24.2 解一元二次方程（第2课时 公式法）（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，先复习配方法步骤，再通过配方法推导求根公式，引出根的判别式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于通过推导求根公式培养数学思维（推理能力），典例分析和分层练习中规范步骤强化数学语言（模型意识）。采用归纳总结步骤、基础与能力提升练习结合的教学方法，小结清晰。学生能掌握公式法应用，教师可利用系统资源提升教学效率。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十四章 一元二次方程 24.2 解一元二次方程 第2课时 公式法 章节导读 24.1一元二次方程 24.2解一元二次方程 因式分解法 配方法 一元二次方程的根 公式法 24.3一元二次方程根与系数的关系 直接开平方法 根与系数的关系 一元二次方程的应用 根的判别式 24.4一元二次方程的应用 认识一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 了解求根公式的推导过程，了解从具体到抽象，从特殊到一般的认识规律； 熟练应用公式法解一元二次方程； 能根据一元二次方程的特点，灵活选用方法进行求解。 复习回顾 配方法的概念及解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 1. 移项：把常数项移到方程的右边； 2. 化1：把二次项系数化为 1； 3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 开方：根据平方根的性质开方； 5. 求解，规范书写. 新知探究 根的判别式 对于一元二次方程的一般形式，你能运用配方法求解吗？一起来试一试吧。 解：因为，方程两边除以，得. 探索 化1 移项 移项，得. 配方 配方，得. 即. 这里能直接开方吗？为什么？ 新知探究 根的判别式 观察与思考 对于 那么与的关系，有几种情况呢？ 情况1 情况2 情况3 因此方程有两个相等的实数根： 因此方程有两个不相等的实数根： 新知探究 根的判别式 观察方程： .对应也有三种情况： 情况1 当时， . 情况2 情况3 当时， . 当时， . ＝ ， ＝. x1 = x2 = . 右边是一个负数，而对于任何实数 ，方程左边，因此方程没有实数根（也叫做无解）. 对于一元二次方程： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根； 归纳总结 根的判别式 归纳总结 反之，同样成立哦！ 式子叫做一元二次方程根的判别式. 通常用符号“”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况。 一般地，对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为 , 即.将一元二次方程的系 数的值直接代入上式求得方程的根的方法叫作公式法。 归纳总结 公式法 归纳总结 其中，式子叫作求根公式. 典例分析 不解方程，判别下列方程根的情况.（P55） （1）; （2）;（3） 做一做 解：（1）因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. （2）因为 ， 所以方程有两个相等的实数根. （3）因为 ， 所以方程没有实数根. 利用根的判别式判断方程根的情况 利用根的判别式判断方程根的情况的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三算：将的值代入计算的值； (4) 四判：根据Δ的值与0的大小，判断一元二次方程根的情况. 利用根的判别式判断方程根的情况 典例分析 例1 用公式法解下列方程：（1）；（2）. 公式法解一元二次方程 解：(1) 这里 ， ∵， 所以 运用公式法，必须首先判断是否！ 典例分析 例1 用公式法解下列方程：（1）；（2）. 公式法解一元二次方程 解：(1) 这里 ， ∵， 所以 负数的平方要加括号. 使用公式法求解一元二次方程的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 把方程化为一般形式，确定 的值，必须包含符号； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 公式法解一元二次方程 新知探究 已知一元二次方程 .（p56） （1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 取何值时，方程没有实数根？ 确定方程中未知字母的值或取值范围 试一试 解：因为 当 ，即 － 时，方程有两个不相等的实数根. 当 ，即 － 时，方程有两个相等的实数根. 当 ，即 k < － 时，方程没有实数根. 由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1)首先要判断是否一定是一元二次方程（如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0 ）； (2)确定判别式； (3)根据条件列不等式； (4)解不等式. 确定方程中未知字母的值或取值范围 典例分析 例2 若关于 的一元二次方程 有实数根． 求 的取值范围. 确定方程中未知字母的值或取值范围 解：化为一般式，得 ，且 . 解得且 注意： 有实数根分为两种情况：有两个不相等实数根和有两个相等实数根，计算根的判别式时注意区分哦。 随堂练习 1.不解方程，判别下列方程根的情况： （1）; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P56) 解：(1) ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. (2) ∵， ∴方程有没有实数根. 随堂练习 1.不解方程，判别下列方程根的情况： （1）; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P56) 解：(3) ∵， ∴方程有两个相等的实数根. (4) ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 随堂练习 2.用公式法解下列方程： （1）; （2）4; （3）; （4） 基础过关(P56) 解：(1) 这里 ， ∵， 所以 随堂练习 2.用公式法解下列方程： （1）; （2）4; （3）; （4） 基础过关(P56) 解：(2) 这里 ， ∵， 所以 不能写成 . 随堂练习 2.用公式法解下列方程： （1）; （2）4; （3）; （4） 基础过关(P56) 解：(3) 化为一般形式： ； 这里 ， ∵， 所以 随堂练习 2.用公式法解下列方程： （1）; （2）4; （3）; （4） 基础过关(P56) 解：(4) 这里 ， ∵， 所以 随堂练习 能力提升 3.若关于的一元二次方程的根的判别式的值为4,则的值为 . 解：由, 解得 24 随堂练习 能力提升 4.关于的一元二次方程 当 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？ 解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为 ， 由求根公式得 随堂练习 能力提升 5. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 解：(1)△ABC是等腰三角形　 理由：把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0， ∴ a＝b. ∴ △ABC是等腰三角形. (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 随堂练习 能力提升 5. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (2)△ABC是直角三角形　 理由：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ . ∴ . ∴ △ABC是直角三角形. 随堂练习 能力提升 5. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (3) ∵ △ABC是等边三角形， ∴ a＝b＝c. ∴ 原方程变为. ∵ ，∴ . ∴ x1＝0，x2＝－1 课堂小结 定义 公式法 将一元二次方程中系数的值，直接代入这个求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. (1)把一元二次方程化为一般形式． (2)确定的值． (3)计算的值． (4) 把的值代入求根公式． 步骤 根的判别式 （1） ＞0，有两个不相等的实数根； （2） 0，有两个相等的实数根； （3） 0，没有实数根. 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $