3.2 探索规律(一)探索规律(二)-【随堂笔记】2026-2027学年六年级上册数学（北师大版·新教材）

随堂笔记·数学·六年级·上册·BS @提素养 面积：3.14×（5÷2)2=19.625（cm2) (2)周长：6×2+4+3.14×4÷2=22.28(cm) 1.(1)3.14×4÷2+4=10.28(cm) 面积：6×4+3.14×(4÷2)2÷2=30.28(cm2) (2)4×2+3.14×5=23.7(cm) (3)3.14×30=94.2(dm) 要点3练习 1 2.56.52÷3.14÷2=9（dm) (1)不合理 答：这个圆的半径是9dm。 （2)3×(20÷2)2=300(cm2) 3.(26.12-0.5×2)÷(2×3.14×0.5)=8（圈) 3×(10÷2)2×2=150(cm2) 答：油桶从一面墙滚到另一面墙要滚8圈。 150<300,两个4寸比萨的面积此一个8寸比 萨的面积小，不合理。 第8课时圆的面积（一 三 用字母表示（二) 举一反三 (1)V(2)×(3)V 第1课时 用字母表示数量关系 ②提素养 1 举一反三 1.(1)3.14×2.52=19.625(cm2) (b-a) (2)3.14×(30÷2)2=706.5(cm2) 1 ②提素养 (3)3.14×（10÷2)2÷2=39.25（cm2) 11.(1)(32+x) 2.3.14×（12÷2)2=113.04(cm2) 1 (2)(12-b) 答：这个圆的面积是113.04cm2。 (3)a÷6 3.3.14×30×3=70.65(cm2) 1 4 (4)mn 答：涂色部分的面积是70.65cm2。 (5)a-2a+2 第9课时 圆的面积（二 12.(1）(600+x)m （2)奇奇家离学校比乐乐家离学校远多少米。 举一反三 1第2课时探索规律（一）探索规律（二 （1)28.267.74 (2)113.04 1举一反三 ②提素养 ②提素养 1.(1)(9+12)×8÷2-3.14×(8÷2)2÷2= 11.(1)(3m+1) 58.88(cm2) (2)当n=21时，3n+1=3×21+1=64(根) (2)10×5-3.14×52÷2=10.75(cm2) 答：摆21个正方形需要64根小棒。 2.3.14×(30÷2+5)2-3.14×(30÷2)2=549.5(m2)12.9(3n+7) 答：扩建后的旱冰场的面积比原来增加了549.5m2。 3.(1)13(2)(画图略)3n+1 第二单元要点总结 第3课时 日历中的数量关系 举一反三 要点T练习 m+6m+7m+8m+14 52.575 ②提素养 要点2练习 (1)a-1a-7a+6a+7a+8 (1)周长：3.14×5=15.7(cm) 1（2)方框中9个数之和是该方框中间的数的9倍。 204·-三用字母表示（二） 第2课时 探索规律（一) 探索规律（二) 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点①用含有字母的式子表示数和数量关系（教材第35页例题、 第38页例题)】 (1)探究三角形个数与小棒根数的规律。 方法一：摆出第一个三角形后，每增加1个三角形，需要增加2根小棒 摆n个三角形需要的小棒根数为3+2(n-1)。 方法二：第一个三角形可以看成1根小棒加2根小棒，此后每增加1个三 角形，需要增加2根小棒，摆n个三角形需要的小棒根数为1+2n。 (2)探究所坐人数m与桌子张数n的规律。 方法一：1张桌子可以坐4人，桌子拼起来时，每增加1张桌子，比分开 坐少2人，n和m的关系为m=4n-2(n-1)。 学 方法二：1张桌子左右坐2人，上下坐2人，每增加1张桌子，上下就增 新 加2人，n和m的关系为m=2n+2。 知 重点© 知识点2 求含有字母的式子的值（教材第36页试一试） (1)摆50个三角形，需要多少根小棒？ 当n=50时，3+2(n-1)=3+2×(50-1)=3+98=(101)(根》 当n=50时，1+2n=1+2×50=1+100=（101)(根) (2)71根小棒，可以摆出多少个三角形？ 71=1+2n 等式两边同时加上或减去同一个数，左右 71-1=1+2n-1 两边仍然相等。 70=2n 70÷2=2n÷2 等式两边同时乘或除以同一个数(0除外)， 左右两边仍然相等。 35=n 理 用含有字母的式子表示数 和数量关系 思 探索规律 求含有字母的式子的值 探索规律 随堂笔记·数学·六年级·上册·BS 课堂·听课笔记 精批注 、照这样摆6个三角形需要多少根小棒？说一说你是怎样思考的。 1个三角形用3根 小棒，6个三角形 用不了那么多相邻2个三 我们摆一摆，数 用18根小棒？ 小棒，因为… 角形可以共 一数，需要 用1根小棒。 13根小棒。 摆6个独立的三角 形需要18根小棒。 这2个三角形共 用1根小棒。 如果要摆更多的三角形，需要多少根小棒？画一画，圈一圈，说一说你有什么发现。 摆出第一个三角形后，用2根小 第一个三角形可以看成 棒就能摆出第二个三角形… 1根小棒加2根小棒。 以后每增加 1个三角形 就需要增加 2根小棒。 三角形个数 小棒根数 1个三角形：3=1+2 1 3 2个三角形：5=1+2×2 2 5=3+2 3个三角形：7=1+2×3 3 7-3+2×2 4个三角形：9=1+2×4 9=3+2×3 5个三角形：11=1+2×5 5 11=3+2×4 62 三用字母表示（二）】 淘气和笑笑用含有字母的式子表示了三角形个数与小棒根数之间的关系，你能看懂 吗？画一画，圈一圈，小组内交流。 方法二 方法一： 小棒根数=1+2n 小棒根数=3+2（n-1) n个三角形 n个三角形 △公9.…7公7 公7公9…7公7 (n-1)个 n个 不对吧，怎么 已经摆出了1个三 先摆1根小 是加2(n-1), 角形，只需要再加 棒，再加n个 应该是2n吧？ (n-1)个2根… 2根… 有n个三角形时，小棒的裁 有n个三角形时，小棒 量就是3+2(n-1)。 的数量就是1+2n。 试一试 、○摆50个三角形，需要多少根小棒？ 当n=50时，将50代入含有字母的式子中进行计算。 方法一： 直接代入上面含有字 方法二： 3+2×(50-1) 1+2×50 母的式子中计算… -3+2×49 =1+100 =3+98 =101(根) =101(根) 答：需要101根小棒 0 把字母的值代入式子后，不要忘了恢复乘号。 71根小棒，可以摆出多少个三角形？ 71=1+2n,怎么求n呢？ 可以利用等式的性质… 71=1+2n 71-1=1+2n-1 ☑⑦ n n1 70=2n 70÷2=2n÷2 35=n 答：可以摆出35个三角形。 63 随堂笔记·数学·六年级·上册·BS 练一练 1.美术园地展出同学们的美术作品，作品数量与磁扣数量有什么关系？ 提示：每增加一幅作品，磁 扣的数量就增加1个。 作品数量/幅1 2 你能用含有字母的式 磁扣数量/个2345 子表示这个规律吗？ 2.观察所摆图形的个数和小棒根数之间的关系。 提示：每增加一个“小房子”， 小棒的数量就增加5根。 我摆的是小房子， 我用（5n+1)表 示… (1)请你判断笑笑所写的式子是否正确。正确 (2)照这样摆，用36根小棒能摆出多少个合？7个 3.想一想，摆一摆，填一填。 提示：每增加一个正方体，露 提示：每增加一个正方体，露 在外面的面增加3个。 在外面的面增加4个。 (1) (2) 小正方体个数 123 4… n 小正方体个数 12 34… 露在外面的面/个581114.3n+2 露在外面的面/个591317…4n+1 (3) 0●● ●●●● ●●0● 4×4 ●1×1 882×2 ●。3×3 ●e● ●●●● 第1个 第2个 第3个 第4个 第几个图形 2 3 4 圆片个数 9 16 64 三用字母表示（二）】 餐厅有时会把桌子摆在一起。1张桌子可以坐4人，2张桌子摆在一起可以坐几人？ 3张、4张桌子呢？… 1张桌子：2×1+2=4（人) 2张桌子：2×2+2=6（人） 3张桌子：2×3+2=8（人） 4张桌子：2×4+2=10（人） 即2张桌子摆在一起可以坐6 人，3张桌子摆在一起可以坐 8人，4张桌子摆在一起可以 坐10人。 想一想，画一画，4张桌子可以坐多少人？ 画图表示桌子张数与所坐人数的关系： 2张桌子拼起来 4人 6人 8人 10人 坐6人，比分开 坐少2人，4张 4张桌子坐 从图上看出4张桌子 桌子拼起来比分 上下可以坐（4×2) 开坐少4人？ 10人，比分 开坐少 人，左右两边可以坐 2人，一共 6人 可以坐10人。 10张桌子可以坐多少人？说一说你是怎样思考的。 1张桌子可以坐4人，当桌子拼起来时， 1张桌子左右坐2人，每增加1张 每增加1张桌子，就减少2个座位。 桌子，上下就增加2人。 桌子裁 人数 桌子数 人数 4 1 4=2×1+2 2 6=4×2-2 2 6=2×2+2 3 8=4×3-2×2 3 8=2×3+2 4 10=4×4-2×3 4 10=2×4+2 … … 10 22=4×10-2×9 10 22=2×10+2 65 随堂笔记·数学·六年级·上册·BS 淘气和笑笑用含有字母的式子表示了桌子张数与所坐人数之间的关系，你能看懂吗？ 画一画，圈一圈，小组内交流。 根据等量关系列出算式。 有n张桌子，坐了m人， 我是这样写的， m=4n-2(n-1)。 m=2n+2。 n张桌子 ooo oo 000 EEE ooo oo 少了(n-1个2 练一练 1.观察下面摆桌子的规律，回答问题。 4+2 4+2×2 4+2×3 O oO O 2+4 2+4×2 2+4×3 ○○○○ (1)摆张桌子时，下面两个式子分别表示哪种摆桌子的规律？圈一圈，想一想。 m=4n+2 对应图中第二行摆桌子的方式。 k=2n+4 对应图中第一行摆桌子的方式。 (2)有5张桌子，分别按照上面的方式摆放，各能坐下多少人？ 第一行摆法：2×5+4=14（人） 第二行摆法：4×5+2=22（人） 2.下面是一台数字处理机器，观察数字变化的规律，完成下列各题。 20 ×2 41 提示：根据数字变化的规律建立a和b的关系。 (1)如果输入的是字母a,输出的是字母b,你能用含有字母的式子表示这个过程吗？ b=2a+1 (2)当a=12时，b是多少？当a=12时，b=2a+1=2×12+1=25 (3)当b=19时，a是多少？当b=19时，2a+1=19,a=9 66*- 三 用字母表示（二)】 学方法 ○运用类推法和归纳法解决问题解决此类问题时，可以通过类推的方法我到图形中的规律。 如图，用小棒摆正六边形。 (1)像这样摆下去，摆n个正六边形需要 根小棒。 (2)当n=23时，用(1)中的式子计算共需要的小棒根数。 思路分析：观察图形，用列表法将摆成的正六边形的个数与所需小棒根数呈现出来，探究 其规律，从简单入手，递推出规律。 正六边形个数 图形 小棒根数 1 6=1×5+1 11=2×5+1 3 16=3×5+1 4 21=4×5+1 … 由上表可以发现规律：小棒根数=摆成的正六边形个数×5+1。根据规律可以 得出摆n个正六边形，小棒根数=n×5+1=5n+1,即需要(5n+1)根小棒。 正确解答：（1)5n+1 (2)当n=23时，5n+1=5×23+1=116(根) 答：当n=23时，共需要116根小棒。 ○运用代入法和替换法求含有字母的式子的值 m=5,n是m的2倍，p是n的1.5倍，求3m+5n+10p的值。 思路分析：思路一代入法。 用替换法解决 时，若已知数m=5,n是 将m=5,n= ◆n=5×2=10 值的字母为 m的2倍。 10,p=15代 m,可以直接 p=10×1.5=15 p是n的1.5倍。 入3m+5n+ 用含有m的式 10p,求出结果。 子替换式子中思路二 替换法。 的其他字母，。 将原式转化为n是m ◆in=2m 将n=2m,p= 只含有m的式的2倍。 p.=2m×1.5=3m→3m代入3m+ 将m=5代 子，再将m的 p是n的 5n+10p,得原 →入43m, 求 值代入式子中 求出结果。 1.5倍。 式等于43m。. 出结果。 正确解答：方法一 m=5n=m×2=5×2=10p=n×1.5=10×1.5=15 3m+5n+10p=3×5+5×10+10×15=215 方法二n=2mp=n×1.5=2m×1.5=3mm=5 3m+5n+10p=3m+5×2m+10×3m=43m=43×5=215 67 随堂笔记·数学·六年级·上册·BS 课后·提升笔记 巧总结 ⊙易错点：不理解含有字母的式子所表示的意义 判断：3x和3+x表示的意义相同。 () 易错解读：本题易错在没有正确理解3x和3+x所表示的意义。3x表示的是3与x相乘的积， 3+x表示的是3与x相加的和。所以本题的正确答案为义。 举一反三： 判断：4a=a×a×a×a 提素养 (1)像这样摆下去，摆n个正方形需要 根小棒。 (2)当n=21时，用第（1)题的式子计算摆21个正方形需要的小棒根数。 2.如右图，3个同样的杯子叠起来高16cm,5个同样的杯子叠起 来高22cm, 个同样的杯子叠起来高34cm,n个同样的 22 cm 杯子叠起来的高度是 cm 380oo80 OO0ǒ000 (1)第4组共有 个O。 (2)按此规律摆下去，第组共有多少个○？画一画用31个○组成的图形。 68