24.1 一元二次方程（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的认识，通过复习七年级一元一次方程的定义与形式，对比引出新知，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以古槐树护栏、梯子滑动等实际问题情境引导学生抽象方程，培养数学眼光，通过典例分析判断步骤发展推理思维，用方程模型表达现实问题强化数学语言。学生能深化概念理解，教师可提升教学针对性与效率。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十四章 一元二次方程 24.1 一元二次方程 认识一元二次方程 章节导读 24.1一元二次方程 24.2解一元二次方程 因式分解法 配方法 一元二次方程的根 公式法 24.3一元二次方程根与系数的关系 直接开平方法 根与系数的关系 一元二次方程的应用 根的判别式 24.4一元二次方程的应用 认识一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式. 能找到一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 能够判定一个数是否是一元二次方程的根，能从实际问题中抽象出一元二次方程. 复习回顾 在七年级上册第5章，我们学习了一元一次方程。什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 它的一般形式是：(为常数，). 回顾训练 下列哪些是一元一次方程？ 一元一次方程 二元一次方程 一元一次不等式 分式方程 新知探究 某景区内有一棵古槐树，景区管理处准备用护栏将古槐树保护起来.如图，其中古槐树在点处，与院墙的距离约为2.5 m.四边形为矩形，为院墙的一部分，其他三边用总长为16 m的护栏围成．已知矩形的面积为24 ㎡，求的长. 认识一元二次方程 分析：我们可以通过列方程解决这类实际问题。 回顾：列方程的一般步骤？ 1.审； 2.设； 3.列； 4.解； 5.验； 6.答. 新知探究 某景区内有一棵古槐树，景区管理处准备用护栏将古槐树保护起来.如图，其中古槐树在点处，与院墙的距离约为2.5 m.四边形为矩形，为院墙的一部分，其他三边用总长为16 m的护栏围成．已知矩形的面积为24 ㎡，求的长. 认识一元二次方程 如图，设的长为 m，则的长为 . 由于矩形面积为24㎡.你能根据题意，列出方程吗？ 整理得： ，是方程的解， 但 不符合实际意义，所以的长为6 m. 下节课会学习如何解哦！ 新知探究 1.已知甲、乙两数的积为35，其中甲数比乙数的2倍少3． 设乙数为，请列出方程. 认识一元二次方程 2. 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端从沿墙面下滑1 m，到那么梯子的底端从在地面上滑动到.设的长为 m，请列出方程. 甲数： 解：根据题意得，m，m 做一做 列方程： 由勾股定理得， 得， 整理得， 整理得： 新知探究 认识一元二次方程 观察与思考 ；； .这三个方程是一元一次方程吗？ 显然不是 这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 未知数的最高次数是2 这三个方程有什么共同特点呢？ 1. 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 未知数的最高次数是 2 称为一元二次方程 特点 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫作一元二次方程 . 归纳总结 认识一元二次方程 归纳总结 一元二次方程的一般形式： () 典例分析 认识一元二次方程 例1 判断下列式子，哪些是一元二次方程？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥; ②中“含有两个未知数； ⑤整理后，二次项被抵消，未知数的最高次数是 1. ④中分母含有未知数，是分式方程； ⑥根号内含有未知数，不是整式方程。 ③中的值有可能为 0 ； 判断是否是一元二次方程的步骤： 首先看是不是整式方程，再化为一般形式。 必须满足三个条件： ①只含有一个未知数 ②未知数最高次数是2 ③等号两边都是整式（分母或根号内不含未知数） 注意：二次项系数是否限定范围，不要漏掉取0的情况。 方法技巧 新知探究 一元二次方程的一般形式： () 一元二次方程的一般形式 二次项 一次项 常数项 叫作二次项系数 叫作一次项系数 叫作常数项系数 你能指出前面三个方程的二次项系数、一次项系数和常数项吗？试一试吧！ 为什么? 可以为0吗？ 新知探究 一元二次方程的一般形式： () 一元二次方程的一般形式 当时， ， 当时， ， 当时， 当时， ， 总结：只要满足即可，可以为任意实数.即一元二次方程可以没有一次项和常数项。 一元一次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程的特殊形式 典例分析 一元二次方程的相关概念 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项、一次项和常数项。（P49） （1）; （2） （3）; （4） 做一做 解：(1)一般形式： 二次项、一次项和常数项； (2)一般形式： 二次项、一次项和常数项； 注意：二次项、一次项和常数项都需要包含前面的符号！ 典例分析 一元二次方程的相关概念 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项、一次项和常数项。（P49） （1）; （2） （3）; （4） 做一做 解：(3)一般形式： 二次项、一次项和常数项； (4)一般形式： 二次项、一次项和常数项； 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程转化为方程的一般形式，同时包含系数前面的符号。 方法总结 新知探究 一元二次方程的根 把未知数的值分别代入方程的左右两边，如果能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的解，也叫这个方程的根. 例：下面哪些数是方程的解? 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 典例分析 例2 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 。 一元二次方程的根 分析：见根就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法. 解：因为是一元二次方程的一个根， 将代入方程，得 所以. 随堂练习 1.下列方程，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）; （2）; （3）; （4） 基础过关(P49) 解：（1）化为一般形式： ; 二次项系数2、一次项系数1、常数项。 解：（2）化为一般形式： ;不是一元二次方程。 随堂练习 1.下列方程，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）; （2）; （3）; （4） 基础过关(P49) 解：（3）化为一般形式： ; 二次项系数3、一次项系数0、常数项2。 解：（4）化为一般形式：; 二次项系数1、一次项系数、常数项。 随堂练习 2.如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影部分的面积为800.请列出关于的方程. 基础过关(P49) 解： ; 整理得： 随堂练习 能力提升 3.关于x的方程是一元二次方程，则 ，此时该一元二次方程为 ，一次项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 . 解：因为原方程为一元二次方程， 所以，解得，所以。 随堂练习 能力提升 4.若是方程 的一个根，则______ 2020 解：∵是方程的一个根 ∴ ∴ ∴ 使用整体代入求值 21 随堂练习 能力提升 5. 如图，在一块长、宽 的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃， 使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四 周绿地的宽.设花圃四周绿地的宽为 ， 可列方程为 _____________________________（不需要化简） 课堂小结 概念 一元一次方程的区别和联系 找准项及系数 （≠0） 区别：字母指数, 联系：系数不能为0 确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程化为一般形式，同时包含前面的符号. 一元二次方程 形式 根 能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的根. ①含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③等号两边都是整式. 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $