第24章 24.2 解一元二次方程-课时2 公式法-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程”，核心讲解根的判别式及公式法，通过“刷基础”“刷提升”分层训练搭建学习支架，衔接前期方程概念，引导学生从判别式判断根的情况过渡到公式法求解，形成完整知识脉络。 其亮点在于融合运算能力与应用意识，如“刷易错”强调方程化为一般形式的规范步骤，“喜鹊数”问题让学生用数学眼光抽象数量关系，培养推理与创新意识。学生能提升解题严谨性与综合应用能力，教师可依托分层资源及易错点拨优化教学效率。

数 学 九年级上册 JJ 1 2 3 第二十四章 一元二次方程 4 24.2 解一元二次方程 课时2 公式法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程根的判别式 1.【2026河北唐山期中】已知关于的一元二次方程,其中， 在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是( ) B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 【解析】由数轴知，，， ， , 该方程有两个不相等的实数根.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2026河北沧州质检】已知关于的一元二次方程 无实数根， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D.且 【解析】因为关于的一元二次方程 无实数根，所以 且，解得，所以 的取值范围是 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 关键点拨 由无实数根得到根的判别式的值小于0，结合二次项系数 这个条件求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 3.若关于的一元二次方程的根的判别式的值为4，则 的值为_ _. 【解析】 关于的一元二次方程 的根的判别式的值为4， ，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2026河北邯郸期中】若关于的方程 有两个相等的实数根， 则 的值为___. 7 【解析】 关于的方程 有两个相等的实数根， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： （1） ； 【解】，，，， 此方程有两 个相等的实数根. （2） ； 【解】方程化为一般形式为 . ，，，， 此方程 没有实数根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （3） . 【解】方程化为一般形式为 . ，， ， ， 此方程有两个不相等 的实数根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点2 公式法 6.【2026河北张家口期末】若 是某个一元二次方程的一个根，则 这个一元二次方程可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】若是某个一元二次方程的一个根，则,, 的值可以分别 为1,,,这个一元二次方程可以是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 7.【2025四川宜宾期中】利用公式法解得一元二次方程 的两个 根为,，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】，,, ， ，. 一元 二次方程的两个根为,，且，的值为 ，故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 8.【2026四川南充期末】已知代数式的值与代数式 的值相等， 则 _ ____________. 或 【解析】由题意得，整理得 ， ，则 ， ，，故答案为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 9.用公式法解方程： （1） . 【解】，，， ， ，， . （2） . 【解】，，， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 （3） . 【解】，移项，得 , ,,, ， ，， . （4） . 【解】，， ， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 刷易错 易错点 未将一元二次方程化为一般形式就直接代入求根公式致错 10.解方程 时，有一位同学的解题过程如下： 解：，，， ， ， ， . 请你分析以上解题过程有无错误.若有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解 题过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 【解】有错误，错误之处在于没有先把方程化成一般形式. 正确的解题过程： 原方程整理，得 . ，，， ， ， ， . 易错警示 运用求根公式解一元二次方程时，一定要先把方程化成一般形式，然后再确定 ， ， 的值，注意不要遗漏符号，否则会造成计算错误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 提升 1. 【2026山西太原期中，中】已知是关于的方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有实数根 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知，，， ，即 ，，即， ，即 ，解得，， 方程 一 定有实数根 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.［中］若等腰三角形的边长分别为，，2，且，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 【解析】 三角形是等腰三角形， 有或，以及 两种情况.①当 或时，，是关于的一元二次方程 的两个实数 根， 把代入，得，解得 ， 原方程为，解得， .而长为2，2，4的线段不能组成 三角形，故不符合题意.②当时，方程 有两个相等的实数 根，，解得， 原方程为 ，解得 .长为2，3，3的线段能组成三角形，符合题意.综上， 的值为10. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 本题需分两种情况进行讨论：①当或 时； ②当 时.注意利用三角形的三边关系进行验证. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.【2026河北张家口期中，中】如图，在矩形中，以点为圆心， 长为半 径作弧与交于点，以点为圆心，长为半径作弧与交于点 .设 ， ，则( ) D A.线段的长是方程 的一个解 B.线段的长是方程 的一个解 C.线段的长是方程 的一个解 D.线段的长是方程 的一个解 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】 四边形为矩形，， ， .根据作图可知，，， ， .解方程得 ，故A错误；解方程 得，故B错误；解方程 得 ，故C错误；解方程得 ，故D 正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.【2026河北邯郸期中，中】若实数，满足 ， 则 _______. 或1 【解析】设，则原方程可化为 .整理，得 ，即，解得，，则 的值是 或1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5. 【2026上海闵行区期中，中】关于的一元二次方程 ， 下列说法：①若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；②若 ，则方程没有实数根；③若是方程 的一个根，则 ；④若是方程的一个根，则 是方 程 的一个根.其中正确的是________（填序号）. ①②④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，故①正确， .又 ，，， 方程没有 实数根，故②正确.③若是方程的一个根，则 ， 即，或， 不一定成立，故③错 误.④若是方程的一个根，则 ，两边 除以，得，将代入方程 ，得 ，是方程 的一个 根，故④正确.综上，①②④正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.【2026北京西城区期中，中】已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：此方程总有实数根； 【证明】因为关于的一元二次方程为 ， 所以 ，所以此方程总有实数根. （2）若为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求 的值. 【解】由 得 ， 所以， . 因为方程有两个互不相等的非负整数根，且为整数，所以 或4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力 ［较难］对于任意一个三位数，如果 满足各个数位上的 数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍，那么称这个数为“喜鹊数”.例如：，因为 ，所以169 是“喜鹊数”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）已知一个“喜鹊数”（， ， ，且，，为整数），请直接写出，， 所满足的关系式：________ _______；241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”）. 不是 【解】是“喜鹊数”（，， ， 且,,为整数），，即 . ，，， 不是“喜鹊数”.故答案为 ,不是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与，若是方程①的一个根， 是 方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】是一元二次方程的一个根， 是一元二次方程 的一个根，， . 将两边同除以得， 将， 看成是一元二 次方程 的两个根. ， 方程有两个相等的实数根， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出满足条件的所有 的值. 【解】，，， ， ， . ，，解得 ， 满足条件的所有 的值为121，242，363，484. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $