第一章图形的相似单元测试卷2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027湘教版数学九年级上册图形的相似单元卷，以真实情境与梯度设计覆盖比例线段、相似三角形、位似等核心知识，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|比例线段、相似性质、黄金分割|结合“沉默的荣耀”雕像黄金分割、小孔成像等情境| |填空题|4题/16分|成比例线段、相似条件|开放添加相似条件，考查推理意识| |解答题|7题/48分|相似证明、位似作图、实际测量|融合光的反射定律（物理）、“圆融”雕塑测高（文化），体现跨学科应用|

2026-2027湘教版数学九年级上册第一章 图形的相似单元测试卷 一、选择题. 1．已知，且，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.在小孔成像问题中，如图所示，若到的距离是，到的距离是，则像的长是物体长的(    ) A. B. C. 倍 D. 倍 5．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D．． 9．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 10.如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA：AA1＝1：3，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．45 11．如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 12．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 2． 填空题。 13．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 14．如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 15．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　　 ． 16. 如图，是的中线，是上一点，：：，的延长线交于，：为          ． 三.解答题。 17. 如图，在中，D，E分别是边AC，BC上的点，，，，求证： 18.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上靠近点A的三等分点，连接DE交对角线AC于点 求证： 若，，求CF的长. 19．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 20.如图，在▱ABCD中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求AB的长； （2）求点E到地面的高度DE． 22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第一章 图形的相似单元测试卷答案 一、选择题. 1．已知，且，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、∵，且，∴，故该选项符合题意； B、∵，且，∴，故该选项不符合题意； C、∵，且，∴，故该选项不符合题意； D、∵，且，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 3.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 解：直线， ， ，，， ， ， 故选：． 4.在小孔成像问题中，如图所示，若到的距离是，到的距离是，则像的长是物体长的(    ) A. B. C. 倍 D. 倍 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，， ，， ∽， ， ， ， 像的长是物体长的，故选：． 5．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 6．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 7．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 解：由黄金分割比例可知该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∵雕像总高度为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 8．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 解:， ， ， ，， ， ． 9．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 10.如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA：AA1＝1：3，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．45 解：∵OA：AA1＝1：3， ∴OA：OA1＝1：2， ∵△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O， ∴△ABC∽△A1B1C1，， ∴， ∵△ABC的面积为5， ∴△A1B1C1的面积为20； 故选：C． 11．如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 解：由题意可得：BE＝BD﹣DE＝10，∠AEB＝∠CED，DE＝2，CD＝1.6， ∵∠EDC＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 即塔高AB为8米， 故选：D． 12．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 2． 填空题。 13．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 解：∵是成比例线段， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14．如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 15．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　16　 ． 解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：2， ∵△ABC的周长为24， ∴24：△DEF的周长＝3：2， ∴△DEF的周长＝16， 故答案为：16． 16. 如图，是的中线，是上一点，：：，的延长线交于，：为          ． 解：作交于， 是的中线， ， ， ， ， ：：， 故答案为：：． 三.解答题。 17. 如图，在中，D，E分别是边AC，BC上的点，，，，求证： 证明：，，，， ， ， 18.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上靠近点A的三等分点，连接DE交对角线AC于点 求证： 若，，求CF的长. 解：证明：在矩形ABCD中，， ， 【小题2】 四边形ABCD是矩形， ，， 点E是边AB的三等分点， 由，得 ， 19．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 解:（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 20.如图，在▱ABCD中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 解:（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，， 在中，， 由（1）可知， ∴， ∴， 解得，，∴的长为． 21.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求AB的长； （2）求点E到地面的高度DE． 解：（1）根据题意，∠CBF＝∠ABG，∠FCB＝∠GAB， ∴△FCB∽△GAB， ∴， ∵灯泡到地面的高度AG＝1.2m，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m， ∴， 解得AB＝2.4m， 经检验，符合题意； （2）由题意，∠GAB＝∠EDB，∠GBA＝∠EBD， ∴△EDB∽△GAB， ∴， ∴， ∴DE＝3.8m． 22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 解：（1）∵在正方形中， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $