如图所示： 0.7 ②变强 6/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)∠PAB=2∠DAB理由： 由题可知，AP是⊙O的切线， ∴.OA⊥AP,即∠OAP=90°， ∴∠CAP=∠CAO+90°， .OA=OD. ∴.∠OAD=∠ODA, ,CD⊥AB, ∴∠ACD=90°， ∴.∠DAC+∠CDA=∠CAO+∠OAD+∠ODA=∠CAO+2∠DAO=90, ∴.∠CAP=∠CAO+90°=2∠CAO+2∠DAO=2(∠CAO+∠DAO)=2∠CAD, ∴.∠PAB=2∠DAB; (3)疏水性随二的增大而增强 50.(1) 如图所示： (2) 解：连接OC, .AB为⊙O的直径， .∠ACB=90, :∠A=30°， ∠B=60°， .0B=OC, △BOC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC,∠BOC=60°， .∠AOC=120°， 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :在(1)的条件下，AD=CD, ∠COD=∠AOD= ∠AOC=60°， 2 OD=OC, △DOC是等边三角形， ∴.OD=OC=CD ..OD=CD=OB=BC. ∴.四边形BCDO是菱形 51.1y=-6 (x<0) e) 2 52.1)证明见解析 (2)不发生变化，∠CDP=45° 53.(1)见解析 (2)5m (3)该货轮不能安全通过该桥洞 54.(1)见解析 唱 55.1) 证明：AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上， ∴.∠ADB=∠ACB=90°， 又.'∠BAD=45°， ∴.∠ABD=45°， ∴.AD=BD .∠ACD=∠DCB, ..CD平分∠ACB: 2,②c0-212 2)0CM=36 56.(1) 8/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：如图所示，点D即为所求： ②)∠2ACD=45o'CD=7P2 57.1) 证明：，AB为⊙O直径， .∠ACB=∠ADB=90°， .AC=BC. :.∠CAB=∠CBA=45°， 对于同弧AC所对圆周角，∠CDA=∠CBA=45°， 又CE⊥CD “△CDE是等腰直角三角形， ..CD=CE, ,∠ACB=∠ECD=90°， .∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE,即∠ACE=∠BCD, .△ACE≌△BCD SAS: (2)RV17 58.(1) 解：如图，⊙O即为所求： (2) 证明：如图，连接OA, .AB=AC,∠B=30°， .∠B=∠C=30°， ∴.∠BAC=120 由作图知OA=OC, .∠OAC=∠C=30. 9/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴.∠BAO=∠BAC-∠OAC=90°， ∴.OA⊥AB,OA为半径， ∴.AB是⊙O的切线， B 59. 解：启智组和创新组的方案都正确， 启智组证明过程如下： 证明：由作图过程可知：CD垂直平分PO,EO是⊙O的半径， 如图： ,PO是⊙A的直径， .∠OEP=90°，即OE⊥PE, .EO是⊙O的半径， .PE为⊙O的切线. 创新组证明过程如下： 证明：由作图过程可知：PO=PC,OD=DC, .PD⊥OC, .OD是⊙O的半径， PD为⊙O的切线， 60.1) 证明：如图，连接OC, 10/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=OC. .∠OAC=∠OCA」 ,AC平分∠DAB, .∠DAC=∠OAC, .∠OCA=∠DAC, ..OC AD ,AD⊥CD, .OC⊥CD ,OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线. 61.(1) 如图1所示，⊙O即为所求 0米 * 图1 (2) 证明：如图2，延长PA至点E,使AE=PC,连接BE, 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图2 ,四边形ABCP是⊙O的内接四边形， .∠BAP+∠BCP=180° .∠BAP+∠BAE=180°， ∴.∠BCP=∠BAE」 ,△ABC是等边三角形， ..BA=BC. .△PBC≌△EBA SAS .PB=EB,∠PBC=∠EBA, :.∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， △PBE是等边三角形， ..PB=PE, ∴.PB=PE=PA+AE=PA+PC 62.1)如图所示： (2)证明：连接OC, .·AC的垂直平分线交AB于点O, .∴.OA=OC, :C是o0上一点， ,BC是⊙O的切线， ∴OC⊥BC, 12/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OCB=90, ∴.∠BCD+∠OCD=90, .AD是⊙O的直径， ∴.∠ACD=90°， ∴.∠A+∠ADC=90°， OC=OD. .∴.∠ADC=∠OCD, .∠A+∠OCD=90°， ∴.∠BCD=∠A. 63.(1) 如图，直线！，⊙D即为所求； (2) 所作圆与AC相切，理由如下： 连接AD, 由作图可知：I垂直平分AB, ∴AD=BD .∠BAD=∠B=30, .AB=AC,∠B=30°， ∠B=∠C=30°， .∠BAC=180°-∠B+∠C=120°， 13/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°， .AD⊥AC, .AD是OD的半径， ∴.AD是⊙D的切线，即所作⊙D与AC相切 64.(1)筒车⊙O的半径为4m: (2)盛水筒P从最高点开始，至少经过6秒恰好在直线MN上. 65.1)45° 2)的弧长为3V2+23πm PN 66.4y= 231 67.1)证明：，AD=AD, .∠ABD=∠ACD: (2)2V5 68.(1)证明：.OE⊥OC, .∴.∠C0E=90°， .∴.∠COD+∠BOE=90°， .:∠COD=2∠ABC,∠E=2∠CBD, ∴.∠COD=∠E, ∴.∠E+∠BOE=90°， ∴.∠OBE=180°-∠E+∠BOE=90 ∴.OB⊥BE, .AB是⊙O的直径， .BE是⊙O的切线， 号 69.(1) 点B的坐标是0,2，点C的坐标是2,2， (2) 14/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 h3、 +2,y,=4 4 X 6)20 -π 3 15/15